MAT1041 · 10. hafta · - Introduction to Linear Transformations

Lineer dönüşümlere giriş

Bir fonksiyonun lineer dönüşüm olup olmadığını iki koşulla test etmeyi, matris dönüşümlerini, düzlemdeki izdüşüm, yansıma ve dönmeyi, türev ve iz gibi soyut örnekleri ve bir lineer dönüşümü bir bazın görüntülerinden hesaplamayı öğrenirsin.

linear transformationmappingdomaincodomainimagepreimageadditivityhomogeneitymatrix transformationzero transformationidentity transformationprojectionreflectionrotationdifferential operator

Şimdiye kadar vektör uzaylarını tek tek inceledik. Bu hafta uzaylar arasındaki fonksiyonlara geçiyoruz. Her fonksiyon ilginç değil: lineer cebirin ilgilendiği fonksiyonlar, toplamayı ve skalerle çarpmayı koruyan fonksiyonlardır. Bunlara lineer dönüşüm denir ve şaşırtıcı bir gerçekle karşılaşacağız: $\mathbb{R}^n$ ‘den $\mathbb{R}^m$ ‘ye her lineer dönüşüm aslında bir matrisle çarpmadır. Kalan haftaların (çekirdek, görüntü, dönüşüm matrisi, özdeğer) hepsi bu fikrin devamı.

Altın kurallar:

İlk test: $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ mı? Değilse lineer değil, bitti.
$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ çıktıysa yetmez: iki koşulu genel olarak ispatla ya da karşı örnek bul.
$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ biçiminde yazabiliyorsan lineerdir.
Bir bazın görüntüleri verildiyse önce vektörü o bazda yaz, sonra lineerliği kullan.

Tanım

$V$ ve $W$ vektör uzayları olsun. $T : V \to W$ fonksiyonu, her $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ ve her $c \in \mathbb{R}$ için

$T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ (toplamayı korur),
$T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$ (skalerle çarpmayı korur)

sağlıyorsa bir lineer dönüşümdür (linear transformation). $V$ tanım kümesi (domain), $W$ değer kümesi (codomain). $T(\mathbf{v})$ , $\mathbf{v}$ ‘nin görüntüsü (image); $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$ olan bütün $\mathbf{v}$ ‘ler $\mathbf{w}$ ‘nin ön görüntüsü (preimage).

İki koşul tek satırda: $T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})$ . Lineer dönüşüm lineer kombinasyonları lineer kombinasyonlara götürür.

Hemen çıkan özellikler

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ ( $c = 0$ al).
$T(-\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v})$ , $T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})$ .
$T(c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n) = c_1T(\mathbf{v}_1) + \dots + c_nT(\mathbf{v}_n)$ .

İlki en kullanışlı eleme testi: $T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}$ ise dönüşüm lineer değildir.

Lineer mi, değil mi?

Örnek 1 (evet). $T(x, y) = (2x - y,\ x + 3y)$ .

u = (x1,y1), v = (x2,y2)
T(u + v) = (2(x1+x2) - (y1+y2), (x1+x2) + 3(y1+y2))
         = (2x1 - y1, x1 + 3y1) + (2x2 - y2, x2 + 3y2) = T(u) + T(v)
T(cu)    = (2cx1 - cy1, cx1 + 3cy1) = c(2x1 - y1, x1 + 3y1) = cT(u)

Örnek değer: $T(1, 4) = (2 - 4, 1 + 12) = (-2, 13)$ .

Örnek 2 (hayır). Öteleme $T(x, y) = (x + 2, y)$ : $T(0, 0) = (2, 0)$ . Düzlemde her şeyi sağa kaydırmak geometrik olarak “düzgün” görünse de lineer değil.

