MAT1041 · 6. hafta · - Vectors in R^n

Rⁿ'de vektörler ve vektör uzayları

Rⁿ'de vektör işlemlerini, lineer kombinasyonu, uzunluk ve iç çarpımı, sonra vektör uzayının on aksiyomunu öğrenip bir kümenin (standart ya da standart olmayan işlemlerle) vektör uzayı olup olmadığını kontrol etmeyi öğrenirsin.

vector in Rⁿn-tuplevector additionscalar multiplicationlinear combinationzero vectoradditive inversenorm (length)unit vectordot productorthogonalvector spaceaxiomsclosureMn,nPn

Şimdiye kadar matrislerle sayı tabloları olarak çalıştık. Bu hafta geometriye ve soyutlamaya geçiyoruz. Önce $\mathbb{R}^n$ ‘de vektörler: bildiğin düzlem ve uzay vektörlerinin $n$ boyutlu hali. Sonra büyük fikir: vektör uzayı (vector space). Toplanabilen ve sayıyla çarpılabilen, belli kurallara uyan her nesne topluluğu (matrisler, polinomlar, fonksiyonlar) $\mathbb{R}^n$ gibi davranır. Dönemin ikinci yarısındaki her şey (altuzay, baz, boyut, lineer dönüşüm) bu tanımın üzerine kurulu.

Altın kurallar:

$\mathbb{R}^n$ ‘de her işlem bileşen bileşen yapılır.
“Lineer kombinasyon mu?” sorusu aslında bir sistem sorusudur: Gauss eleme yap.
Vektör uzayı olmadığını göstermek için tek bir aksiyomun bozulduğu tek somut örnek yeter.
Standart olmayan işlemlerde sıfır vektörü hesapla; $(0, 0)$ olduğunu varsayma.

Rⁿ’de vektörler

$\mathbb{R}^n$ , $n$ reel sayının sıralı listelerinin kümesidir: $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$ . Satır ya da sütun olarak yazılabilir; bu derste sistemlerle birlikte kullanırken sütun tercih edilir.

İşlemler bileşen bileşen:

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, \dots, u_n + v_n), \qquad c\mathbf{u} = (cu_1, \dots, cu_n).$

$\mathbf{u} = (1, -2, 3, 0)$ , $\mathbf{v} = (2, 1, -1, 4)$ için:

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (3, -1, 2, 4), \qquad 3\mathbf{u} - 2\mathbf{v} = (3 - 4,\ -6 - 2,\ 9 + 2,\ 0 - 8) = (-1, -8, 11, -8).$

Sıfır vektör $\mathbf{0} = (0, \dots, 0)$ , $\mathbf{u}$ ‘nun tersi (additive inverse) $-\mathbf{u} = (-u_1, \dots, -u_n)$ .

Lineer kombinasyon

$\mathbf{w} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$ biçiminde yazılabiliyorsa $\mathbf{w}$ , $\mathbf{v}_i$ ‘lerin bir lineer kombinasyonudur (linear combination). Bulmak için katsayıları bilinmeyen kabul edip sistemi çöz. Vektörler sütun olur:

Örnek. $(4, 1, 5)$ , $(1, 0, 1)$ ve $(1, 1, 2)$ ‘nin kombinasyonu mu?

$a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} \quad\longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

$b = 1$ , $a = 3$ . Evet: $(4, 1, 5) = 3(1, 0, 1) + 1(1, 1, 2)$ . Aynı soruyu $(4, 1, 7)$ için sorsaydık son satır $[0\ 0 \mid 2]$ çıkardı: kombinasyon değil.

Uzunluk ve iç çarpım

Bu kavramlar 14. haftada (ortogonal köşegenleştirme) gerekecek, şimdiden tanış:

Kavram	Formül	Örnek $\mathbf{u} = (1, -2, 3, 0)$ , $\mathbf{v} = (2, 1, -1, 4)$
İç çarpım (dot product)	$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \sum u_iv_i$	$2 - 2 - 3 + 0 = -3$
Norm (length)	$\\|\mathbf{u}\\| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$	$\sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$
Birim vektör (unit vector)	$\mathbf{u}/\\|\mathbf{u}\\|$	$\frac{1}{\sqrt{14}}(1, -2, 3, 0)$
Açı	$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\|\mathbf{u}\\|\\|\mathbf{v}\\|}$
Ortogonal (orthogonal)	$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$

Vektör uzayı tanımı

$V$ boş olmayan bir küme, üzerinde bir toplama ve bir skalerle çarpma tanımlı olsun. Her $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ ve her $c, d \in \mathbb{R}$ için şu on aksiyom sağlanıyorsa $V$ bir vektör uzayıdır:

