MAT1041 · 7. hafta · - Subspaces of Vector Spaces

Altuzaylar ve altuzay testi

Bir vektör uzayının içindeki bir kümenin altuzay olup olmadığını üç adımlı testle kontrol etmeyi; Rⁿ, M₂₂ ve P₂'deki tipik altuzayları ve tuzak kümeleri tanımayı; kesişim ve birleşimin davranışını öğrenirsin.

subspacesubspace testclosed under additionclosed under scalar multiplicationzero vectortrivial subspacesolution spacenull spaceintersectionunioncounterexample

Geçen hafta vektör uzayını on aksiyomla tanımladık. Neyse ki çoğu zaman on aksiyomu tek tek kontrol etmen gerekmez: elindeki küme zaten bilinen bir vektör uzayının içindeyse (mesela $\mathbb{R}^3$ ‘ün bir parçası), sadece üç şeye bakarsın. Buna altuzay testi denir. Vizede ve finalde neredeyse kesin gelen bir soru tipi: “Determine whether $W$ is a subspace. Prove or give a counterexample.” Üç ya da dört şık, her biri birkaç dakika.

Altın kurallar:

İlk iş $\mathbf{0} \in W$ mi bak. Değilse cevap “hayır”, bir satırda biter.
$\mathbf{0}$ içindeyse bitmedi: toplama ve skalerle çarpma kapalılığını da kontrol et.
Altuzay değilse genel ispat yazma: tek somut sayısal karşı örnek ver.
Altuzay ise genel ispat yaz: keyfi $\mathbf{u}, \mathbf{v}, c$ al, koşulu sağladığını göster.

Tanım ve test

$V$ bir vektör uzayı, $W \subseteq V$ boş olmayan bir alt küme olsun. $W$ , $V$ ‘nin işlemleriyle kendi başına bir vektör uzayıysa $W$ ‘ye $V$ ‘nin altuzayı (subspace) denir.

Altuzay testi. $W$ altuzaydır ancak ve ancak:

$\mathbf{0} \in W$ ,
$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \Rightarrow \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ (toplamaya kapalı),
$\mathbf{u} \in W$ , $c \in \mathbb{R} \Rightarrow c\mathbf{u} \in W$ (skalerle çarpmaya kapalı).

Neden yeterli? Değişme, birleşme, dağılma gibi aksiyomlar $V$ ‘de zaten doğru; $W$ ‘nin elemanları da $V$ ‘nin elemanı olduğu için otomatik geçerli. Riskli olan sadece işlemlerin $W$ ‘nin dışına çıkması.

Her vektör uzayının iki “sıkıcı” altuzayı vardır: $\{\mathbf{0}\}$ (trivial altuzay) ve $V$ ‘nin kendisi.

R³’te altuzaylar

$\mathbb{R}^3$ ‘ün altuzayları tam olarak şunlardır: $\{\mathbf{0}\}$ , orijinden geçen doğrular, orijinden geçen düzlemler ve $\mathbb{R}^3$ . Orijinden geçmeyen bir doğru ya da düzlem sıfır vektörü içermediği için altuzay olamaz.

Örnek 1 (evet). $W = \{(x, y, z) : x - 2y + 5z = 0\}$ . İspatın tam yazımı:

(1) 0 - 2·0 + 5·0 = 0              → (0,0,0) ∈ W
(2) u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2) ∈ W. u + v için:
    (x1+x2) - 2(y1+y2) + 5(z1+z2) = (x1 - 2y1 + 5z1) + (x2 - 2y2 + 5z2) = 0 + 0 = 0
(3) cu için:  cx1 - 2cy1 + 5cz1 = c(x1 - 2y1 + 5z1) = c·0 = 0
→ W altuzay (orijinden geçen düzlem)

Örnek 2 (hayır, sıfır yok). $W = \{(x, y, z) : x + y + z = 1\}$ : $0 + 0 + 0 \neq 1$ .