Dönüşüm	Lineer mi?	Gerekçe
$(x, y) \mapsto (3x, x - y)$	evet	sabit katsayılı kombinasyonlar
$(x, y) \mapsto (x + 1, y)$	hayır	$T(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}$
$(x, y) \mapsto (x^2, y)$	hayır	$T(2\mathbf{e}_1) = (4, 0) \neq 2T(\mathbf{e}_1)$
$(x, y) \mapsto (xy, x)$	hayır	çarpım; Q4
$(x, y) \mapsto (\lvert x \rvert, y)$	hayır	$T(-\mathbf{e}_1) = (1, 0) \neq -T(\mathbf{e}_1)$
$p \mapsto p'$ ( $P_n \to P_{n-1}$ )	evet	türev kuralları
$A \mapsto A^T$	evet	$(A + B)^T = A^T + B^T$
$A \mapsto \operatorname{tr}A$	evet	iz toplamaya ve skalere uyar
$A \mapsto \det A$	hayır	$\det(2I) = 4 \neq 2$

TUZAK · “T(0) = 0, demek ki lineer”. Bu sadece gerekli bir koşul. $(x, y) \mapsto (xy, x)$ sıfırı sıfıra götürür ama lineer değildir. Karşı örneği iki koşuldan birinde ara.

Matris dönüşümleri

$A$ bir $m \times n$ matris ise

$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$

$\mathbb{R}^n$ ‘den $\mathbb{R}^m$ ‘ye bir lineer dönüşümdür, çünkü $A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}$ ve $A(c\mathbf{u}) = cA\mathbf{u}$ . Boyutlara dikkat: girdi uzayı $A$ ‘nın sütun sayısıyla belirlenir.

Örnek 3. $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ , $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ :

$T(2, 1, -1) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 1 + 0 \\ 4 + 1 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.$

Ön görüntü bulmak bir sistem çözmektir: $A\mathbf{x} = \mathbf{w}$ . Çözüm yoksa $\mathbf{w}$ ‘nin ön görüntüsü boş; sonsuz çözüm varsa ön görüntü bir doğru ya da düzlem.

Düzlemde geometrik dönüşümler

Dönüşüm	Matris	$(3, 5)$ ‘in görüntüsü
$x$ -eksenine izdüşüm (projection)	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$	$(3, 0)$
$y = x$ doğrusuna göre yansıma (reflection)	$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$	$(5, 3)$
$x$ -eksenine göre yansıma	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$	$(3, -5)$
$\theta$ kadar dönme (rotation)	$\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
$k$ katı büyütme (dilation)	$kI$	$(3k, 5k)$

Bir baz yetiyor

Lineer dönüşümün en güçlü özelliği: bir bazın görüntülerini bilmek, her şeyi bilmektir. $\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$ $V$ ‘nin bazıysa her $\mathbf{v}$ tek şekilde $c_1\mathbf{v}_1 + \dots + c_n\mathbf{v}_n$ yazılır ve

$T(\mathbf{v}) = c_1T(\mathbf{v}_1) + \dots + c_nT(\mathbf{v}_n).$

Örnek 4 (standart baz). $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $T(\mathbf{e}_1) = (1, 2)$ , $T(\mathbf{e}_2) = (0, -1)$ , $T(\mathbf{e}_3) = (4, 1)$ .

$T(2, -1, 3) = 2(1, 2) - (0, -1) + 3(4, 1) = (2 + 0 + 12,\ 4 + 1 + 3) = (14, 8).$

Bu görüntüleri sütun olarak yan yana koyarsan $T$ ‘nin standart matrisi çıkar: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ . 12. haftanın konusu.

Standart olmayan baz verildiyse (Q8, Q12) önce katsayıları bir sistemle bul. Q12’de bunu genel $(x, y)$ için yaparak $T$ ‘nin formülünü çıkardık.

Soyut uzaylarda lineer dönüşümler

Türev $D : P_3 \to P_2$ , $D(a + bx + cx^2 + dx^3) = b + 2cx + 3dx^2$ .
İntegral $I : P_2 \to \mathbb{R}$ , $I(p) = \int_0^1 p(x)\,dx$ .
Transpoz $T : M_{m,n} \to M_{n,m}$ , $T(A) = A^T$ .
Değer alma $T : P_2 \to \mathbb{R}$ , $T(p) = p(3)$ .
Sıfır dönüşüm $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ ve birim dönüşüm $T(\mathbf{v}) = \mathbf{v}$ .

