Türevin tanımı, çarpım ve bölüm kuralları

Türev (derivative), “anlık değişim hızı” ve “teğet doğrusunun eğimi” demek. Bu hafta iki şey öğreniyorsun: türevi tanımdan (limit olarak) hesaplamak ve kurallarla hızlıca hesaplamak. Sınavda ikisi ayrı ayrı sorulur. “Use the definition” yazıyorsa kuralla bulduğun cevaba puan verilmez. Önemli noktalar:

1. Tanım: $f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Her zaman $\tfrac00$ verir, cebirle $h$‘yi sadeleştirirsin.
2. Teğet doğrusu: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
3. Kökleri ve kesirleri önce kuvvet olarak yaz, sonra kuvvet kuralı.
4. Çarpımın türevi türevlerin çarpımı değildir. $(fg)'=f'g+fg'$.
5. Bölüm kuralında sıra önemli: $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$.

Türevin tanımı

$f$‘in $a$ noktasındaki türevi:

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Kesir, $a$ ile $a+h$ noktalarından geçen kesen doğrunun (secant line) eğimi. $h$ sıfıra giderken kesen doğru teğete (tangent line) dönüşür. Limit varsa $f$, $a$‘da türevlenebilirdir (differentiable).

Gösterimler: $f'(x)$, $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d}{dx}f(x)$.

Tanımdan hesaplama: üç tip

Örnek 1 (polinom). $f(x)=x^2$, $a=3$.

f(3+h) = 9 + 6h + h^2
f(3+h) - f(3) = 6h + h^2
[ ... ] / h = 6 + h
h -> 0:  f'(3) = 6

Teğet doğrusu $(3,9)$‘dan geçer, eğimi $6$: $y-9=6(x-3)$, yani $y=6x-9$.

Örnek 2 (kesir). $f(x)=\dfrac1x$. Paydaları eşitle:

$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h}-\frac1x\right)=\frac1h\cdot\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+h)}\ \xrightarrow{h\to0}\ -\frac{1}{x^2}$

Örnek 3 (kök). $f(x)=\sqrt x$. Eşlenikle çarp:

$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt x}{\sqrt{x+h}+\sqrt x}=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}\ \xrightarrow{h\to0}\ \frac{1}{2\sqrt x}$

TUZAK · $h$‘yi erken sıfırlamak. $h$ paydadan tamamen gitmeden $h=0$ koyarsan $\tfrac00$ elde edersin. Önce sadeleştir, sonra limit al.

Türev de bir fonksiyon

$a$ yerine değişken $x$ koyduğunda $f'(x)$ yeni bir fonksiyon olur: her noktaya o noktadaki eğimi atar. Bu yüzden türevin grafiğini $f$‘in grafiğinden okuyabilirsin:

• $f$ artıyorsa $f'>0$ (grafik eksenin üstünde),
• $f$ azalıyorsa $f'<0$,
• $f$‘in tepe ya da çukur noktasında yatay teğet var, $f'=0$.

Sınavda “aşağıdaki grafiklerden hangisi $f'$‘nün grafiği?” sorusu bu üç cümleyle çözülür. 9. haftada aynı fikri tersine kullanıp $f'$‘nün işaretinden $f$‘in şeklini çizeceksin.

Bir de ortalama ve anlık değişim farkı var. $[a,b]$ aralığındaki ortalama değişim hızı $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, yani kesen eğimi. Anlık değişim hızı $f'(a)$. Fizikte ortalama hız ile o andaki hız farkı bu.

Türevlenebilirlik ve süreklilik

Teorem: $f$, $a$‘da türevlenebilir ise $a$‘da süreklidir. Tersi doğru değil.

$f(x)=|x|$ fonksiyonu $0$‘da sürekli. Ama

$\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1,\qquad \lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1$

Tek taraflı türevler farklı, $f'(0)$ yok. Grafikte sivri köşe (corner) var.

Türevin olmadığı tipik yerler: köşe, sivri uç (cusp, örneğin $x^{2/3}$‘te $0$), dikey teğet ($\sqrt[3]{x}$‘te $0$), süreksizlik noktası.

Türev kuralları

Örnek 4 (kuvvet kuralı). $y=3x^4-\dfrac2x+5\sqrt[3]{x^2}$.

Önce kuvvet olarak yaz: $y=3x^4-2x^{-1}+5x^{2/3}$. Sonra:

$y'=12x^3+2x^{-2}+\frac{10}{3}x^{-1/3}=12x^3+\frac{2}{x^2}+\frac{10}{3\sqrt[3]{x}}$

Örnek 5 (çarpım). $y=(2x+1)(x^2-3)$.

