Logaritmik, üstel ve ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Bu hafta türev tablosu tamamlanıyor. Üstel, logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonların türevleri zincir kuralıyla birleşince, Calculus I’deki her fonksiyonun türevini alabilir hale geliyorsun. Bunların bir kısmı sadece ezber; asıl puan getiren yer logaritmik türev (logarithmic differentiation) ve ters fonksiyonun türevi. Önce kısa liste:

1. $e^x$ türevi kendisi. $e^{u}$ için $e^u\cdot u'$.
2. $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$. Türevden önce log kurallarıyla ifadeyi parçala.
3. Değişken üssü değişken olan ($x^x$) ya da çok çarpanlı ifadelerde $\ln y$ al, sonra türevle.
4. Ters trigonometrik türevlerde kök ya da $1+u^2$ paydada. Zincir için payda $u'$.
5. $(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$, burada $f(a)=b$.

Üstel fonksiyonlar

$e$ sayısı, $e^x$‘in $x=0$‘daki teğet eğimi tam $1$ olacak şekilde seçilmiş taban. Bu yüzden:

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Fonksiyonun her noktadaki eğimi kendi değerine eşit. Başka bir taban için $a^x=e^{x\ln a}$ yaz, zincir kuralı uygula:

$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$

Örnek 1. $y=e^{x^2-3x}$: $y'=(2x-3)e^{x^2-3x}$. Üs aynen kalır, önüne üssün türevi gelir.

Örnek 2. $y=x^2e^{-x}$: $y'=2xe^{-x}+x^2(-e^{-x})=e^{-x}(2x-x^2)$. Çarpım kuralından sonra $e^{-x}$ ortak paranteze alınır; 9. haftada işaret incelemesi bu formda kolay.

Örnek 3. $y=2^{\sin x}$: $y'=2^{\sin x}\ln 2\cdot\cos x$.

TUZAK · kuvvet kuralını üstele uygulamak. $(2^x)'=x\cdot2^{x-1}$ yanlış. Kuvvet kuralı taban değişken, üs sabitken ($x^2$) geçerli. Taban sabit, üs değişkense ($2^x$) üstel kural: $2^x\ln2$.

Logaritmik fonksiyonlar

$y=\ln x$ ise $e^y=x$. Kapalı türev: $e^yy'=1 \Rightarrow y'=\dfrac{1}{e^y}=\dfrac1x$.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x,\qquad \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x\ (x\ne0),\qquad \frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}$

Zincirli hali en çok kullanılan: $\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}$.

Örnek 4. $y=\ln(\sin x)$: $y'=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$.

Örnek 5 (önce parçala). $y=\ln\dfrac{x^3\sqrt{x+1}}{(2x-1)^2}$.

Bölüm kuralıyla uğraşma. Önce log kurallarıyla aç:

$y=3\ln x+\tfrac12\ln(x+1)-2\ln(2x-1)$

Sonra terim terim:

$y'=\frac3x+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{4}{2x-1}$

Son terimde zincirden $2$ geldi: $-2\cdot\dfrac{2}{2x-1}$.

Logaritmik türev alma

Üç durumda kullan:

• Taban ve üs ikisi de değişken: $x^x$, $x^{\sin x}$, $(\ln x)^x$.
• Çok sayıda çarpan ve bölen: $\dfrac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{(x+2)^4}$.
• Kökler ve kuvvetler iç içe.

Algoritma:

1. ln y = ln(sağ taraf)        iki tarafın ln'i
2. log kurallarıyla aç          üsler öne, çarpımlar toplama
3. iki tarafı türevle           sol taraf: y'/y
4. y' = y · (sağ taraf türevi)  y'yi orijinal formülle yaz

Örnek 6. $y=x^{\sin x}$, $x>0$.

$\ln y=\sin x\ln x \Rightarrow \frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x} \Rightarrow y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$

TUZAK · $x^x$ için iki kuraldan birini seçmek. Kuvvet kuralı $x\cdot x^{x-1}=x^x$ verir, üstel kural $x^x\ln x$ verir. İkisi de yanlış; doğru cevap ikisinin toplamı: $x^x(1+\ln x)$. Bu tesadüf değil, logaritmik türev her iki değişkenliği de hesaba katıyor.