Örnek 3 (hayır, sıfır var ama kapalı değil). $W = \{(x, y, z) : y = x^2\}$ . $(0, 0, 0) \in W$ . $(1, 1, 0) \in W$ , ama $2(1, 1, 0) = (2, 2, 0)$ için $2 \neq 2^2 = 4$ .

TUZAK · “sıfır içinde, o zaman altuzay”. Sıfır vektör gerekli ama yeterli değil. Örnek 3’te ve Q3’te sıfır içeride, ama küme skalerle çarpmaya kapalı değil.

Ax = 0’ın çözüm kümesi

$A$ $m \times n$ ise $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ‘ın bütün çözümleri $\mathbb{R}^n$ ‘nin bir altuzayıdır. Buna $A$ ‘nın null space’i (çözüm uzayı, solution space) denir:

$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ ,
$A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$ ,
$A(c\mathbf{u}) = cA\mathbf{u} = \mathbf{0}$ .

Q1, Q8, Q9, Q12’deki bütün “evet”ler aslında bu teoremin özel halleri: koşul, sağ tarafı sıfır olan lineer denklemler.

$\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ ise $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ‘nin çözüm kümesi altuzay değildir: $A\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{b}$ . Ayrıca iki çözümün toplamı $A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = 2\mathbf{b}$ verir. Örneğin $x + 2y = 3$ (ikinci denklem $2x + 4y = 6$ ) için $(3, 0)$ çözüm, ama $2(3, 0) = (6, 0)$ için $x + 2y = 6 \neq 3$ .

Matris ve polinom altuzayları

Aynı test, aynı mantık. Elemanlar matris ya da polinom diye korkma; koşulu katsayılar cinsinden yaz.

Küme	Altuzay mı?	Gerekçe
Simetrik $2 \times 2$ ( $A^T = A$ )	Evet	$(A + B)^T = A + B$ , $(cA)^T = cA$
İzi 0 olanlar ( $a_{11} + a_{22} = 0$ )	Evet	homojen lineer denklem
Üst üçgen	Evet	$a_{21} = 0$
$\det A = 0$	Hayır	$\operatorname{diag}(1, 0) + \operatorname{diag}(0, 1) = I$
Tersinir matrisler	Hayır	sıfır matris tersinir değil
$A^2 = A$	Hayır	$I$ içinde, $(2I)^2 = 4I \neq 2I$
$P_2$ , $p(1) = 0$	Evet	$a + b + c = 0$
$P_2$ , $p(0) = 1$	Hayır	sıfır polinom için $0 \neq 1$
$P_2$ , katsayılar tamsayı	Hayır	$\frac12 \cdot 1$ kümede değil
Sürekli $f$ , $f(0) = 0$	Evet	$(f + g)(0) = 0$ , $(cf)(0) = 0$

Hızlı sezgi: Koşul homojen lineer denklem(ler)se (her terim bir değişkenin sabit katı, sağ taraf 0) küme altuzaydır. Koşulda çarpım, kare, mutlak değer, eşitsizlik, sıfırdan farklı sabit, “tamsayı” ya da determinant varsa büyük ihtimalle değildir. Sezgi hızlı karar verdirir; sınavda yine de gerekçeyi yaz.

Hazır karşı örnekler

xy = 0       : (1,0) + (0,1) = (1,1),   1·1 ≠ 0
x ≥ 0        : (-1)·(1,0) = (-1,0)
tamsayılar   : (1/2)·(1,0) = (1/2,0)
y = x²       : 2·(1,1) = (2,2),  2 ≠ 4
det = 0      : diag(1,0) + diag(0,1) = I
sağ taraf ≠ 0: sıfır vektör içinde değil

Kesişim ve birleşim

$W_1$ ve $W_2$ altuzaysa:

$W_1 \cap W_2$ her zaman altuzaydır. İki kümede de $\mathbf{0}$ var; ikisinde de olan iki vektörün toplamı ikisinde de var.
$W_1 \cup W_2$ genelde altuzay değildir. $x$ -ekseni ile $y$ -ekseninin birleşiminde $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ yoktur. (Biri diğerinin içindeyse birleşim büyük olana eşittir, o zaman altuzay.)

