Kuvvet serileri ve Taylor serileri

Şimdiye kadar sayı serileriyle uğraştık. Bu hafta terimlere $x$ ekliyoruz: $\sum c_nx^n$ gibi bir seri, her $x$ değeri için ayrı bir sayı serisidir. Bazı $x$‘lerde yakınsar, bazılarında ıraksar. Yakınsadığı $x$‘lerin kümesi her zaman bir aralıktır ve bu aralığı bulmak sınavın en garanti sorusudur. İkinci yarıda tersini yapacağız: verilen bir fonksiyonu ($e^x$, $\sin x$, $\ln(1+x)$) sonsuz bir polinom olarak yazacağız. Hesap makinelerinin ve programlama dillerinin Math.sin’i hesaplama yöntemi de buna dayanır.

Altın kurallar:

1. Yarıçap için oran testi (bazen kök testi) uygula, $\lvert x-a\rvert$‘yı dışarıda bırak.
2. Uç noktalar her zaman ayrı ayrı kontrol edilir. Oran testi orada $L=1$ verir, karar vermez.
3. Bilinen seriden türet: yerine koy, çarp, türev al, integral al. Türevle sıfırdan hesaplamaktan çok daha hızlı.
4. Taylor katsayısı $c_n = \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Bunu tersten de kullanırsın: katsayıdan türeve.

Kuvvet serisi ve yakınsaklık yarıçapı

Tanım. $a$ merkezli kuvvet serisi (power series):

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n = c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\dots$

Teorem. Her kuvvet serisi için şu üç durumdan biri geçerlidir:

1. Sadece $x=a$‘da yakınsar ($R=0$).
2. Her $x$ için yakınsar ($R=\infty$).
3. Bir $R>0$ vardır: $\lvert x-a\rvert<R$ iken mutlak yakınsar, $\lvert x-a\rvert>R$ iken ıraksar. $\lvert x-a\rvert = R$ (uç noktalar) için teorem bir şey söylemez.

$R$‘ye yakınsaklık yarıçapı (radius of convergence), yakınsadığı $x$‘lerin aralığına yakınsaklık aralığı (interval of convergence) denir.

Aralık bulma şablonu

1) Oran testi: L(x) = lim |a_(n+1)/a_n|   (a_n terimin TAMAMI, x dahil)
2) L(x) < 1 çöz  →  |x - a| < R
3) x = a - R ve x = a + R'yi seriye koy; çıkan SAYI serilerini test et
4) Aralığı yaz: uçları [ veya ( ile

Örnek 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(x-3)^n}{n\,2^n}$.

$\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = \frac{\lvert x-3\rvert^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\frac{n\,2^n}{\lvert x-3\rvert^n} = \frac{\lvert x-3\rvert}{2}\cdot\frac{n}{n+1}\to\frac{\lvert x-3\rvert}{2}.$

$\lvert x-3\rvert<2$, yani $1<x<5$, $R = 2$.

• $x=5$: $\sum\dfrac{2^n}{n2^n} = \sum\dfrac1n$, ıraksar.
• $x=1$: $\sum\dfrac{(-2)^n}{n2^n} = \sum\dfrac{(-1)^n}{n}$, alterne test ile yakınsar.

Aralık: $[1,5)$.

Örnek 2. $\sum\dfrac{x^n}{n!}$: oran $\dfrac{\lvert x\rvert}{n+1}\to0$, her $x$ için. $R=\infty$.

Örnek 3. $\sum n!\,x^n$: oran $(n+1)\lvert x\rvert\to\infty$ ($x\neq0$). $R=0$.

Örnek 4. $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n}$. Sadece çift kuvvetler var; oran testini terimin tamamına uygula: $\dfrac{x^2}{4}<1$, yani $\lvert x\rvert<2$. Uçlarda $x^2 = 4$, terimler $(-1)^n$, ıraksar. Aralık $(-2,2)$. Aslında bu oranı $-x^2/4$ olan geometrik seri, toplamı $\dfrac{1}{1+x^2/4}$.

TUZAK · katsayılı $x$. $(2x+1)^n$ ya da $(3x-6)^n$ görürsen merkez ve yarıçap doğrudan okunmaz. $\lvert2x+1\rvert<1$ eşitsizliğini $x$ için çöz: $-1<x<0$. Merkez $-\frac12$, $R = \frac12$. "$R=1$" yazmak sık hata.

Fonksiyonları kuvvet serisi olarak yazmak

Ana kaynak geometrik seri:

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n,\qquad\lvert x\rvert<1.$

Yerine koyma. $x$ yerine $-x^2$: $\dfrac{1}{1+x^2} = \sum(-1)^nx^{2n}$, $\lvert x\rvert<1$.

