Ortalama değer teoremi ve eğri çizimi

Bu hafta türevin “fonksiyonun şekli hakkında ne söylediğini” öğreniyorsun. Teorik kısım Ortalama Değer Teoremi (Mean Value Theorem): türevden fonksiyon hakkında bilgi çıkarmanın garantisini o veriyor. Uygulama kısmı eğri çizimi (curve sketching): $f'$‘nün işaretinden artan/azalan, $f''$‘nün işaretinden bükeyliği okuyup grafiği çizersin. Finalde neredeyse her zaman bir “sketch the graph” sorusu var ve 15-20 puan. Ana fikirler:

1. MVT: bir aralıkta en az bir noktada teğet eğimi, kesen eğimine eşittir.
2. $f'$‘nün işareti artanlık/azalanlığı, işaret değişimi yerel ekstremumu verir.
3. $f''$‘nün işareti bükeyliği, işaret değişimi dönüm noktasını verir.
4. $f'(c)=0$ ya da $f''(c)=0$ tek başına bir şey kanıtlamaz. İşarete bak.

Rolle Teoremi

$f$ şu üç şartı sağlasın:

1. $[a,b]$‘de sürekli,
2. $(a,b)$‘de türevlenebilir,
3. $f(a)=f(b)$.

O zaman $f'(c)=0$ olan en az bir $c\in(a,b)$ vardır.

Sezgi: aynı yükseklikten başlayıp aynı yükseklikte biten pürüzsüz bir yol, arada bir yerde tepe ya da çukur yapmak zorundadır. Orada teğet yataydır.

Ortalama Değer Teoremi (MVT)

$f$, $[a,b]$‘de sürekli ve $(a,b)$‘de türevlenebilirse:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad\text{olan bir } c\in(a,b) \text{ vardır.}$

Sağ taraf, uç noktaları birleştiren kesenin eğimi. Teorem, bir yerde teğetin bu keseye paralel olduğunu söylüyor. Fiziksel yorumu: 2 saatte 180 km gittiysen, bir anda hız göstergen tam 90 km/sa göstermiştir.

Örnek 1. $f(x)=x^2+2x$, $[1,4]$.

kesen eğimi = [f(4) - f(1)] / (4 - 1) = (24 - 3) / 3 = 7
f'(c) = 2c + 2 = 7   ->   c = 2.5     (1 < 2.5 < 4, geçerli)

TUZAK · şartları kontrol etmeden uygulamak. $f(x)=|x|$, $[-1,1]$‘de $f(-1)=f(1)$ ama $f'(c)=0$ olan nokta yok. Neden? $0$‘da türevlenebilir değil, ikinci şart bozuk. Sınavda “verify the hypotheses” diyorsa sürekliliği ve türevlenebilirliği açıkça yaz.

MVT’nin sonuçları

Sonuç 1. $(a,b)$‘de her yerde $f'(x)=0$ ise $f$ orada sabittir. (Herhangi iki nokta arasında MVT: $f(x_2)-f(x_1)=0\cdot(x_2-x_1)=0$.)

Sonuç 2. $f'=g'$ ise $f=g+C$. İntegralde "$+C$" bu yüzden var.

Örnek 2 (özdeşlik kanıtı). $x>0$ için $\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac{\pi}{2}$.

$h(x)=\arctan x+\arctan\frac1x$ de. Türev:

$h'(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1}=0$

$h$ sabit. $x=1$‘de $h(1)=\tfrac\pi4+\tfrac\pi4=\tfrac\pi2$. O halde her $x>0$ için $h(x)=\tfrac\pi2$.

Örnek 3 (eşitsizlik). $x>0$ için $\ln(1+x)<x$.

$f(t)=\ln(1+t)$, $[0,x]$‘te MVT: $\ln(1+x)-\ln1=\dfrac{1}{1+c}\cdot x$, $0<c<x$. $\dfrac{1}{1+c}<1$ olduğu için $\ln(1+x)<x$.

Artan / azalan testi ve birinci türev testi

• $f'>0$ bir aralıkta ise $f$ orada artan (increasing).
• $f'<0$ ise azalan (decreasing).

Birinci türev testi (first derivative test), $c$ kritik nokta olsun:

İşaret tablosu kurmak için: kritik noktaları ve tanımsız noktaları sayı doğrusuna diz, her aralıktan bir test noktası seç, $f'$‘nün işaretine bak.

Bükeylik ve ikinci türev

• $f''>0$: grafik yukarı bükük (concave up), $\cup$ şeklinde. Teğetler grafiğin altında.
• $f''<0$: aşağı bükük (concave down), $\cap$ şeklinde.
• Dönüm noktası (inflection point): bükeyliğin değiştiği, $f$‘in tanımlı olduğu nokta.

İkinci türev testi: $f'(c)=0$ olsun. $f''(c)>0$ ise yerel min, $f''(c)<0$ ise yerel max, $f''(c)=0$ ise test sonuç vermez (birinci türev testine dön).

TUZAK · $f''(c)=0$ dönüm noktası demek değil. $f(x)=x^4$ için $f''(0)=0$ ama $f''=12x^2\ge0$ her yerde, işaret değişmiyor. $0$‘da dönüm noktası yok, minimum var. Dönüm noktası için işaret değişimi şart.

Eğri çizimi (curve sketching) şablonu

A. Tanım kümesi
B. Kesişimler: x = 0 -> y-kesişim;  f(x) = 0 -> x-kesişimler
C. Simetri: çift / tek / periyodik
D. Asimptotlar: dikey, yatay, eğik
E. f': kritik noktalar, artan/azalan aralıklar, yerel max/min
F. f'': bükeylik aralıkları, dönüm noktaları
G. Önemli noktaları işaretle, asimptotlara uyarak çiz

Örnek 4 (tam çizim). $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$.

A. $x\ne1$.

B. $f(0)=0$; $f(x)=0 \iff x=0$. Grafik orijinden geçiyor.

C. $f(-x)\ne\pm f(x)$, simetri yok.

D. $x\to1^+$: $\tfrac{1}{0^+}\to+\infty$; $x\to1^-$: $-\infty$. Dikey asimptot $x=1$. Pay derecesi bir fazla, polinom bölmesi: $x^2=(x-1)(x+1)+1$, yani $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}$. Eğik asimptot $y=x+1$.

E. $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. Kritik noktalar $0$ ve $2$.

$x=0$‘da yerel max $f(0)=0$. $x=2$‘de yerel min $f(2)=4$.

F. $f(x)=x+1+(x-1)^{-1}$ formundan: $f''(x)=2(x-1)^{-3}=\dfrac{2}{(x-1)^3}$. $x<1$: aşağı bükük; $x>1$: yukarı bükük. İşaret $x=1$‘de değişiyor ama orası tanım dışı: dönüm noktası yok.

G. Sol kolda grafik $(-\infty)$‘dan eğik asimptotun altında gelir, $(0,0)$‘da tepe yapar, $x=1$‘e yaklaşırken $-\infty$‘a düşer. Sağ kolda $+\infty$‘dan iner, $(2,4)$‘te dip yapar, sonra $y=x+1$‘in üstünde ona yaklaşarak yükselir.

İPUCU · türevi basit formda al. $f''$‘yü bölüm kuralıyla $\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$‘den almak uzun ve hataya açık. Polinom bölmesinden gelen $x+1+\dfrac{1}{x-1}$ formu iki satırda bitirir.

Sık yapılan hatalar