Analizin Temel Teoremi ve yerine koyma yöntemi

Calculus’un en önemli teoremi bu hafta. Riemann toplamlarıyla uzun uzun hesapladığın alanlar tek satıra iniyor, çünkü integral alma ile türev alma birbirinin tersi. Teoremin iki kısmı var ve sınavda ikisi de ayrı soru tipi olarak çıkar. Haftanın ikinci yarısı yerine koyma (substitution): türevdeki zincir kuralının integraldeki karşılığı. Bundan sonraki her integral sorusunda ilk denediğin yöntem bu olacak.

1. $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^xf(t)\,dt=f(x)$. Üst sınır $g(x)$ ise $g'(x)$ ile çarp.
2. $\displaystyle\int_a^bf\,dx=F(b)-F(a)$. Önce ters türev, sonra üst eksi alt.
3. Yerine koymada $u$‘yu, türevi de integralde bulunan iç ifade olarak seç.
4. Belirli integralde sınırları da $u$‘ya çevir.

Analizin Temel Teoremi, 1. kısım

$f$, $[a,b]$‘de sürekli olsun ve

$g(x)=\int_a^xf(t)\,dt$

tanımlayalım. $g(x)$, $a$‘dan $x$‘e kadar biriken (işaretli) alan; buna birikim fonksiyonu (accumulation function) denir. Teorem:

$g'(x)=f(x)$

Sezgi: $x$‘i biraz, $h$ kadar artırırsan alana genişliği $h$, yüksekliği yaklaşık $f(x)$ olan ince bir şerit eklenir. Alan $f(x)\cdot h$ kadar artar, artış hızı $f(x)$.

Zincir kuralıyla genel hali:

$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f\big(g(x)\big)\,g'(x)$

Örnek 1. $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^x\cos(t^2)\,dt=\cos(x^2)$. $\cos(t^2)$‘nin ters türevi elementer fonksiyonlarla yazılamaz, ama türev sorusunu cevaplamak için gerekmiyor.

Örnek 2. $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{x^2}\ln t\,dt=\ln(x^2)\cdot2x=4x\ln x$ ($x>0$).

Alt sınır değişkense işareti çevir: $\displaystyle\int_{h(x)}^{a}f=-\int_a^{h(x)}f$. İki sınır da değişkense ortaya sabit bir nokta koyup ikiye böl.

TUZAK · zincir çarpanını unutmak. $\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^3}\sin t\,dt=\sin(x^3)$ yazmak yanlış. Doğrusu $3x^2\sin(x^3)$. Üst sınır $x$ değilse türevi ile çarp.

Analizin Temel Teoremi, 2. kısım

$F$, $f$‘in herhangi bir ters türevi ise:

$\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b$

$+C$ yazmana gerek yok: $(F(b)+C)-(F(a)+C)$ farkında sadeleşir.

Örnek 3. $\displaystyle\int_1^2\left(x^2-\frac1x\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}-\ln x\right]_1^2=\left(\frac83-\ln2\right)-\left(\frac13-0\right)=\frac73-\ln2\approx1.640$.

Örnek 4. $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_0^\pi=-\cos\pi+\cos0=1+1=2$. Sinüs kemerinin altındaki alan tam $2$.

Örnek 5 (mutlak değer). $\displaystyle\int_{-1}^2|x|\,dx=\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx=\frac12+2=\frac52$. Mutlak değeri sıfır noktasında ikiye bölmeden ters türev alınmaz.

İki kısım neden aynı teorem?

2. kısım, 1. kısımdan çıkıyor. $g(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ fonksiyonunun türevi $f$, yani $g$ de $f$‘in bir ters türevi. Her ters türev bir sabit kadar farklı olduğu için (9. hafta, MVT sonucu) $F(x)=g(x)+C$. Şimdi $F(b)-F(a)=g(b)-g(a)=\int_a^bf-0$. Riemann toplamının limitiyle tanımlanan alan, türevin tersiyle hesaplanabiliyor. Calculus’u bir araç haline getiren cümle bu.

Pratikte şu anlama geliyor: 11. haftada $\int_0^1x^2\,dx$ için yarım sayfa toplam formülü yazdın. Şimdi $\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\tfrac13$, bir satır.

