MAT1051 · 14. hafta · Inverse Substitution and Review

Final tekrar: limit, türev, uygulamalar ve integral

Dönemin tamamının tek sayfalık özeti: her konunun ana formülü, karar şemaları ve finale benzeyen karışık 12 soru.

limitcontinuityderivativechain ruleimplicit differentiationrelated ratesabsolute extremaoptimizationlinearizationFundamental Theorem of Calculussubstitutionintegration by partspartial fractions

Bu sayfa finalden önceki son okuma için. Her haftanın en sık sorulan kısmını tek yerde topladım; ayrıntı için ilgili hafta sayfasına dön. Final sınavı genelde dört bloktan oluşur: limit ve süreklilik, türev hesabı, türev uygulamaları, integral. Her bloktan en az bir soru gelir ve uygulama soruları (related rates, optimizasyon, eğri çizimi) en çok puanı taşır.

Çalışma önerisi: aşağıdaki tabloları oku, sonra sorulara bakmadan önce kendi çözümünü kâğıda yaz. Cevabı açtığında sadece sonuca değil adım sırasına da bak. Sınavda kısmi puan adımlardan gelir.

Blok 1: limit ve süreklilik (hafta 3-4)

Durum	Ne yaparsın?
Yerine koyunca sayı	Cevap o sayı
$\tfrac00$ , polinom	Çarpanlara ayır, sadeleştir
$\tfrac00$ , kök farkı	Eşlenikle çarp
$\tfrac00$ , trigonometrik	$\dfrac{\sin u}{u}\to1$ kalıbı
$\tfrac{c}{0}$ , $c\ne0$	Sonsuz limit; sağ ve sol işaret
Salınım çarpı sıfır	Sıkıştırma teoremi
$x\to\pm\infty$ , rasyonel	Derece kuralı
$x\to-\infty$ ve kök	$\sqrt{x^2}=-x$
Süreklilik sabiti	Birleşme noktasında sol = sağ = $f(a)$
Kök var mı?	IVT: süreklilik + zıt işaret

Süreklilik sorusunda üç şartı açıkça yaz: $f(a)$ tanımlı, limit var, eşitler. “Removable” süreksizlikte limit vardır; “jump” da sol ve sağ farklıdır; “infinite” da limit sonsuzdur.

Blok 2: türev hesabı (hafta 5-7)

Tanımdan türev: $f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ . Kesirde payda eşitle, kökte eşlenikle çarp, $h$ ‘yi sadeleştir.

Fonksiyon	Türev	Fonksiyon	Türev
$x^n$	$nx^{n-1}$	$e^u$	$e^uu'$
$\sin u$	$u'\cos u$	$a^u$	$a^u\ln a\cdot u'$
$\cos u$	$-u'\sin u$	$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$\tan u$	$u'\sec^2u$	$\arcsin u$	$\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$
$\sec u$	$u'\sec u\tan u$	$\arctan u$	$\dfrac{u'}{1+u^2}$

Zor görünen türevlerde sıra: önce sadeleştir (log kurallarıyla aç, kesri böl), sonra dış yapıya bak (çarpım mı, bölüm mü, bileşke mi), en son zincir. Taban ve üs değişkense logaritmik türev. $y$ açıkça yazılamıyorsa kapalı türev: $y$ ‘li her terim $y'$ ile çarpılır.

Ters fonksiyonun türevi: $(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$ , $f(a)=b$ . Önce $a$ ‘yı bul.

Blok 3: türev uygulamaları (hafta 8-10)

Related rates. Şekil, değişkenler, denklem, $t$ ‘ye göre türev, sonra o anki sayılar. Değişen bir büyüklüğü türevden önce sabitleme.

Mutlak ekstremum (kapalı aralık): kritik noktalar ( $f'=0$ ya da tanımsız) ve uç noktalar; değer tablosu; en büyük ve en küçük.

MVT: $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . “Tam bir kök” sorusu: IVT ile en az bir, Rolle ile en fazla bir.

Eğri çizimi: tanım kümesi, kesişimler, asimptotlar, $f'$ işaret tablosu (artan/azalan, yerel ekstremum), $f''$ işaret tablosu (bükeylik, dönüm noktası). İşaret değişmeden ekstremum ya da dönüm noktası yok.

Optimizasyon: amaç fonksiyonu + kısıt, tek değişkene in, aralığı yaz, $f'=0$ , max/min olduğunu göster.

Doğrusal yaklaşım: $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ , $a$ değeri bilinen yakın nokta. Hata: $dQ=Q'\,dx$ , göreli hata $\dfrac{dQ}{Q}$ .

Blok 4: integral (hafta 11-14)

Riemann toplamı: $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ , sigma formülleri, limit. Belirli integral işaretli alandır.

