Limitler ve sonsuz limitler

Limit (limit), calculus’un temel kavramı. Türev bir limit, integral bir limit, süreklilik bir limitle tanımlanıyor. Sınavda limit soruları genelde ilk sayfada: hızlı puan için. Ama her biri küçük bir tuzak barındırıyor. Bu haftanın algoritması basit:

1. Önce yerine koy. Sonlu bir sayı çıkarsa iş bitti.
2. $\tfrac00$ çıkarsa cebirle sadeleştir: çarpanlara ayır, eşlenikle çarp ya da $\tfrac{\sin x}{x}$ kalıbını kur.
3. $\tfrac{c}{0}$ ($c\ne0$) çıkarsa cevap $\pm\infty$ ya da “yok”. Tek taraflı işarete bak.
4. Mutlak değer, parçalı fonksiyon ya da kök varsa sağ ve sol limiti ayrı hesapla.
5. Salınan bir ifade varsa ($\sin\tfrac1x$ gibi) sıkıştırma teoremini kullan.

Limitin anlamı

$\lim_{x\to a}f(x)=L$

”$x$, $a$‘ya yeterince yaklaştığında $f(x)$, $L$‘ye istediğin kadar yakın olur” demek. Kritik nokta: $f(a)$‘nın değeri limiti etkilemez. $f(a)$ tanımsız olabilir, başka bir sayı olabilir. Limit sadece $a$‘nın çevresine bakar.

Örneğin $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ fonksiyonu $x=1$‘de tanımsız. Ama $x=0.999$ için $1.999$, $x=1.001$ için $2.001$. Limit $2$.

Tek taraflı limitler (one-sided limits)

• $\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)$: $x$, $a$‘ya soldan ($x<a$) yaklaşırken.
• $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)$: sağdan ($x>a$).

$\lim_{x\to a}f(x)=L \iff \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L$

Örnek 1. $\dfrac{|x|}{x}$ fonksiyonu $x>0$ iken $1$, $x<0$ iken $-1$. Sağ limit $1$, sol limit $-1$. $\lim_{x\to0}$ yok (does not exist).

Örnek 1b (parçalı fonksiyon). $f(x)=\begin{cases}x^2+1, & x<1\\ 3x-1, & x\ge1\end{cases}$ için $\lim_{x\to1}f(x)$.

Soldan $x<1$ parçası kullanılır: $1^2+1=2$. Sağdan $x\ge1$ parçası: $3-1=2$. İki taraf eşit, limit $2$. Birleşme noktasında hep böyle çalış: her yön için o yönün formülünü kullan.

Limitin olmadığı üç durum

1. Sol ve sağ limit farklı (sıçrama): $\dfrac{|x|}{x}$, $x\to0$.
2. Sınırsız büyüme: $\dfrac1x$, $x\to0$. Bir yanda $+\infty$, diğer yanda $-\infty$.
3. Salınım (oscillation): $\sin\dfrac1x$, $x\to0$. $x=\tfrac{1}{n\pi}$ noktalarında değer $0$, $x=\tfrac{2}{(4n+1)\pi}$ noktalarında $1$. Fonksiyon $0$‘a yaklaşırken $-1$ ile $1$ arasında sonsuz kez gidip gelir, tek bir sayıya yerleşmez.

Sayısal tablo yaparak limit tahmin etmek bu üçüncü durumda yanıltır. Hangi noktaları seçtiğine göre farklı sayılar görürsün. Tablo bir fikir verir, kanıt değildir.

Limit kuralları (limit laws)

$\lim f=L$, $\lim g=M$ ise: toplamın limiti $L+M$, çarpımın $LM$, bölümün $L/M$ ($M\ne0$ ise), $\lim[f]^n=L^n$, $\lim\sqrt[n]{f}=\sqrt[n]{L}$. Sonuç: polinom ve rasyonel fonksiyonlarda (payda sıfır olmadıkça) yerine koymak yeter.

Örnek 2. $\displaystyle\lim_{x\to2}(x^2+3x)=4+6=10$.

Kuralların hepsi “limitler var ise” şartıyla çalışır. İki limitten biri yoksa toplam kuralını kullanamazsın; bu, toplamın limitinin olmadığı anlamına da gelmez. Örneğin $\lim_{x\to0}\sin\tfrac1x$ yok, $\lim_{x\to0}\left(-\sin\tfrac1x\right)$ yok, ama toplamları her yerde $0$ ve limiti $0$.

Sınavda tipik akış şöyle:

yerine koy
 ├─ sayı çıktı            -> cevap
 ├─ c/0 (c ≠ 0)           -> ±inf ya da yok: sağ/sol işaret analizi
 └─ 0/0                   -> cebir:
      ├─ polinom/rasyonel -> çarpanlara ayır
      ├─ kök farkı        -> eşlenikle çarp
      ├─ sin, tan, cos    -> sin(u)/u kalıbı
      └─ salınım × 0      -> sıkıştırma

0/0 belirsizliğini çözmek

$\tfrac00$ bir cevap değil, “daha çalış” işaretidir (indeterminate form). Üç ana teknik var.