Net değişim ve ortalama değer

$\displaystyle\int_a^bF'(x)\,dx=F(b)-F(a)$: değişim hızının integrali toplam (net) değişimi verir. Hızın integrali yer değiştirme, akış hızının integrali toplam hacim.

Ortalama değer (average value):

$f_{\text{ort}}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx$

İntegraller için Ortalama Değer Teoremi: $f$ sürekliyse $f(c)=f_{\text{ort}}$ olan bir $c\in[a,b]$ vardır. Örneğin $\sin x$‘in $[0,\pi]$‘deki ortalaması $\tfrac2\pi\approx0.637$.

Yerine koyma yöntemi (substitution)

Zincir kuralı $\dfrac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)$ diyordu. Tersten okursak:

$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\qquad u=g(x),\ du=g'(x)\,dx$

Ne zaman işe yarar: integrand’da bir iç fonksiyon ve onun türevi (sabit çarpanı fark etmez) birlikte görünüyorsa.

Adımlar

1. u'yu seç: genelde parantez içi, kök içi, üs, payda
2. du = u' dx hesapla, dx'i ya da "x'li parçayı" du cinsinden yaz
3. integrali tamamen u cinsinden yaz (hiç x kalmamalı)
4. u'ya göre integral al
5. u yerine g(x) koy (belirsiz integralde)

Örnek 6. $\displaystyle\int2x\cos(x^2)\,dx$. $u=x^2$, $du=2x\,dx$. $\int\cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C$.

Örnek 7 (doğrusal iç). $\displaystyle\int(3x+1)^5\,dx$. $u=3x+1$, $du=3\,dx$, $dx=\tfrac13du$. $\tfrac13\cdot\tfrac{u^6}{6}=\dfrac{(3x+1)^6}{18}+C$. Kısa kural: $\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1aF(ax+b)+C$.

Örnek 8 ($\tan x$). $\displaystyle\int\tan x\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx$. $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$. $-\int\dfrac{du}{u}=-\ln|u|+C=-\ln|\cos x|+C=\ln|\sec x|+C$.

Örnek 9. $\displaystyle\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$. $u=e^x$, $du=e^xdx$, $e^{2x}=u^2$. $\displaystyle\int\frac{du}{1+u^2}=\arctan u+C=\arctan(e^x)+C$.

Hangi $u$?

Örnek 9b (geri yerine koyma). $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$. Dışarıdaki $x$, $x+1$‘in türevi değil. Yine de $u=x+1$ seç; $du=dx$ ve $x=u-1$:

$\int(u-1)\sqrt u\,du=\int\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac25u^{5/2}-\frac23u^{3/2}+C=\frac25(x+1)^{5/2}-\frac23(x+1)^{3/2}+C$

Kalan $x$‘i $u$ cinsinden yazabiliyorsan yöntem yine çalışır. Soru 10 da bu tipte.

TUZAK · $x$‘i integralde bırakmak. $\int x^2\cos(x)\,dx$ için $u=x^2$ seçersen $du=2x\,dx$ olur ama integrand’da $\cos x$ ve fazladan bir $x$ kalır, $u$ cinsinden yazılamaz. Yerine koyma her integrali çözmez; bu integral 13. haftanın kısmi integrasyonu ile çözülür.

Belirli integralde yerine koyma

Sınırları da $u$‘ya çevir. Böylece sonda $x$‘e dönmen gerekmez.

Örnek 10. $\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx$.

u = 1 - x^2,   du = -2x dx   ->   x dx = -du/2
x = 0 -> u = 1,    x = 1 -> u = 0
∫_1^0 sqrt(u) (-du/2) = (1/2) ∫_0^1 u^(1/2) du = (1/2)(2/3) = 1/3

Sınırların yerini değiştirince eksi işaret kayboldu. Bu, $\int_b^a=-\int_a^b$ özelliği.

Simetri

$f$ tek ise $\displaystyle\int_{-a}^af=0$; çift ise $\displaystyle\int_{-a}^af=2\int_0^af$. Örneğin $\displaystyle\int_{-2}^2x^3\cos x\,dx=0$, çünkü $x^3$ tek, $\cos x$ çift, çarpımları tek. Hesap yapmadan cevap.

Sık yapılan hatalar