L'Hôpital kuralı ve improper integraller

Calculus II’nin ilk haftası iki aracı birlikte verir. L’Hôpital kuralı belirsiz limitleri (indeterminate forms) türevle çözer. İmproper integraller ise sınırı sonsuz olan ya da integrandın patladığı integralleri limitle tanımlar. İkisi birbirine bağlı: improper integralin değerini bulurken hemen hep sonunda bir L’Hôpital limiti çıkar. Ayrıca 3. haftadaki integral testi doğrudan bu konunun üzerine kurulu.

Sınavda tipik olarak 2-3 limit ve “evaluate or show that it diverges” türünden 1-2 integral gelir. Altın kurallar:

1. Önce yerine koy. L’Hôpital sadece $0/0$ veya $\infty/\infty$ biçiminde geçerli.
2. Pay ve paydanın türevi ayrı ayrı alınır. Bölüm kuralı kullanılmaz.
3. Diğer belirsiz biçimleri ($0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) önce $0/0$ veya $\infty/\infty$ haline getir.
4. İmproper integral = limit. Sonsuzu ya da tekil noktayı doğrudan yerine koymazsın, $b$ yazıp limit alırsın.
5. Aralığın içinde tekillik varsa integrali o noktadan böl. Parçalardan biri ıraksarsa tamamı ıraksar.

L’Hôpital kuralı

Kural. $f$ ve $g$, $a$ civarında türevlenebilir, $g'(x)\neq 0$ ve $\lim_{x\to a} f(x)/g(x)$ ifadesi $0/0$ veya $\infty/\infty$ biçiminde olsun. O zaman

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

(sağdaki limit varsa ya da $\pm\infty$ ise). $a$ sonlu bir sayı, $a^\pm$ ya da $\pm\infty$ olabilir.

Sezgi. $0/0$ durumunda iki fonksiyon da sıfıra gidiyor. Hangisinin daha hızlı gittiğini eğimleri belirler. $a$ civarında $f(x)\approx f'(a)(x-a)$ ve $g(x)\approx g'(a)(x-a)$, oran $f'(a)/g'(a)$ olur.

Örnek 1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$

x=0 koy: (1-1-0)/0 = 0/0         → L'Hôpital
türev:   (e^x - 1)/(2x)          → yine 0/0
türev:   e^x / 2                 → x=0: 1/2

Cevap $1/2$. Her adımda biçimi yeniden kontrol et; biçim belirsiz değilse durursun.

TUZAK · biçim kontrolü. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+1}{\cos x}$ belirsiz değil, doğrudan $1/1 = 1$. Buna L’Hôpital uygularsan $\dfrac{1}{-\sin x}$ elde edersin ve yanlış sonuca gidersin.

Diğer belirsiz biçimler

Örnek 2. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$. Biçim $0\cdot(-\infty)$.

$x\ln x = \frac{\ln x}{1/x} \;\Rightarrow\; \frac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0.$

Örnek 3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x$. Biçim $1^\infty$. $y$ bu ifade olsun:

$\ln y = x\ln\!\left(1+\frac3x\right) = \frac{\ln(1+3/x)}{1/x} \;\xrightarrow{\text{L'H}}\; \frac{\dfrac{-3/x^2}{1+3/x}}{-1/x^2} = \frac{3}{1+3/x}\to 3.$

Yani $\ln y\to 3$, $y\to e^3$. Genel kalıp: $\lim_{x\to\infty}(1+a/x)^{bx} = e^{ab}$.

Örnek 4. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$. Biçim $0^0$. $\ln y = x\ln x \to 0$ (Örnek 2), dolayısıyla $y\to e^0 = 1$.

İPUCU · son adımı unutma. $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ sorularında bulduğun limit $\ln y$‘nin limiti. Cevap $e^{(\text{o sayı})}$. En çok kaybedilen puan bu son satırda.

Büyüme hızları

$x\to\infty$ iken: $\ln x \ll x^p \ll e^x$ (her $p>0$ için). L’Hôpital bunu gösterir: $\dfrac{\ln x}{x^p}\to\dfrac{1/x}{p x^{p-1}} = \dfrac{1}{p x^p}\to 0$. Seriler bölümünde bu sıralamayı sürekli kullanacaksın.

Üstel fonksiyon her polinomu yener. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$ için iki kez L’Hôpital: $\dfrac{2x}{e^x}$, sonra $\dfrac{2}{e^x}\to 0$. Her türevde polinomun derecesi bir düşer, $e^x$ ise hiç değişmez. $x^{10}$ için on kez türev alırsın, sonuç yine $0$. Sınavda “L’Hôpital’i kaç kez uygulamalıyım” diye düşünme; biçim belirsiz kaldıkça devam et, belirsizlik bitince dur.

Bazen L’Hôpital işe yaramaz ve döngüye girer: $\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ türevlendiğinde $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ olur, bir daha türevlersen başa dönersin. O zaman cebir kullan: paydaki ve paydadaki en büyük kuvveti dışarı al, $\sqrt{1+1/x^2}\to 1$.

İmproper integraller

Belirli integral $\int_a^b f\,dx$, sonlu aralıkta sınırlı bir fonksiyon için tanımlı. İki durumda bu bozulur:

Tip 1: sonsuz aralık.

