Dönüşüm matrisleri, geçiş matrisleri ve benzerlik

$\mathbb{R}^n$‘den $\mathbb{R}^m$‘ye her lineer dönüşüm bir matrisle çarpmadır. Ama hangi matris? Cevap seçtiğin baza bağlıdır. Standart bazda bir dönüşümün matrisi karmaşık görünebilir; başka bir bazda aynı dönüşüm köşegen, yani sadece “eksenleri germek” olabilir. Bu hafta matrisi bulmayı, bazlar arasında koordinat çevirmeyi ve aynı dönüşümün farklı bazlardaki matrislerini birbirine bağlayan benzerlik ilişkisini öğreniyoruz. Gelecek haftanın köşegenleştirmesi doğrudan bunun üzerine kurulu.

Altın kurallar:

1. Dönüşüm matrisinin sütunları, baz vektörlerinin görüntüleridir.
2. Bileşkede sağdaki matris önce uygulanır.
3. Geçiş matrisi $B \to B'$: $[B' \mid B]$‘yi satır işlemleriyle $[I \mid P]$ yap. Hedef baz solda.
4. $A' = P^{-1}AP$, $P$‘nin sütunları yeni bazın vektörleri.

Standart matris

$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ lineer ise

$A = \big[\, T(\mathbf{e}_1) \mid T(\mathbf{e}_2) \mid \cdots \mid T(\mathbf{e}_n) \,\big]$

$m \times n$ matrisi her $\mathbf{x}$ için $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ sağlar. Neden: $\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + \dots + x_n\mathbf{e}_n$, lineerlik $T(\mathbf{x}) = x_1T(\mathbf{e}_1) + \dots + x_nT(\mathbf{e}_n)$ verir; bu da $A\mathbf{x}$‘in sütun kombinasyonu yorumu.

Örnek 1. $T(x, y, z) = (x - 2y,\ 2x + z)$.

$T(\mathbf{e}_1) = (1, 2), \quad T(\mathbf{e}_2) = (-2, 0), \quad T(\mathbf{e}_3) = (0, 1) \quad\Rightarrow\quad A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Kontrol: $A(1, 1, 1)^T = (-1, 3)$ ve $T(1, 1, 1) = (1 - 2, 2 + 1) = (-1, 3)$.

Bileşke ve ters

$T_1 : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ (matris $A_1$), $T_2 : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ (matris $A_2$). Önce $T_1$, sonra $T_2$ uygulayan bileşke $T_2 \circ T_1$‘in matrisi

$A_2A_1.$

Sıra fonksiyon bileşkesindeki gibi: $T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2(A_1\mathbf{x})$.

Örnek 2. Önce $90^\circ$ dönme $R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, sonra $y = x$‘e göre yansıma $F = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$:

$FR = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \ (x\text{-eksenine göre yansıma}), \qquad RF = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \ (y\text{-eksenine göre yansıma}).$

Sıra değişince sonuç değişti. Matris çarpımının değişmeli olmamasının geometrik yüzü.

Ters dönüşüm. $T$‘nin standart matrisi $A$ tersinirse $T$ tersinirdir ve $T^{-1}$‘in matrisi $A^{-1}$‘dir (Q4).

Standart olmayan bazlara göre matris

$T : V \to W$, $V$‘nin bazı $B = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n\}$, $W$‘nin bazı $B'$. $T$‘nin $B$ ve $B'$‘ye göre matrisi:

$[T]_{B',B} = \big[\, [T(\mathbf{v}_1)]_{B'} \mid \cdots \mid [T(\mathbf{v}_n)]_{B'} \,\big], \qquad [T(\mathbf{v})]_{B'} = [T]_{B',B}\,[\mathbf{v}]_B.$

Tarif: her baz vektörünü dönüştür, sonucu hedef bazın koordinatlarıyla yaz, sütun yap.

Polinomlarda da aynı: türev $D : P_2 \to P_1$ standart bazlara göre $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$. $5 + 3x - x^2$‘nin koordinatı $(5, 3, -1)$; çarpınca $(3, -2)$, yani türev $3 - 2x$. Kalkülüsü matris çarpımına çevirdik.

Geçiş matrisi (koordinat değiştirme)

Aynı $\mathbf{v}$ vektörünün iki farklı bazdaki koordinatları nasıl ilişkili? $B$ ve $B'$, $\mathbb{R}^n$‘in iki bazı olsun. $B$‘den $B'$‘ye geçiş matrisi $P$, her $\mathbf{v}$ için

$[\mathbf{v}]_{B'} = P\,[\mathbf{v}]_B$

sağlayan matristir. Sütunları, $B$‘nin vektörlerinin $B'$‘ye göre koordinatlarıdır.

Hesap: $[B' \mid B] \to [I \mid P]$. Bazları sütun matrisi olarak yaz (hedef baz $B'$ solda), Gauss-Jordan uygula.

Örnek 3. $B = \{(1, 2), (1, 3)\}$, $B' = \{(1, 0), (1, 1)\}$.

$[B' \mid B] = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \quad\Rightarrow\quad P = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}.$

Kontrol: $[\mathbf{v}]_B = (1, 1)$ ise $\mathbf{v} = (1, 2) + (1, 3) = (2, 5)$. $P(1, 1)^T = (-3, 5)$ ve $-3(1, 0) + 5(1, 1) = (2, 5)$. Aynı vektör.

Formül olarak $P = (B')^{-1}B$ (burada $B$ ve $B'$ sütun matrisleri). Ters yönün geçiş matrisi $P^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$.

TUZAK · yönü karıştırmak. $[B' \mid B]$ $B \to B'$ geçişini verir; $[B \mid B']$ ise $B' \to B$. “Hedef baz solda” diye ezberle. Emin değilsen bir sütunu kontrol et: $P$‘nin 1. sütunu, $B$‘nin 1. vektörünün $B'$-koordinatı olmalı.

Benzer matrisler

$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$‘nin standart matrisi $A$, $B$ bazına göre matrisi $A'$ olsun. $P$, sütunları $B$‘nin vektörleri olan matris ($B$‘den standarda geçiş) ise

$A' = P^{-1}AP.$

Okuma sırası sağdan sola: $B$-koordinatını standarda çevir ($P$), standart bazda $T$‘yi uygula ($A$), sonucu $B$-koordinatına geri çevir ($P^{-1}$).

Tanım. Kare $A$ ve $A'$ için $A' = P^{-1}AP$ sağlayan tersinir bir $P$ varsa $A$ ile $A'$ benzerdir (similar). Benzer matrisler aynı dönüşümün farklı bazlardaki fotoğraflarıdır.

Örnek 4. $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \{(1, 0), (1, -1)\}$, $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

$AP = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, \qquad A' = P^{-1}(AP) = \begin{bmatrix} 3 + 0 & 2 - 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}.$

Bu bazda $T$, birinci baz vektörünü 3 ile, ikinciyi 2 ile çarpıyor. Doğrudan kontrol: $A(1, -1)^T = (2, -2) = 2(1, -1)$. Bu baz vektörlerine gelecek hafta özvektör diyeceğiz.

Benzerlikte korunanlar

$\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A\det P = \det A$. Aynı şekilde korunanlar:

Benzer olmadığını göstermek için tek bir farklı değişmez (iz, det, rank) yeter (Q10). İz ve det’in eşit olması ise benzerliği kanıtlamaz.

Sık yapılan hatalar