Geometrik seri, n. terim testi ve integral testi

Bu hafta yakınsaklık sorusuna ilk üç cevabı veriyoruz. Geometrik seri toplamını kapalı formülle bulabildiğin nadir serilerden biri; sınavda neredeyse her zaman “find the sum” sorusu olarak gelir. n. terim testi (nth-term test, divergence test) en hızlı ıraksaklık kontrolü. İntegral testi ise serinin kaderini bir improper integrale bağlar ve p-serisi kuralını kanıtlar. Önümüzdeki haftanın karşılaştırma testleri hep p-serilerine ve geometrik serilere kıyaslayarak çalıştığı için bu sayfadaki üç sonuç temel taşı.

Altın kurallar:

1. Geometrik seri: toplam $=\dfrac{\text{ilk terim}}{1-r}$, sadece $\lvert r\rvert<1$ iken.
2. Her seride önce terim sıfıra gidiyor mu diye bak. Gitmiyorsa iş bitti: ıraksar.
3. Terim sıfıra gidiyorsa n. terim testi hiçbir şey söylemez. Başka teste geç.
4. p-serisi $\sum 1/n^p$: $p>1$ yakınsar, $p\le1$ ıraksar.

Geometrik seri

Tanım. Her terimin bir öncekinin sabit bir $r$ katı olduğu seri:

$\sum_{n=0}^{\infty}ar^n = a + ar + ar^2 + \dots,\qquad a\neq0.$

$r$ ortak orana (common ratio) denir.

Teorem. $\lvert r\rvert<1$ ise seri yakınsar ve toplamı $\dfrac{a}{1-r}$. $\lvert r\rvert\ge1$ ise ıraksar.

Neden? Kısmi toplam: $s_n = a+ar+\dots+ar^{n-1}$. $rs_n$ ile farkı alınca neredeyse her şey sadeleşir: $s_n - rs_n = a - ar^n$, yani

$s_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\qquad(r\neq1).$

$\lvert r\rvert<1$ iken $r^n\to0$ ve $s_n\to\dfrac{a}{1-r}$. $\lvert r\rvert>1$ iken $r^n$ patlar. $r=1$ iken $s_n=na$, $r=-1$ iken $s_n$ $a$ ile $0$ arasında gidip gelir. İkisi de ıraksar.

Sınavda geometrik seriyi tanımak

Seri genelde $ar^n$ biçiminde verilmez. Üsleri ayırıp düzenlersin:

1) Terimi c · (sayı)^n biçimine getir:  2^(n+1)/3^n = 2 · (2/3)^n
2) Oran r = (sayı).  |r| < 1 mi?
3) İlk terim = başlangıç indeksindeki terim (n=0, 1, 2 ... ne ise onu koy)
4) Toplam = ilk terim / (1 - r)

Örnek 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac13\right)^{n-1}$. İlk terim $n=1$: $5$. Oran $\frac13$. Toplam $\dfrac{5}{2/3} = \dfrac{15}{2}$.

Örnek 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n2^n}{3^{n+1}}$. Düzenle: $\dfrac13\left(-\dfrac23\right)^n$. İlk terim $\frac13$, oran $-\frac23$. Toplam $\dfrac{1/3}{1+2/3} = \dfrac{1/3}{5/3} = \dfrac15$.

Örnek 3 (devirli ondalık). $1.2\overline{34} = 1.2343434\ldots$ Önce devretmeyen kısmı ayır: $1.2 + 0.0343434\ldots$ İkinci kısım ilk terimi $\dfrac{34}{1000}$, oranı $\dfrac{1}{100}$ olan geometrik seri:

$\frac{34/1000}{1-1/100} = \frac{34}{990}.\qquad 1.2+\frac{34}{990} = \frac{1188+34}{990} = \frac{1222}{990} = \frac{611}{495}.$

Örnek 3b (uygulama). Bir top $10$ m yükseklikten bırakılıyor. Her yere çarpışta bir önceki yüksekliğin $\frac34$‘ü kadar zıplıyor. Top toplam ne kadar yol alır? İlk düşüş $10$ m. Sonra her zıplama hem yukarı hem aşağı gidilir: $2\left(10\cdot\frac34+10\cdot\left(\frac34\right)^2+\dots\right)$. Parantez içi ilk terimi $7.5$, oranı $\frac34$ olan geometrik seri, toplamı $\dfrac{7.5}{1/4} = 30$. Toplam yol $10+2\cdot30 = 70$ m. İlk düşüşü ayrı saymayı unutma: o tek yönlü.

Örnek 3c (x içeren seri). $\sum_{n=0}^\infty (3x)^n$ hangi $x$ için yakınsar? Oran $3x$, koşul $\lvert3x\rvert<1$, yani $-\frac13<x<\frac13$. Bu aralıkta toplam $\dfrac{1}{1-3x}$. Bu fikir 5. haftadaki kuvvet serilerinin (power series) başlangıç noktası: bir fonksiyonu sonsuz polinom gibi yazmak.

TUZAK · ilk terim. Formüldeki $a$ “katsayı” değil, ilk terim. $\sum_{n=2}^\infty(1/2)^n$ serisinde $a = 1/4$, cevap $\dfrac{1/4}{1/2} = \dfrac12$. Katsayıyı $1$ alıp $2$ yazmak en sık hata.

n. terim testi (divergence test)

Teorem. $\sum a_n$ yakınsıyorsa $a_n\to0$.