#	Aksiyom	Ad
1	$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$	toplamaya kapalılık (closure)
2	$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$	değişme
3	$\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}$	birleşme
4	$\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$ olan bir $\mathbf{0} \in V$ var	sıfır vektör
5	her $\mathbf{u}$ için $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$ olan $-\mathbf{u} \in V$ var	ters
6	$c\mathbf{u} \in V$	skalerle çarpmaya kapalılık
7	$c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$	dağılma
8	$(c + d)\mathbf{u} = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}$	dağılma
9	$c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}$	birleşme
10	$1\mathbf{u} = \mathbf{u}$	birim

“Vektör” kelimesi artık ok demek değil: $V$ ‘nin her elemanı bir vektördür, bir matris ya da polinom da olabilir.

Standart örnekler

Uzay	Elemanlar	Sıfır vektör
$\mathbb{R}^n$	$n$ -liler	$(0, \dots, 0)$
$M_{m,n}$	$m \times n$ matrisler	sıfır matris
$P_n$	derecesi en fazla $n$ olan polinomlar	sıfır polinom
$P$	bütün polinomlar	sıfır polinom
$C(-\infty, \infty)$	bütün sürekli fonksiyonlar	$f(x) = 0$

Hepsinde işlemler bildiğin toplama ve sayıyla çarpma. Aksiyomlar reel sayıların kurallarından gelir.

Vektör uzayı olmayan kümeler

Genelde kapalılık (1 veya 6) ya da sıfır vektör (4) bozulur:

Derecesi tam 2 olan polinomlar. $x^2 + (-x^2 + x) = x$ , derecesi 1. Toplamaya kapalı değil.
$\mathbb{R}^2$ ‘de birinci koordinatı negatif olmayanlar $\{(x, y): x \ge 0\}$ . $(-1)(1, 0) = (-1, 0)$ kümede değil.
Tamsayı koordinatlı vektörler. $\frac12(1, 0)$ kümede değil.
$\{(x, y): y = x + 1\}$ . $(0, 0)$ kümede değil, sıfır vektör yok.

Standart olmayan işlemler

Sınavda bazen tanıdık bir kümeye tuhaf işlemler verilir. Strateji:

Kapalılığı kontrol et.
Sıfır vektörü denklem kurarak bul: $\mathbf{u} \oplus \mathbf{z} = \mathbf{u}$ .
Tersi bul: $\mathbf{u} \oplus \mathbf{u}' = \mathbf{z}$ .
Skaler aksiyomları (7-10) somut sayılarla dene. Biri bozuluyorsa dur.

Örnek. $\mathbb{R}^2$ , standart toplama, ama $c \odot (x, y) = (cx, 0)$ . 10. aksiyom: $1 \odot (1, 1) = (1, 0) \neq (1, 1)$ . Vektör uzayı değil. Diğer dokuz aksiyomun sağlanıyor olması bir şey değiştirmez.

TUZAK · sıfır vektörü (0, 0) sanmak. $(x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_1 + x_2 + 1, y_1 + y_2 + 1)$ işleminde $(3, 5) \oplus (0, 0) = (4, 6) \neq (3, 5)$ . Sıfır vektör $(-1, -1)$ ‘dir (Q8). “Sıfır vektör yok” demeden önce hesapla.

Aksiyomlardan çıkan özellikler

Her vektör uzayında, işlemler ne olursa olsun:

$0\mathbf{v} = \mathbf{0}, \qquad c\mathbf{0} = \mathbf{0}, \qquad (-1)\mathbf{v} = -\mathbf{v}, \qquad c\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow c = 0 \text{ veya } \mathbf{v} = \mathbf{0}.$

Ayrıca sıfır vektör tektir ve her vektörün tersi tektir. Bunlar aksiyomlardan birkaç satırda ispatlanır (Q11).

Vize öncesi: 1-6. haftalar tek tabloda

Konu	Tek cümle	Hafta
Gauss / Gauss-Jordan	$[A \mid \mathbf{b}]$ ‘yi REF / RREF’e indir; $[0 \cdots 0 \mid c \neq 0]$ = çözüm yok	1
Parametre $k$	son satır $f(k)z = g(k)$ ; $f = 0$ köklerini ayrı incele	1
Matris çarpımı	$(m \times n)(n \times p)$ ; $AB \neq BA$ ; $(AB)^T = B^TA^T$	2
Ters	$[A \mid I] \to [I \mid A^{-1}]$ ; $AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B$	3
Determinant	ekleme ile üçgen yap; değiştirme $\times(-1)$ , ölçekleme $\times c$	4
Özellikler	$\det(cA) = c^n\det A$ , $\det(AB) = \det A\det B$	5
Adjoint, Cramer	$\operatorname{adj}A = [C_{ij}]^T$ ; $x_i = \det A_i/\det A$	5
Vektör uzayı	10 aksiyom; değilse tek karşı örnek	6
Altuzay (gelecek hafta)	$\mathbf{0}$ var mı, toplama ve skalere kapalı mı	7

