Köşegenleştirme ve matris kuvvetleri

Köşegen bir matrisle çalışmak çocuk oyuncağı: çarpımı, tersi, kuvveti, determinantı bir bakışta görülür. Köşegenleştirme (diagonalization), bir matrisi uygun bir bazda köşegen bir matrise dönüştürmektir. 12. haftada gördük: aynı dönüşümün farklı bazlardaki matrisleri benzerdir ($A' = P^{-1}AP$). Eğer baz olarak özvektörleri seçersek $A'$ köşegen olur ve köşegende özdeğerler durur. Bu sayfa iki soruyu cevaplıyor: bu ne zaman mümkün, ve mümkünse ne işe yarar.

Altın kurallar:

1. $n \times n$ matris köşegenleşir $\iff$ $n$ tane bağımsız özvektörü var.
2. $n$ farklı özdeğer yeterli. Tekrarlı özdeğerde özuzay boyutunu hesapla.
3. $P$‘nin sütunları özvektörler, $D$‘de aynı sırayla özdeğerler.
4. $A^{-1}$ almadan kontrol: $AP = PD$.

Tanım ve ana teorem

Kare $A$ için $P^{-1}AP = D$ köşegen olacak şekilde tersinir bir $P$ varsa $A$ köşegenleştirilebilirdir (diagonalizable). Eşdeğer yazım: $A = PDP^{-1}$.

Teorem. $A$ $n \times n$ ise: $A$ köşegenleşir $\iff$ $A$‘nın $n$ lineer bağımsız özvektörü vardır. Bu durumda

$P = [\mathbf{v}_1 \mid \mathbf{v}_2 \mid \cdots \mid \mathbf{v}_n], \qquad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n), \qquad A\mathbf{v}_i = \lambda_i\mathbf{v}_i.$

Neden? $AP = [A\mathbf{v}_1 \mid \cdots \mid A\mathbf{v}_n] = [\lambda_1\mathbf{v}_1 \mid \cdots \mid \lambda_n\mathbf{v}_n] = PD$. Sütunlar bağımsız olduğu için $P$ tersinir, $P^{-1}AP = D$.

Tarif

1. Karakteristik denklemi çöz: özdeğerler ve cebirsel katlılıkları.
2. Her özdeğer için $E_\lambda$‘nın bazını bul.
3. Bütün bazlardaki vektörleri say. $n$ ise köşegenleşir; azsa köşegenleşmez.
4. $P$‘yi özvektörlerle, $D$‘yi karşılık gelen özdeğerlerle aynı sırada yaz.

Farklı özdeğerlerin özvektörleri her zaman bağımsız olduğu için 3. adımda farklı özuzaylardan gelen vektörleri bir araya koymak güvenlidir.

Örnek 1. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$. Önceki sayfadan: $\lambda = 4$ için $(3, 2)$, $\lambda = -1$ için $(1, -1)$.

$P = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \frac15\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}.$

Kontrol: $AP = \begin{bmatrix} 6 + 6 & 2 - 3 \\ 4 + 2 & 2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}$, $PD = \begin{bmatrix} 12 & -1 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}$. Eşit.

$P$ tek değil: özvektörleri ölçekleyebilir ya da sırasını değiştirebilirsin. Sırayı değiştirirsen $D$‘nin köşegeni de aynı şekilde değişir.

Örnek 2 (tekrarlı özdeğer, yine de köşegenleşir). Önceki sayfadaki $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}$: $\lambda = 1$ (cebirsel 2) için iki bağımsız özvektör $(-1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$; $\lambda = 3$ için $(1, 1, 1)$. Toplam 3:

$P = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.$

Ne zaman köşegenleşmez?

Bir özdeğerin geometrik katlılığı cebirsel katlılığından küçükse özvektörler yetmez.

Örnek 3. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. Özdeğer 2 (cebirsel 2). $A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, $E_2 = \operatorname{span}\{(1, 0)\}$. Sadece bir bağımsız özvektör: köşegenleşmez. Bu tip matrise defective denir.

TUZAK · tekrarlı kök görünce “köşegenleşmez” demek. Tekrarlı özdeğer tek başına bir şey söylemez. Örnek 2 köşegenleşiyor, Q9 köşegenleşmiyor; ikisinde de bir çift kök var. Özuzay boyutunu hesaplamadan karar verme.

Kuvvetler: Aᵏ = PDᵏP⁻¹

$A = PDP^{-1}$ ise

$A^2 = PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^2P^{-1}, \qquad A^k = PD^kP^{-1}.$

Ortadaki $P^{-1}P$‘ler yok oluyor. $D^k$ ise sadece köşegen elemanların $k$. kuvveti. Örnek 1 için $A^5$:

D^5    = diag(4^5, (-1)^5) = diag(1024, -1)
P D^5  = [3·1024  1·(-1); 2·1024  (-1)(-1)] = [3072 -1; 2048 1]
A^5    = (P D^5) P⁻¹ = (1/5) [3072 - 2   3072 + 3; 2048 + 2   2048 - 3]
       = (1/5) [3070 3075; 2050 2045] = [614 615; 410 409]

Kontrol: iz $614 + 409 = 1023 = 4^5 + (-1)^5$. Doğrudan beş kez çarpmak yerine tek bir çarpım zinciri.

Aynı fikir polinomlara da uzanır: $p(A) = P\,p(D)\,P^{-1}$. Diferansiyel denklem sistemleri ve Markov zincirleri gibi uygulamalar bu formüle dayanır.

Lineer dönüşüm dili

$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ ve $A$ köşegenleşiyorsa, özvektörlerden oluşan $B$ bazında $T$‘nin matrisi $D$‘dir (12. hafta, $A' = P^{-1}AP$). Yani bu bazda $T$ her koordinatı ayrı ayrı bir sayıyla çarpar. Köşegenleştirme, dönüşümü en basit gösteren koordinat sistemini bulmaktır.

Sık yapılan hatalar