Merkez değiştirme. $\dfrac1x$‘i $a=2$ civarında yaz: $\dfrac1x = \dfrac{1}{2+(x-2)} = \dfrac12\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x-2}{2}} = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n(x-2)^n}{2^{n+1}}$, $\lvert x-2\rvert<2$.

Terim terim türev ve integral. Yakınsaklık aralığının içinde kuvvet serisinin türevi ve integrali terim terim alınabilir ve yarıçap değişmez (uç noktalar değişebilir).

• $\dfrac{1}{1+x}$‘i integralle: $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $-1<x\le1$.
• $\dfrac{1}{1+x^2}$‘i integralle: $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$, $-1\le x\le1$.
• $\dfrac{1}{1-x}$‘in türevi: $\dfrac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$.

İntegralden sonra sabiti unutma: $x=0$ koyup belirle. $\ln(1+0) = 0$ olduğu için sabit $0$.

Taylor ve Maclaurin serileri

Tanım. $f$, $a$ civarında her mertebeden türevlenebiliyorsa $f$‘in $a$ merkezli Taylor serisi:

$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots$

$a=0$ ise Maclaurin serisi denir. İlk $n+1$ terimin toplamına $n$. derece Taylor polinomu $P_n(x)$ denir.

Sezgi. $P_n$, $a$ noktasında $f$ ile aynı değeri, aynı eğimi, aynı bükülmeyi ($n$. türeve kadar her şeyi) paylaşan tek $n$. derece polinomdur. Derece arttıkça $a$ civarında $f$‘e daha iyi yapışır.

Ezberlenecek Maclaurin serileri

$\sin$ tek fonksiyon, serisinde sadece tek kuvvetler var. $\cos$ çift, sadece çift kuvvetler. Bu bir kontrol aracı.

Örnek 5 (tanımdan Taylor). $f(x) = \ln x$, $a=1$. $f(1) = 0$, $f' = x^{-1}$, $f'' = -x^{-2}$, $f''' = 2x^{-3}$, genel olarak $f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)!\,x^{-n}$. $a=1$‘de $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)!$, katsayı $\dfrac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{n!} = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$:

$\ln x = (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\dots$

Örnek 6 (bilinen seriden). $e^{-x^2}$: $e^u$ serisinde $u=-x^2$: $1-x^2+\dfrac{x^4}{2!}-\dfrac{x^6}{3!}+\dots$ Altı kez türev almak yerine bir satır.

Örnek 7 (Taylor polinomu ile yaklaşım). $\cos x$‘in $P_4$ polinomu $1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$. $x = 0.5$ için $1-0.125+0.0026042 = 0.8776042$. Gerçek değer $\cos0.5 = 0.8775826$. Sadece üç terimle dört basamak doğru. Merkezden uzaklaştıkça ($x=3$ gibi) aynı polinom kötüleşir; daha çok terim gerekir. Hatanın ne kadar olduğunu kestirmek gelecek haftanın konusu.

Örnek 8 (çarpım). $e^x\sin x$‘in Maclaurin serisinin ilk üç sıfırdan farklı terimi: iki seriyi polinom gibi çarp, $x^3$‘e kadar olan terimleri topla.

$\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\dots\right)\left(x-\frac{x^3}{6}+\dots\right) = x+x^2+\left(\frac12-\frac16\right)x^3+\dots = x+x^2+\frac{x^3}{3}+\dots$

Çarparken her dereceyi ayrı topla: $x^3$ terimi $1\cdot(-\frac{x^3}{6})$ ve $\frac{x^2}{2}\cdot x$‘ten gelir.

Kök testiyle yarıçap

Terimin tamamı $n$. kuvvetse kök testi daha temiz: $\displaystyle\sum\frac{(x-1)^n}{n^n}$ için $\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} = \dfrac{\lvert x-1\rvert}{n}\to0$, her $x$ için. $R = \infty$. $\displaystyle\sum\left(\frac{n+1}{2n}\right)^nx^n$ için kök $\dfrac{n+1}{2n}\lvert x\rvert\to\dfrac{\lvert x\rvert}{2}$, $R = 2$.

İPUCU · katsayıdan türev. $f^{(k)}(a) = k!\times[(x-a)^k\text{ katsayısı}]$. “$f^{(20)}(0)$‘ı bul” gibi sorularda seriyi bilinen bir seriden kur, $x^{20}$‘nin katsayısını oku, $20!$ ile çarp.

Sık yapılan hatalar