Kalkülüsteki “toplamın türevi türevlerin toplamı” kuralı aslında türevin lineer bir dönüşüm olduğunu söylüyor.

Sık yapılan hatalar

Yanlış	Doğrusu
$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ ‘ı yeterli sanmak	Gerekli ama yeterli değil
Lineerliği tek sayısal örnekle “ispatlamak”	Genel $\mathbf{u}, \mathbf{v}, c$ ile göster
$2 \times 3$ matrisin dönüşümünü $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ yazmak	$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ (girdi = sütun sayısı)
Öteleme ve afin fonksiyonları ( $x + 1$ ) lineer sanmak	Sabit terim lineerliği bozar
Standart olmayan baz görüntülerini standart baz gibi kullanmak	Önce vektörü o bazda yaz
$\det$ ‘i lineer sanmak	$\det(cA) = c^n\det A$
Ön görüntünün her zaman tek nokta olduğunu varsaymak	Boş, tek nokta ya da sonsuz olabilir

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Let $T(x, y) = (x + 2y,\ 3x - y)$ . Find $T(2, -1)$ .

Cevabı göster

(0, 7)

$x = 2$ , $y = -1$ : $(2 + 2(-1),\ 3(2) - (-1)) = (0, 7)$ .

Soru 2kolay

Is $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y) = (x + 1,\ y)$ a linear transformation?

Cevabı göster

Lineer dönüşüm sıfırı sıfıra götürmek zorunda. $T(0, 0) = (1, 0) \neq (0, 0)$ .
Bu bir öteleme (translation); sabit terim eklemek lineerliği bozar.

Soru 3orta

Is $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y, z) = (x - y,\ 2z)$ a linear transformation?

Cevabı göster

Yes

$\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1)$ , $\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2)$ : $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = ((x_1 + x_2) - (y_1 + y_2),\ 2(z_1 + z_2)) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$ . $T(c\mathbf{u}) = (cx - cy,\ 2cz) = cT(\mathbf{u})$ .
Kısayol: $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ , $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

Soru 4orta

Is $T(x, y) = (xy,\ x)$ a linear transformation from $\mathbb{R}^2$ to $\mathbb{R}^2$ ?

Cevabı göster

$T(0, 0) = (0, 0)$ , bu test geçiliyor ama yetmez. $T(2(1, 1)) = T(2, 2) = (4, 2)$ , ama $2T(1, 1) = 2(1, 1) = (2, 2)$ . Skalerle çarpma korunmuyor.
Değişkenler çarpılıyorsa lineer değil.

Soru 5orta

Let $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ with $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ . Find $T(1, 2, -1)$ . What are the domain and codomain of $T$ ?

Cevabı göster

(-1, 4)

;

T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2

$A$ $2 \times 3$ : girdi 3 bileşenli, çıktı 2 bileşenli. $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ . $A(1, 2, -1)^T = (1 + 0 - 2,\ -1 + 6 - 1) = (-1, 4)$ .

Soru 6orta

Let $T(x, y) = (x + y,\ x - y)$ . Find the preimage of $\mathbf{w} = (5, 1)$ .

Cevabı göster

(3, 2)

Ön görüntü: $T(\mathbf{v}) = \mathbf{w}$ olan bütün $\mathbf{v}$ . $x + y = 5$ , $x - y = 1$ .
Topla: $2x = 6$ , $x = 3$ , $y = 2$ . Ön görüntü tek nokta: $\{(3, 2)\}$ .

Soru 7orta

$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ is linear with $T(1, 0) = (2, 3)$ and $T(0, 1) = (-1, 4)$ . Find $T(3, -2)$ .

Cevabı göster

(8, 1)

$(3, -2) = 3(1, 0) - 2(0, 1)$ . Lineerlik: $T(3, -2) = 3T(1, 0) - 2T(0, 1) = (6, 9) - (-2, 8) = (8, 1)$ .

Soru 8zor

$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ is linear with $T(1, 1) = (1, 0, 2)$ and $T(1, -1) = (3, 2, 0)$ . Find $T(5, 1)$ .