$y'=\underbrace{2}_{f'}(x^2-3)+(2x+1)\underbrace{2x}_{g'}=2x^2-6+4x^2+2x=6x^2+2x-6$

Örnek 6 (bölüm). $y=\dfrac{x^2}{x+1}$.

$y'=\frac{2x(x+1)-x^2\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

Bölüm kuralını hatırlamak için: “alt çarpı üstün türevi, eksi üst çarpı altın türevi, bölü alt kare”.

Kurallar nereden geliyor?

Kuvvet kuralı, tanıma binom açılımı uygulanınca çıkar: $(x+h)^n=x^n+nx^{n-1}h+(\ldots)$, parantezin içi $h^2$ ve daha yüksek kuvvetleri içeren terimler. Farkı $h$‘ye bölünce $nx^{n-1}$ kalır, geri kalan her terimde $h$ olduğu için sıfıra gider.

Çarpım kuralında ise tanımda $f(x+h)g(x)$ terimini bir ekleyip bir çıkarırsın:

$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$h\to0$ iken ilk terim $f(x)g'(x)$, ikincisi $g(x)f'(x)$ olur. ($f(x+h)\to f(x)$ kısmı, türevlenebilir fonksiyonun sürekli olmasından geliyor.) İspatı sınavda nadiren sorarlar ama “neden $f'g'$ değil” sorusunun cevabı bu.

Üç çarpan için kural aynı mantıkla uzar: her seferinde bir çarpanın türevini al, diğerlerini olduğu gibi bırak.

$(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$

Örnek 7. $y=x(x+1)(x-2)$ için $y'=(x+1)(x-2)+x(x-2)+x(x+1)=3x^2-2x-2$. Kontrol için aç: $y=x^3-x^2-2x$, $y'=3x^2-2x-2$. Aynı.

TUZAK · gereksiz bölüm kuralı. $y=\dfrac{x^3+1}{x}$ için bölüm kuralı yerine önce böl: $y=x^2+x^{-1}$, $y'=2x-x^{-2}$. Daha kısa, hata riski az. Payda sabitse ($\tfrac{x^2}{5}$) asla bölüm kuralı kullanma.

Yüksek mertebeden türevler

$y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}$, türevin türevi. $y'''$, $y^{(4)}$, … böyle devam eder.

Örnek 8. $y=x^4-2x^3$: $y'=4x^3-6x^2$, $y''=12x^2-12x$, $y'''=24x-12$, $y^{(4)}=24$, $y^{(5)}=0$. Polinomda her türev dereceyi bir düşürür; $n$. dereceden polinomun $(n+1)$. türevi sıfırdır.

Fiziksel anlam: hız ve ivme

Konum $s(t)$ ise hız (velocity) $v(t)=s'(t)$, ivme (acceleration) $a(t)=v'(t)=s''(t)$. Hızın işareti yönü verir: $v>0$ ileri, $v<0$ geri. Sürat (speed) ise $|v|$.

Örnek 9. $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (metre, saniye). $v(t)=3t^2-12t+9$, $a(t)=6t-12$. $t=2$‘de $v=12-24+9=-3$ m/s (geri gidiyor), $a=0$. Cisim $v=0$ olduğunda, yani $3(t-1)(t-3)=0 \Rightarrow t=1$ ve $t=3$‘te durur.

Teğet ve normal doğrusu

$x=a$ noktasında:

• Teğet (tangent): $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
• Normal (teğete dik): $y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$, $f'(a)\ne0$ ise

“Yatay teğet nerede?” sorusu $f'(x)=0$ denklemidir. “Teğeti verilen doğruya paralel” ise eğimleri eşitlersin.

Örnek 10. $y=x^2-3x+4$ eğrisinin hangi noktasındaki teğet $y=5x-2$ doğrusuna paraleldir?

paralel -> eğimler eşit:  y' = 2x - 3 = 5   ->  x = 4
nokta:  y(4) = 16 - 12 + 4 = 8    ->  (4, 8)
teğet:  y - 8 = 5(x - 4)          ->  y = 5x - 12

Örnek 11. $y=\sqrt x$ eğrisine $x=4$‘te normal doğrusu. Nokta $(4,2)$. Teğet eğimi $\tfrac{1}{2\sqrt4}=\tfrac14$, normal eğimi $-4$. Normal: $y-2=-4(x-4)$, yani $y=-4x+18$.

Sık yapılan hatalar