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
Lineer kombinasyonu deneme yanılmayla aramak	Katsayılar için sistem kur, Gauss yap
Vektörleri genişletilmiş matrise satır olarak yazmak	Vektörler sütun olur
Standart olmayan işlemde sıfır vektörü $(0,0)$ almak	$\mathbf{u} \oplus \mathbf{z} = \mathbf{u}$ denklemini çöz
Bir aksiyom sağlanıyor diye “vektör uzayı” demek	On aksiyomun hepsi gerekli
“Değil” derken genel argüman yazmaya çalışmak	Tek sayısal karşı örnek yeter
$P_2$ ‘yi “derecesi tam 2” sanmak	Derecesi en fazla 2
$\\|\mathbf{v}\\|$ ‘yi bileşenlerin toplamı sanmak	Karelerin toplamının karekökü

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Let $\mathbf{u} = (1, -2, 3)$ and $\mathbf{v} = (4, 0, -1)$ . Compute $2\mathbf{u} - 3\mathbf{v}$ .

Cevabı göster

(-10, -4, 9)

$2\mathbf{u} = (2, -4, 6)$ , $3\mathbf{v} = (12, 0, -3)$ .
Fark: $(2 - 12, -4 - 0, 6 - (-3)) = (-10, -4, 9)$ .

Soru 2kolay

Let $\mathbf{u} = (1, 3, -1, 2)$ and $\mathbf{v} = (3, 1, 1, 0)$ . Solve $2\mathbf{x} + \mathbf{u} = 3\mathbf{v}$ for $\mathbf{x}$ .

Cevabı göster

(4, 0, 2, -1)

Sayı denklemi gibi çöz: $\mathbf{x} = \frac12(3\mathbf{v} - \mathbf{u})$ . $3\mathbf{v} - \mathbf{u} = (9 - 1, 3 - 3, 3 + 1, 0 - 2) = (8, 0, 4, -2)$ . Yarısı $(4, 0, 2, -1)$ .

Soru 3orta

Write $\mathbf{w} = (3, 1, -4)$ as a linear combination of $\mathbf{u} = (1, 1, 0)$ and $\mathbf{v} = (0, 1, 2)$ .

Cevabı göster

\mathbf{w} = 3\mathbf{u} - 2\mathbf{v}

$a\mathbf{u} + b\mathbf{v} = (a, a + b, 2b) = (3, 1, -4)$ .
1. bileşen $a = 3$ , 3. bileşen $b = -2$ . 2. bileşen kontrol: $3 - 2 = 1$ . Tutarlı.

Soru 4orta

Is $(1, 2, 4)$ a linear combination of $(1, 0, 1)$ and $(0, 1, 1)$ ?

Cevabı göster

$a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) = (a, b, a + b)$ . İlk iki bileşen $a = 1$ , $b = 2$ verir, ama o zaman 3. bileşen $3 \neq 4$ .
Genişletilmiş matrisle: $[0\ 0 \mid 1]$ satırı çıkar, sistem tutarsız.

Soru 5orta

Find $\|\mathbf{v}\|$ and the unit vector in the direction of $\mathbf{v} = (2, -1, 2)$ .

Cevabı göster

\|\mathbf{v}\| = 3

\left(\tfrac23, -\tfrac13, \tfrac23\right)

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt9 = 3$ .
Birim vektör $\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac13(2, -1, 2)$ . Kontrol: $\frac{4 + 1 + 4}{9} = 1$ .

Soru 6orta

Find the angle between $\mathbf{u} = (1, 1, 0)$ and $\mathbf{v} = (1, 0, 1)$ .

Cevabı göster

60^\circ

(

\pi/3

)

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 + 0 + 0 = 1$ , $\|\mathbf{u}\| = \|\mathbf{v}\| = \sqrt2$ . $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2\sqrt2} = \frac12$ , $\theta = 60^\circ$ .

Soru 7orta

Is $\mathbb{R}^2$ with standard addition and the scalar multiplication $c \odot (x, y) = (cx, 0)$ a vector space? If not, name an axiom that fails.

Cevabı göster

No:

1 \odot \mathbf{u} = \mathbf{u}

fails

$1 \odot (1, 1) = (1, 0) \neq (1, 1)$ . " $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$ " aksiyomu bozuluyor.
Toplama ile ilgili aksiyomlar sağlanıyor (standart toplama); tek bir aksiyomun bozulması yeterli.