İki düzlemin kesişimini bulmak için iki denklemi birlikte çöz (Q12). Sonuç genelde orijinden geçen bir doğrudur.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
$\mathbf{0} \in W$ ise altuzay demek	Kapalılığı da kontrol et
Karşı örnekte $W$ ‘nin elemanı olmayan vektör kullanmak	Önce $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ olduğunu göster
“Altuzay” ispatını tek bir sayısal örnekle yapmak	Keyfi $\mathbf{u}, \mathbf{v}, c$ ile genel ispat
Skalerle çarpmada sadece pozitif $c$ denemek	$c = -1$ ve $c = \frac12$ çoğu kümeyi bozar
Orijinden geçmeyen düzlemi altuzay sanmak	Sıfır vektör yok
Birleşimi altuzay sanmak	Kesişim evet, birleşim genelde hayır
$P_2$ ‘de $p(0) = 1$ koşulunu altuzay sanmak	Sıfır polinom $p(0) = 0$
$\det A = 0$ kümesini “null space gibi” sanmak	Determinant lineer değil

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Is $W = \{(x, y, z) : x - 2y + 5z = 0\}$ a subspace of $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

Yes

(1) $\mathbf{0}$ : $0 - 0 + 0 = 0$ , içinde. (2) $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ : $(x_1 + x_2) - 2(y_1 + y_2) + 5(z_1 + z_2) = 0 + 0 = 0$ . (3) $c\mathbf{u}$ : $c(x - 2y + 5z) = c \cdot 0 = 0$ .
Orijinden geçen bir düzlem. Sağ tarafı 0 olan homojen lineer denklem her zaman altuzay verir.

Soru 2kolay

Is $W = \{(x, y, z) : x + y + z = 1\}$ a subspace of $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

$(0, 0, 0)$ : $0 + 0 + 0 = 0 \neq 1$ . Sıfır vektör içinde değil, bitti.
Geometrik olarak orijinden geçmeyen bir düzlem.

Soru 3orta

Is $W = \{(x, y) : y = |x|\}$ a subspace of $\mathbb{R}^2$ ?

Cevabı göster

$\mathbf{0} \in W$ ama skalerle çarpmaya kapalı değil: $(1, 1) \in W$ , $(-1)(1, 1) = (-1, -1)$ ve $|-1| = 1 \neq -1$ .
"Sıfır var, o zaman altuzay" demek tuzak.

Soru 4orta

Is $W = \{(a, b, a + 2b) : a, b \in \mathbb{R}\}$ a subspace of $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

Yes

$(a, b, a + 2b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2)$ . $W$ iki vektörün bütün lineer kombinasyonlarının kümesi, yani bir span: her zaman altuzay.
Doğrudan test: $a = b = 0$ sıfırı verir; toplam ve skaler katlar yine "üçüncü = birinci + 2·ikinci" kuralına uyar.

Soru 5orta

Is $W = \{(x, y, z) : xz = 0\}$ a subspace of $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

Toplamaya kapalı değil: $(1, 0, 0) \in W$ , $(0, 0, 1) \in W$ , ama toplamları $(1, 0, 1)$ için $xz = 1 \neq 0$ .
Koşulda değişkenler çarpılıyorsa büyük ihtimalle altuzay değil.

Soru 6orta

Is the set of all $2 \times 2$ upper triangular matrices a subspace of $M_{2,2}$ ?

Cevabı göster

Yes

Üst üçgen: $a_{21} = 0$ . Sıfır matris üst üçgen. İki üst üçgenin toplamında $(2,1)$ elemanı $0 + 0 = 0$ ; $c$ katında $c \cdot 0 = 0$ .
Koşul tek bir homojen lineer denklem ( $a_{21} = 0$ ).

Soru 7orta

Is $W = \{A \in M_{2,2} : \det A = 0\}$ a subspace of $M_{2,2}$ ?

Cevabı göster

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ ve $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ tekil (det 0), toplamları $I$ ve $\det I = 1$ .
Toplamaya kapalı değil. (Skalerle çarpmaya kapalı, ama bu yetmez.)