1. Çarpanlara ayırma

Örnek 3. $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+4x+3}{x+1}=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=\lim_{x\to-1}(x+3)=2$.

Payda $x\to a$ iken sıfırsa ve pay da sıfırsa, ikisinde de $(x-a)$ çarpanı vardır. Onu bul ve sadeleştir.

2. Eşlenikle çarpma (rationalizing)

Kök içeren farklarda $\sqrt{A}-B$ ifadesini $\sqrt{A}+B$ ile çarp, $(\sqrt A)^2-B^2$ elde et.

Örnek 4.

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(x+9)-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac16$

3. Trigonometrik kalıp

Radyan cinsinden temel limit:

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

Buradan türeyenler: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$ ve $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$.

Örnek 5. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{x}=\lim_{x\to0}4\cdot\frac{\sin 4x}{4x}=4$.

Kural: sinüsün içindeki ifade paydada da aynen bulunmalı. Değilse çarpıp bölerek oluştur. Kısa sonuç: $\dfrac{\sin ax}{bx}\to\dfrac{a}{b}$.

Örnek 5b. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}$. Pay ve paydayı ayrı ayrı kalıba sok:

$\frac{\sin 3x}{\sin 5x}=\frac{\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot 3x}{\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot 5x}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\dfrac{\sin 3x}{3x}}{\dfrac{\sin 5x}{5x}}\ \to\ \frac35\cdot\frac11=\frac35$

$\tan$ içeren ifadelerde $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ yaz; $\cos x\to1$ olduğu için $\dfrac{\tan ax}{bx}\to\dfrac ab$ de geçerli.

TUZAK · $x\to0$ değilse kalıp çalışmaz. $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{\pi}=0$, $1$ değil. Kalıp sadece sinüsün içi sıfıra giderken geçerli.

Sıkıştırma teoremi (Squeeze Theorem)

$a$ civarında $g(x)\le f(x)\le h(x)$ ve $\lim g=\lim h=L$ ise $\lim f=L$.

En sık kullanım: sınırlı (bounded) bir ifade çarpı sıfıra giden bir ifade.

Örnek 6. $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\frac1x$.

$\cos\tfrac1x$‘in limiti yok (sürekli salınır). Ama $-1\le\cos\tfrac1x\le1$. $x^2\ge0$ ile çarp:

$-x^2\le x^2\cos\frac1x\le x^2$

İki uç $0$‘a gidiyor, ortadaki de $0$‘a gider.

TUZAK · limit kuralını yanlış yerde kullanmak. "$\lim x^2\cdot\lim\cos\tfrac1x=0\cdot(\text{?})$" yazamazsın; çarpım kuralı her iki limitin de var olmasını ister. Sıkıştırma kullan.

Sonsuz limitler ve dikey asimptotlar

$x\to a$ iken $f(x)$ sınırsız büyüyorsa $\lim f=+\infty$ yazılır. Bu limit “var” anlamına gelmez; davranışı tarif eder. $x=a$ doğrusu dikey asimptot (vertical asymptote) olur.

$\tfrac{c}{0}$ ($c\ne0$) durumunda işareti belirlemek için paydanın işaretine bak:

Örnek 7. $\displaystyle\lim_{x\to2^-}\frac{x+1}{x-2}$. Pay $\to3>0$. $x<2$ iken $x-2<0$. Sonuç $\tfrac{3}{0^-}=-\infty$. Sağdan $+\infty$.

Örnek 8. $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}=+\infty$. Kare her iki yanda pozitif, iki taraflı limit $+\infty$.

Dikey asimptot bulma algoritması (rasyonel fonksiyon):

1. Paydayı sıfır yapan x'leri bul.
2. Payı ve paydayı çarpanlara ayır, ortak çarpanları sadeleştir.
3. Sadeleşen nokta -> delik (removable), asimptot DEĞİL.
4. Sadeleştikten sonra paydayı hâlâ sıfır yapan nokta -> dikey asimptot.

Limitin kesin tanımı (epsilon-delta)

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$ demek: her $\varepsilon>0$ için öyle bir $\delta>0$ vardır ki $0<|x-a|<\delta$ olduğunda $|f(x)-L|<\varepsilon$ olur.

$\varepsilon$ “çıktıda ne kadar hata kabul ediyorum”, $\delta$ “girdiyi ne kadar yakın tutmalıyım”. Doğrusal fonksiyonlarda hesap kısa:

Örnek 9. $\displaystyle\lim_{x\to1}(3x+2)=5$. $|(3x+2)-5|=3|x-1|$. Bunun $\varepsilon$‘dan küçük olması için $|x-1|<\varepsilon/3$ yeter. $\delta=\varepsilon/3$ seç.

Adams’ta bu tanım, “find $\delta$ for $\varepsilon=0.01$” tipinde sayısal sorularla gelir. Fark ifadesini $|x-a|$ çarpanı içerecek şekilde düzenle, katsayıya böl.

Sık yapılan hatalar