Soru 8zor

On $\mathbb{R}^2$ define $(x_1, y_1) \oplus (x_2, y_2) = (x_1 + x_2 + 1,\ y_1 + y_2 + 1)$ . What is the zero vector for $\oplus$ , and what is the additive inverse of $(x, y)$ ?

Cevabı göster

Zero vector

(-1, -1)

; inverse

(-x - 2, -y - 2)

Sıfır vektör $\mathbf{z} = (a, b)$ : $(x + a + 1, y + b + 1) = (x, y)$ her $(x, y)$ için. $a = b = -1$ .
Ters $(p, q)$ : $(x + p + 1, y + q + 1) = (-1, -1)$ , yani $p = -x - 2$ , $q = -y - 2$ .
Tuzak: sıfır vektör burada $(0, 0)$ değil. Kontrol: $(3, 5) \oplus (-1, -1) = (3, 5)$ .

Soru 9orta

Is the set of all polynomials of degree exactly 2 (with standard operations) a vector space?

Cevabı göster

Toplamaya kapalı değil: $x^2$ ve $-x^2 + 1$ derecesi 2, ama toplamları $1$ , derecesi 0.
Ayrıca sıfır polinom kümede yok. Buna karşılık derecesi en fazla 2 olanlar ( $P_2$ ) bir vektör uzayıdır.

Soru 10zor

Let $V$ be the set of positive real numbers with $x \oplus y = xy$ and $c \odot x = x^c$ . Is $V$ a vector space? If so, give its zero vector and the inverse of $x$ .

Cevabı göster

Yes; zero vector

1

, inverse

1/x

Kapalılık: pozitiflerin çarpımı ve $x^c$ pozitif. Sıfır vektör $1$ : $x \oplus 1 = x$ . Ters $1/x$ : $x \oplus \frac1x = 1$ .
Skaler aksiyomlar üs kuralları: $c \odot (x \oplus y) = (xy)^c = x^cy^c$ , $(c + d) \odot x = x^{c+d} = x^cx^d$ , $1 \odot x = x$ .
On aksiyomun hepsi sağlanıyor.

Soru 11kolay

True or false: In every vector space, $0\mathbf{v} = \mathbf{0}$ for every vector $\mathbf{v}$ .

Cevabı göster

True

$0\mathbf{v} = (0 + 0)\mathbf{v} = 0\mathbf{v} + 0\mathbf{v}$ . İki tarafa $0\mathbf{v}$ 'nin tersini ekle: $\mathbf{0} = 0\mathbf{v}$ .
Bu aksiyomlardan çıkan bir teorem; her vektör uzayında geçerli.

Soru 12orta

Find scalars $a, b, c$ with $a(1, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(0, 1, 1) = (2, 3, 5)$ .

Cevabı göster

a = 2,\ b = 0,\ c = 3

Denklemler: $a + b = 2$ , $b + c = 3$ , $a + c = 5$ . Üçünü topla: $2(a + b + c) = 10$ , $a + b + c = 5$ . $c = 5 - 2 = 3$ , $a = 5 - 3 = 2$ , $b = 5 - 5 = 0$ .

Doğrulama: Vektör işlemleri, iç çarpımlar ve kare normlar node'da BigInt kesirlerle tam hesaplandı; lineer kombinasyon soruları tam RREF ile çözüldü; standart olmayan işlem sorularında sıfır vektör, ters vektör ve aksiyomlar örnek noktalarda sayısal olarak test edildi (verify/MAT1041/06.mjs).

Deftere not kartı

Rⁿ: sıralı n-li (x1,...,xn). Toplama ve cu bileşen bileşen. Lineer kombinasyon: w = c1v1 + ... + ckvk. Var mı? → [v1 ... vk | w] sistemini çöz. Norm: ||v|| = √(v·v). Birim vektör: v/||v||. İç çarpım: u·v = u1v1 + ... + unvn. cos θ = u·v / (||u|| ||v||). u·v = 0 → ortogonal. VEKTÖR UZAYI: toplama ve skalerle çarpma + 10 aksiyom. Kapalılık: u+v ∈ V, cu ∈ V. Toplama: değişme, birleşme, sıfır vektör var, her u'nun tersi var. Skaler: c(u+v)=cu+cv, (c+d)u=cu+du, c(du)=(cd)u, 1u=u. Örnekler: Rⁿ, M_{m,n}, P_n (derece ≤ n), C(-∞,∞). Değil: derece TAM n polinomlar, pozitif koordinatlı vektörler (standart işlemlerle). Standart olmayan işlem: sıfır vektörü HESAPLA, (0,0) olmayabilir. Teoremler: 0v = 0, c0 = 0, (-1)v = -v. Değil demek için TEK somut karşı örnek yeter.