Cevabı göster

(9, 4, 6)

Önce $(5, 1)$ 'i verilen bazda yaz: $a(1, 1) + b(1, -1) = (5, 1)$ , $a + b = 5$ , $a - b = 1$ , yani $a = 3$ , $b = 2$ . $T(5, 1) = 3T(1, 1) + 2T(1, -1) = (3, 0, 6) + (6, 4, 0) = (9, 4, 6)$ .

Soru 9orta

Let $D : P_2 \to P_1$ be differentiation, $D(p) = p'$ . Find $D(3 - x + 4x^2)$ . Is $D$ linear?

Cevabı göster

-1 + 8x

; yes

$(3 - x + 4x^2)' = -1 + 8x$ .
Türev kuralları tam olarak lineerlik koşulları: $(p + q)' = p' + q'$ , $(cp)' = cp'$ .

Soru 10orta

Is $T : M_{2,2} \to \mathbb{R}$ , $T(A) = \det A$ a linear transformation?

Cevabı göster

$T(2I) = \det(2I) = 4$ , ama $2T(I) = 2$ . Ayrıca $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ .
Buna karşılık $T(A) = \operatorname{tr}A$ ve $T(A) = A^T$ lineerdir.

Soru 11zor

Let $T$ rotate vectors in $\mathbb{R}^2$ counterclockwise by $90^\circ$ . Find $T(3, 1)$ .

Cevabı göster

(-1, 3)

Dönme matrisi $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ , $\theta = 90^\circ$ : $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ . $T(x, y) = (-y, x)$ , $T(3, 1) = (-1, 3)$ . Kontrol: $(3, 1) \cdot (-1, 3) = 0$ , dik.

Soru 12zor

$T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ is linear with $T(1, 2) = (3, -1)$ and $T(2, 5) = (1, 1)$ . Find a formula for $T(x, y)$ .

Cevabı göster

T(x, y) = (13x - 5y,\ -7x + 3y)

$(x, y) = a(1, 2) + b(2, 5)$ : $a + 2b = x$ , $2a + 5b = y$ . $R_2 - 2R_1$ : $b = y - 2x$ , sonra $a = x - 2b = 5x - 2y$ . $T(x, y) = (5x - 2y)(3, -1) + (y - 2x)(1, 1) = (13x - 5y,\ -7x + 3y)$ .
Kontrol: $T(1, 2) = (13 - 10, -7 + 6) = (3, -1)$ .

Doğrulama: Lineer olan dönüşümler node'da 200 rastgele tamsayılı vektör çifti ve skalerle T(u+v) = T(u)+T(v), T(cu) = cT(u) eşitlikleri BigInt kesirlerle kontrol edilerek, lineer olmayanlar somut karşı örnek hesaplanarak test edildi; görüntü ve ön görüntüler tam matris çarpımı ve tam çözümle bulundu (verify/MAT1041/10.mjs).

Deftere not kartı

T: V → W lineer ⇔ (1) T(u+v) = T(u) + T(v) (2) T(cu) = cT(u) tek satırda: T(au + bv) = aT(u) + bT(v) Hızlı ELEME: T(0) ≠ 0 → lineer DEĞİL. (T(0) = 0 tek başına yetmez!) Değil işaretleri: sabit terim (x+1), çarpım (xy), kare, |x|, sin, det. Evet işaretleri: her bileşen değişkenlerin sabit katlarının toplamı → T(x) = Ax. T(x) = Ax, A m×n → T: Rⁿ → Rᵐ (girdi = SÜTUN sayısı). Görüntü T(v); ön görüntü: T(v) = w sistemini çöz (yok / tek / sonsuz). T, bir bazın görüntüleriyle TAMAMEN belirlenir: v = c1v1 + ... + cnvn → T(v) = c1T(v1) + ... + cnT(vn) Düzlem: dönme θ [cos -sin; sin cos], x-eksenine izdüşüm [1 0; 0 0], y=x'e göre yansıma [0 1; 1 0], x-eksenine göre yansıma [1 0; 0 -1]. Soyut: türev, integral, transpoz, iz LİNEER; det LİNEER DEĞİL. T(-v) = -T(v), T(u - v) = T(u) - T(v).