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^\infty f\,dx = \int_{-\infty}^c f\,dx + \int_c^\infty f\,dx.$

Tip 2: integrand sınırda ya da içeride sonsuza gidiyor. $f$, $b$ noktasında patlıyorsa

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{c\to b^-}\int_a^c f(x)\,dx.$

Limit sonlu bir sayıysa integral yakınsar (converges), değilse ıraksar (diverges). $\int_{-\infty}^{\infty}$ ve içeride tekillik olan durumlarda her parça ayrı ayrı yakınsamalı.

Örnek 5. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right) = 1.$

Örnek 6. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty$, ıraksar. $1/x$ sıfıra gidiyor ama yeterince hızlı değil. Altındaki alan sonsuz.

Örnek 7. $\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt x} = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt x\right]_a^1 = 2.$ Fonksiyon sonsuza gidiyor ama alan sonlu.

Örnek 8. $\displaystyle\int_0^\infty x e^{-x}\,dx$. Kısmi integrasyon: $\int x e^{-x}dx = -xe^{-x} - e^{-x}$.

$\lim_{b\to\infty}\left(-be^{-b}-e^{-b}\right) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1.$

$b e^{-b} = b/e^b \to 0$ adımı bir L’Hôpital limiti.

p-integralleri

Karşılaştırma için kullanacağın referans aileler:

$p=1$ iki tarafta da ıraksar. Bu tabloyu ezberle.

Karşılaştırma testleri

İntegrali hesaplayamıyorsan bile yakınsayıp yakınsamadığını gösterebilirsin.

Doğrudan karşılaştırma (direct comparison). $x\ge a$ için $0\le f(x)\le g(x)$ olsun.

• $\int_a^\infty g$ yakınsarsa $\int_a^\infty f$ de yakınsar.
• $\int_a^\infty f$ ıraksarsa $\int_a^\infty g$ de ıraksar.

Limit karşılaştırma (limit comparison). $f,g>0$ ve $\lim_{x\to\infty} f(x)/g(x) = L$, $0<L<\infty$ ise iki integral birlikte yakınsar ya da birlikte ıraksar.

Örnek 9. $\int_1^\infty e^{-x^2}dx$ hesaplanamaz (temel fonksiyonla), ama $x\ge1$ için $x^2\ge x$, yani $e^{-x^2}\le e^{-x}$. $\int_1^\infty e^{-x}dx = 1/e$ yakınsadığı için $\int_1^\infty e^{-x^2}dx$ yakınsar.

Örnek 10. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}+1}$. $g = 1/\sqrt x$ ile limit karşılaştırma: $\dfrac{1/(\sqrt x+1)}{1/\sqrt x} = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+1}\to 1$. $\int_1^\infty x^{-1/2}dx$ ıraksar ($p=1/2\le1$), dolayısıyla verilen integral de ıraksar.

İçeride tekillik

Örnek 11. $\displaystyle\int_0^3 \frac{dx}{(x-1)^{2/3}}$. İntegrand $x=1$ noktasında patlıyor ve bu nokta $[0,3]$ aralığının içinde. İkiye böl:

$\int_0^1 (x-1)^{-2/3}dx = \lim_{c\to1^-}\left[3(x-1)^{1/3}\right]_0^c = 0-3(-1) = 3,$

$\int_1^3 (x-1)^{-2/3}dx = \lim_{c\to1^+}\left[3(x-1)^{1/3}\right]_c^3 = 3\sqrt[3]{2}-0.$

İki parça da sonlu, toplam $3+3\sqrt[3]{2}\approx 6.78$. Parçalardan biri sonsuz çıksaydı cevap “diverges” olurdu; diğerinin değeri önemli değil.

Sınavda çözüm şablonu

“Evaluate or show that it diverges” sorusunda şu sırayı izle:

1) Sorunlu noktaları bul: ∞ sınır mı? paydayı sıfır yapan x var mı? ln, kök tanım dışı mı?
2) Her sorunlu nokta için ayrı parça yaz, her parçayı lim ile yaz
3) Antitürevi bul (u-sub, kısmi integrasyon, kısmi kesirler)
4) Limiti al; gerekirse L'Hôpital (b e^-b, ln b / b gibi)
5) Hepsi sonlu → converges, değeri yaz.  Biri ∞ → diverges

Antitürev bulunamıyorsa (örneğin $e^{-x^2}$, $\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}}$) soru zaten “converge or diverge?” diye sorar. O zaman 3. ve 4. adımın yerine karşılaştırma yaparsın: integrandın $x\to\infty$ davranışına bak, baskın terimi bul, p-integraliyle kıyasla. Örneğin $\dfrac{1}{\sqrt{x^4+1}}\approx \dfrac{1}{x^2}$, yani yakınsar.

TUZAK · karşılaştırmanın yönü. “Ben yakınsayan bir şeyden büyüğüm” hiçbir şey kanıtlamaz. Yakınsamayı göstermek için yakınsayan bir şeyden küçük, ıraksamayı göstermek için ıraksayan bir şeyden büyük olduğunu göstermelisin.

Sık yapılan hatalar