Ters fonksiyonun türevi

$f$ birebir ve türevlenebilir, $f(a)=b$ ve $f'(a)\ne0$ ise:

$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}$

Grafik olarak: $f$‘in $(a,b)$ noktasındaki teğet eğimi $m$ ise, $y=x$‘e göre yansımada $(b,a)$ noktasındaki eğim $\tfrac1m$.

Örnek 7. $f(x)=x^3+x$ için $(f^{-1})'(2)$.

f(a) = 2  ->  a^3 + a = 2  ->  a = 1      (deneyerek)
f'(x) = 3x^2 + 1  ->  f'(1) = 4
(f^-1)'(2) = 1/4

Tersin formülünü bulmana gerek yok. Sınavın beklediği yol bu.

Ters trigonometrik fonksiyonlar

$y=\arcsin x$ ise $\sin y=x$ ve $y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$. Kapalı türev:

$\cos y\cdot y'=1 \Rightarrow y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Kökün işareti $+$, çünkü o aralıkta $\cos y\ge0$. Diğerleri aynı yolla çıkar:

$\arcsin$ ve $\arccos$‘un türevleri sadece işaretle farklı. Bu, $\arcsin x+\arccos x=\tfrac{\pi}{2}$ (sabit) olmasının sonucu.

Örnek 8. $y=\arctan\sqrt x$: $y'=\dfrac{1}{1+(\sqrt x)^2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac{1}{2\sqrt x(1+x)}$.

Örnek 9. $y=\arcsin 2x$: $y'=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Bu türevlerin asıl önemi 12-14. haftalarda ortaya çıkıyor: $\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ ve $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$ integralleri bu tablonun tersten okunmuş hali.

Karışık örnekler: hangi kural ne zaman?

Sınavda fonksiyonlar tek başına gelmez; bir sorunun içinde üç kural birden çalışır. Kendine şu soruları sırayla sor:

Örnek 10. $y=e^{-2x}\arctan(x^2)$.

Dış yapı çarpım. Birinci çarpanın türevi $-2e^{-2x}$ (zincir). İkincinin türevi $\dfrac{2x}{1+x^4}$ (zincir, $u=x^2$, $u^2=x^4$). Birleştir:

$y'=-2e^{-2x}\arctan(x^2)+e^{-2x}\cdot\frac{2x}{1+x^4}=2e^{-2x}\left(\frac{x}{1+x^4}-\arctan(x^2)\right)$

Örnek 11. $y=\ln\big(x+\sqrt{x^2+1}\big)$.

$y'=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

Uzun görünen bir ifade tek terime iniyor. Bu sonuç 14. haftada $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ integralinin cevabı olarak geri gelecek.

$\ln|x|$ neden önemli?

$\ln x$ sadece $x>0$ için tanımlı. $\ln|x|$ ise $x\ne0$ olan her yerde tanımlı ve iki yanda da türevi $\tfrac1x$: $x<0$ için $\ln|x|=\ln(-x)$, zincirle türevi $\dfrac{-1}{-x}=\dfrac1x$. Bu yüzden integral alırken $\displaystyle\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$ yazılır; mutlak değeri unutmak, negatif $x$ için cevabı tanımsız bırakır.

Üstel büyüme

$y=Ce^{kt}$ için $y'=kCe^{kt}=ky$. Yani değişim hızı mevcut miktarla orantılı. Nüfus, faiz, radyoaktif bozunma hep bu denklemle modellenir. 1. haftadaki “her 3 saatte iki katı” modelini $e$ tabanında yazarsan $k=\dfrac{\ln2}{3}$ çıkar.

e sayısının limit tanımı

$\ln x$‘in $x=1$‘deki türevi $1$. Tanımdan:

$1=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=\lim_{h\to0}\ln(1+h)^{1/h}$

$e^x$ sürekli olduğu için iki tarafın üstelini al: $\displaystyle\lim_{h\to0}(1+h)^{1/h}=e$. Bu, 1. haftada gördüğün $(1+\tfrac1n)^n\to e$ limitinin sürekli versiyonu.

Sık yapılan hatalar