Soru 8orta

Is $W = \{p \in P_2 : p(2) = 0\}$ a subspace of $P_2$ ?

Cevabı göster

Yes

Sıfır polinom: $0(2) = 0$ . $(p + q)(2) = p(2) + q(2) = 0$ . $(cp)(2) = c \cdot 0 = 0$ . $p = a + bx + cx^2$ için koşul $a + 2b + 4c = 0$ : homojen lineer denklem.

Soru 9zor

Is $W = \{p \in P_2 : p'(1) = p(0)\}$ a subspace of $P_2$ ?

Cevabı göster

Yes

$p = a + bx + cx^2$ : $p'(x) = b + 2cx$ , $p'(1) = b + 2c$ , $p(0) = a$ . Koşul $b + 2c - a = 0$ .
Katsayılar üzerinde homojen lineer bir denklem, yani bir null space: altuzay.
Alternatif: türev ve değer alma lineer işlemler, $(p + q)' = p' + q'$ , $(cp)(0) = cp(0)$ .

Soru 10zor

For which value of $k$ is $W = \{(x, y, z) : x + 2y - z = k\}$ a subspace of $\mathbb{R}^3$ ?

Cevabı göster

k = 0

$\mathbf{0} \in W$ olması için $0 + 0 - 0 = k$ , yani $k = 0$ şart. $k = 0$ olunca homojen düzlem, üç koşul da sağlanır. $k \neq 0$ ise paralel kaydırılmış düzlem, altuzay değil.

Soru 11zor

Let $W_1$ be the $x$ -axis and $W_2$ the $y$ -axis in $\mathbb{R}^2$ . Is $W_1 \cup W_2$ a subspace?

Cevabı göster

$(1, 0) \in W_1$ , $(0, 1) \in W_2$ , ama $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ iki eksende de değil.
Birleşim genelde altuzay değildir. Kesişim ( $\{\mathbf{0}\}$ ) ise her zaman altuzaydır.

Soru 12orta

Find the intersection of the subspaces $x + y - z = 0$ and $2x - y + z = 0$ of $\mathbb{R}^3$ .

Cevabı göster

\operatorname{span}\{(0, 1, 1)\}

İki denklemi birlikte çöz: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ , $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(0, -3, 3)$ , yani $y = z$ .
1. denklem: $x + z - z = 0 \Rightarrow x = 0$ . $z = t$ : $(0, t, t) = t(0, 1, 1)$ .
İki düzlemin kesişimi orijinden geçen bir doğru.

Doğrulama: Altuzay olan kümelerde kapalılık node'da her kümeden 200 rastgele tamsayılı vektör çifti ve skaler alınarak BigInt kesirlerle test edildi; altuzay olmayan kümelerde verilen karşı örnekler tek tek hesaplandı; kesişim sorusundaki null space tam RREF ile bulundu (verify/MAT1041/07.mjs).

Deftere not kartı

W ⊆ V altuzay ⇔ (1) 0 ∈ W (2) u,v ∈ W → u+v ∈ W (3) u ∈ W → cu ∈ W Önce 0'ı kontrol et: yoksa BİTTİ, değil. 0 var ama yetmez: (2) ve (3)'ü de kontrol et. Değil demek için TEK sayısal karşı örnek yaz. EVET işaretleri: sağ tarafı 0 olan lineer denklem(ler), span{...}, Ax=0 çözümleri, simetrik, iz 0, üst üçgen, köşegen matrisler, p(a)=0, p'(a)=p(b). HAYIR işaretleri: sağ taraf ≠ 0, çarpım (xy=0), kare (y=x²), mutlak değer, eşitsizlik (x≥0), tamsayı, det=0, tersinir matrisler, A²=A, p(0)=1, derece TAM n. R³'ün altuzayları: {0}, orijinden geçen doğrular, orijinden geçen düzlemler, R³. Ax=0 çözüm kümesi altuzay (null space); Ax=b, b≠0, değil. Kesişim HEP altuzay; birleşim genelde DEĞİL.