Temel Teorem: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))g'(x)$ ve $\displaystyle\int_a^bf=F(b)-F(a)$ .

Bir integral gördüğünde sırayla şunu dene:

1. Tablodan direkt mi?        (önce aç, böl, sadeleştir)
2. İç fonksiyon + türevi var mı?             -> u-yerine koyma
3. İki farklı tür fonksiyonun çarpımı mı?    -> kısmi integrasyon (LIATE)
4. Polinom / polinom mu?                     -> derece kontrolü, basit kesirler
5. a^2 - x^2, a^2 + x^2, x^2 - a^2 var mı?   -> trigonometrik dönüşüm
6. ax^2 + bx + c var mı?                     -> önce kareye tamamla

Belirsiz integralde $+C$ , $\ln$ cevabında mutlak değer, belirli integralde yerine koyunca sınır değişimi. Bu üçü en sık puan kaybı.

Sınavda zaman ve puan yönetimi

Önce kolay blokları bitir. Limit ve doğrudan türev soruları iki-üç dakikalık iştir; onlarla başlamak hem puanı garantiler hem de zihni ısıtır.
Sözel sorularda şekli ve değişken tanımlarını kâğıda yaz. Sonuç yanlış çıksa bile doğru kurulmuş denklem ve doğru türev kısmi puan getirir.
Her ters türevi türevle kontrol et. 20 saniye sürer ve işaret hatalarının çoğunu yakalar.
Birimleri ve soruyu tekrar oku. “Maximum value” mı istenmiş, “where” mi? Hız mı, hızın büyüklüğü mü? “Exact value” yazıyorsa ondalık yerine $\ln 2$ , $\pi$ , $\sqrt3$ bırak.
Takıldığın soruyu bırak, sonra dön. Tek bir integralle on beş dakika kaybetmek, iki kolay soruyu kaybetmek demek.

Bir de kendini test etmek için hızlı liste: aşağıdaki her satırı ezbere söyleyebiliyor musun? $\lim\frac{\sin x}{x}$ , çarpım ve bölüm kuralı, altı trigonometrik türev, $e^x$ , $\ln x$ , $\arctan x$ , $\arcsin x$ türevleri, kapalı aralık yöntemi, $L(x)$ formülü, Temel Teoremin iki kısmı, $\int u\,dv$ formülü, üç trigonometrik dönüşüm. Söyleyemediğin satırın haftasını tekrar oku.

Sık yapılan hatalar (dönem geneli)

Yanlış düşünce	Doğrusu
$\tfrac00=0$	Belirsiz; sadeleştir
$\sqrt{x^2}=x$ her zaman	$\lvert x\rvert$
$(\sin5x)'=\cos5x$	$5\cos5x$
$(fg)'=f'g'$	$f'g+fg'$
$\dfrac{d}{dx}y^2=2y$	$2yy'$
Related rates’te sayıyı önce koymak	Önce türev
$f'(c)=0$ ise ekstremum	İşaret değişmeli
Uç noktaları unutmak	Kapalı aralıkta uçlar şart
$\int\dfrac{dx}{x}=\ln x$	$\ln\lvert x\rvert+C$
$\int fg=\int f\int g$	Kısmi integrasyon
Pay derecesi büyük, direkt basit kesir	Önce böl
Trig dönüşümde cevapta $\theta$ kalması	Üçgenle $x$ ‘e dön

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$ .

Cevabı göster

-1/2

$\tfrac00$ . Çarpanlara ayır: $\dfrac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{x+2}{x-1}$ . $x=-1$ : $\dfrac{1}{-2}=-\dfrac12$ .

Soru 2orta

Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+2x}-3x\right)$ .

Cevabı göster

1/3

Eşlenikle çarp: $\dfrac{2x}{\sqrt{9x^2+2x}+3x}$ . $x$ 'e böl: $\dfrac{2}{\sqrt{9+2/x}+3}\to\dfrac{2}{6}=\dfrac13$ .

Soru 3kolay

Find $k$ so that $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin 3x}{x}, & x\ne0\\ k, & x=0\end{cases}$ is continuous at $x=0$ .

Cevabı göster

k = 3

Süreklilik: $f(0)=\lim_{x\to0}f(x)$ . $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\lim\dfrac{\sin3x}{3x}=3$ . O halde $k=3$ .

Soru 4orta

Differentiate $y=e^{x^2}\cos3x$ .

Cevabı göster

y'=e^{x^2}(2x\cos3x-3\sin3x)

Çarpım kuralı, her parçada zincir: $(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$ , $(\cos3x)'=-3\sin3x$ . $y'=2xe^{x^2}\cos3x-3e^{x^2}\sin3x$ .

Soru 5orta

Find $\dfrac{dy}{dx}$ at $(0,1)$ for the curve $e^y+xy=e$ .