Kontrapozitifi asıl kullandığın biçim: $\lim a_n\neq0$ ya da limit yoksa $\sum a_n$ ıraksar.

Sebebi basit: $a_n = s_n - s_{n-1}$. Seri $S$‘ye yakınsıyorsa $s_n$ ve $s_{n-1}$ ikisi de $S$‘ye gider, fark $0$‘a gider.

Örnek 4. $\sum\dfrac{n}{3n-1}$: terim $\to\frac13\neq0$, ıraksar.

Örnek 5. $\sum(-1)^{n}$: terimin limiti yok, ıraksar.

Örnek 6. $\sum n\sin(1/n)$: $n\sin(1/n) = \dfrac{\sin(1/n)}{1/n}\to1$, ıraksar.

TUZAK · tersi doğru değil. $a_n\to0$ ise seri yakınsar diye bir kural YOK. $\sum1/n$ (harmonik seri) terimleri sıfıra gider ama ıraksar. n. terim testi sadece ıraksaklık kanıtlar; “converges by the nth-term test” yazan cevap sıfır alır.

İntegral testi

Teorem. $a_n = f(n)$ olsun ve $f$, $x\ge N$ için pozitif, sürekli ve azalan olsun. O zaman

$\sum_{n=N}^\infty a_n\quad\text{ve}\quad\int_N^\infty f(x)\,dx$

ya ikisi birden yakınsar ya da ikisi birden ıraksar.

Sezgi. $a_n$ değerlerini genişliği $1$ olan dikdörtgenler olarak çiz. $f$ azalan olduğu için dikdörtgenler eğrinin altında kalacak şekilde (sağ uç) ya da üstüne taşacak şekilde (sol uç) dizilebilir:

$\int_{1}^{n+1}f\,dx\;\le\;s_n\;\le\;a_1+\int_1^n f\,dx.$

Alan sonluysa toplam sınırlı kalır (pozitif terimli, artan kısmi toplam, yani yakınsar). Alan sonsuzsa toplam da sonsuz.

Üç koşulu yazmadan testi uygulama. Sınavda “f is positive, continuous and decreasing for $x\ge1$” cümlesini yaz. Azalanlığı göstermenin en kısa yolu $f'(x)<0$.

Örnek 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+n^2}$. $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pozitif, sürekli, azalan ($f' = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}<0$).

$\int_1^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \lim_{b\to\infty}\arctan b - \arctan1 = \frac\pi2-\frac\pi4 = \frac\pi4.$

Sonlu, seri yakınsar. Toplam $\pi/4$ DEĞİL; integral sadece kaderi söyler. (Sınır olarak: toplam $\le a_1+\pi/4 = \frac12+\frac\pi4$.)

Örnek 7b. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{n^2+1}$. Terim sıfıra gidiyor, n. terim testi bir şey demiyor. $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ pozitif ve sürekli. $f'(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, $x>1$ için negatif, yani $x\ge1$‘den sonra azalan. $u = x^2+1$ dönüşümüyle

$\int_1^b\frac{x\,dx}{x^2+1} = \frac12\ln(b^2+1)-\frac12\ln2\to\infty.$

İntegral ıraksıyor, seri de ıraksıyor. Sezgi: büyük $n$ için terim $\approx\frac1n$, harmonik seri gibi davranıyor. Bu “baskın terime bak” sezgisi gelecek haftanın limit karşılaştırma testinin ta kendisi.

İPUCU · azalanlık sonradan başlayabilir. İntegral testinde $f$‘in en baştan azalan olması gerekmez. ”$x\ge N$ için azalan” yeterli, çünkü sonlu sayıda terim kaderi değiştirmez. Örnek 7b’de $f$ aslında $x=1$‘de tepe yapıyor; testi $N=1$‘den başlatmak sorun değil.

p-serileri

$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}$ için $f(x) = x^{-p}$ ($p>0$) pozitif, sürekli, azalan. 1. haftadaki p-integrali sonucu doğrudan geçer:

Örnekler: $\sum\frac{1}{n^2}$ yakınsar. $\sum\frac{1}{\sqrt n}$ ($p=\frac12$) ıraksar. $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ yakınsar (çok yavaş ama yakınsar). $\sum\frac1n$ ıraksar. $p\le0$ ise terimler sıfıra bile gitmez.

Logaritmalı aile

$\sum\dfrac{1}{n(\ln n)^p}$ ($n\ge2$): $u=\ln x$ dönüşümüyle integral $\int\frac{du}{u^p}$ olur. Kural aynı: $p>1$ yakınsar, $p\le1$ ıraksar. Yani $\sum\frac{1}{n\ln n}$ ıraksar, $\sum\frac{1}{n(\ln n)^2}$ yakınsar.

Kalan tahmini (remainder estimate)

$S$ gerçek toplam, $s_n$ kısmi toplam, $R_n = S-s_n$ ise integral testi koşullarında:

$\int_{n+1}^\infty f(x)\,dx\;\le\;R_n\;\le\;\int_n^\infty f(x)\,dx.$

Örnek 8. $\sum 1/n^2$ için $s_{100}$ kullanırsan hata en fazla $\int_{100}^\infty x^{-2}dx = 0.01$. “Hata $0.0001$‘den küçük olsun” denirse $\frac1n\le0.0001$, yani $n\ge10000$ terim gerekir.

Sık yapılan hatalar