Cevabı göster

-1/e

Kontrol: $e^1+0=e$ , nokta eğri üstünde. Kapalı türev: $e^yy'+y+xy'=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{y}{e^y+x}$ . $(0,1)$ : $-\dfrac{1}{e}$ .

Soru 6kolay

The side of a square increases at $2$ cm/s. How fast is its area increasing when the side is $5$ cm?

Cevabı göster

20 cm²/s

$A=s^2 \Rightarrow \dfrac{dA}{dt}=2s\dfrac{ds}{dt}=2\cdot5\cdot2=20$ cm²/s.

Soru 7orta

Find the absolute maximum and minimum values of $f(x)=x^3-3x$ on $[-2,3]$ .

Cevabı göster

max 18 (at x = 3), min -2 (at x = -2 and x = 1)

$f'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1$ . Değerler: $f(-2)=-8+6=-2$ , $f(-1)=-1+3=2$ , $f(1)=1-3=-2$ , $f(3)=27-9=18$ . Max $18$ (uçta), min $-2$ .

Soru 8kolay

Among all rectangles with perimeter $36$ cm, find the one with the largest area.

Cevabı göster

9 cm × 9 cm square, area 81 cm²

$2x+2y=36 \Rightarrow y=18-x$ . $A=x(18-x)$ , $A'=18-2x=0 \Rightarrow x=9$ , $y=9$ . $A''=-2<0$ : max. $A=81$ cm².

Soru 9kolay

Use a linear approximation to estimate $\sqrt{4.1}$ .

Cevabı göster

≈ 2.025

$f(x)=\sqrt x$ , $a=4$ : $f(4)=2$ , $f'(4)=\tfrac14$ . $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$ . Gerçek değer $2.02485$ .

Soru 10orta

Evaluate $\displaystyle\int_0^1xe^{x^2}\,dx$ .

Cevabı göster

(e - 1)/2 ≈ 0.859

$u=x^2$ , $du=2x\,dx$ , sınırlar $0\to0$ , $1\to1$ . $\tfrac12\int_0^1e^u\,du=\tfrac12(e-1)$ .

Soru 11orta

Find $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ .

Cevabı göster

\dfrac{x^2\ln x}{2}-\dfrac{x^2}{4}+C

LIATE: $u=\ln x$ , $dv=x\,dx$ , $v=\tfrac{x^2}{2}$ . $\int=\tfrac{x^2}{2}\ln x-\int\tfrac{x^2}{2}\cdot\tfrac1x\,dx=\tfrac{x^2\ln x}{2}-\tfrac{x^2}{4}+C$ .

Soru 12zor

Find $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-x-6}$ .

Cevabı göster

\dfrac15\ln\left|\dfrac{x-3}{x+2}\right|+C

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ . $\dfrac{1}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}$ , $1=A(x+2)+B(x-3)$ . $x=3$ : $A=\tfrac15$ . $x=-2$ : $B=-\tfrac15$ . $\tfrac15\ln|x-3|-\tfrac15\ln|x+2|+C$ .

Doğrulama: Tüm cevaplar node ile kontrol edildi (verify/MAT1051/14.mjs, 'Final tekrar' bölümü): limitler noktaya yakın değerlerle, türevler merkezi fark ile, kapalı türev Newton ile yerel çözümle, ekstremumlar aralık taranarak, integraller Simpson kuralı ve F' = f karşılaştırmasıyla.

Deftere not kartı

LİMİT: yerine koy -> 0/0 ise çarpanla/eşlenik/sin u/u -> c/0 ise sağ-sol işaret x -> ±inf: derece kuralı; sqrt(x^2) = |x|; inf - inf: eşlenik SÜREKLİ: lim = f(a); parçalıda sol = sağ = f(a); IVT kök varlığı TÜREV: (fg)' = f'g + fg' (f/g)' = (f'g - fg')/g^2 zincir: f'(g)·g' sin->cos cos->-sin tan->sec^2 e^u->e^u u' ln u->u'/u arctan u->u'/(1+u^2) arcsin u->u'/√(1-u^2) Kapalı: y'li her terimde y'; x^x: ln al UYGULAMA: related rates -> türev sonra sayı; mutlak ekstremum -> kritik + uçlar Eğri: f' işareti artan/azalan, f'' işareti bükeylik; işaret DEĞİŞMELİ Optimizasyon: amaç + kısıt -> tek değişken -> f' = 0 -> max/min doğrula L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) dy = f'(x)dx İNTEGRAL: FTC d/dx ∫_a^g(x) f = f(g)g'; ∫_a^b f = F(b) - F(a) Yöntem sırası: tablo -> u-sub -> kısmi (LIATE) -> basit kesir -> trig dönüşüm