Taylor serisi uygulamaları: yaklaşım, hata, limit, toplam

Geçen hafta Taylor serisini yazmayı öğrendin. Bu hafta onu iş için kullanacağız: bir sayıyı elle yaklaşık hesaplamak, bu yaklaşımın hatasını kanıtlanabilir biçimde sınırlamak, L’Hôpital’in uzun süreceği limitleri tek satırda çözmek, toplamı bilinmeyen bir seriyi tanıdık bir fonksiyona benzetmek ve antitürevi olmayan integralleri sayısal olarak hesaplamak. Sınavda en çok “approximate with error less than …” ve “use series to evaluate the limit” soruları gelir.

Altın kurallar:

1. Yaklaşım $=$ Taylor polinomu. Hata $=$ atılan kısım.
2. Seri alterne ve azalan ise hata, atılan ilk terimden küçüktür. Bu en kolay sınır, önce onu dene.
3. Alterne değilse Taylor eşitsizliği (Lagrange hata sınırı) kullanılır; $M$ için türevin aralıktaki en büyük değerini tahmin et.
4. Limitte payı ve paydayı seriye aç, en düşük dereceli terimi sadeleştir.

Taylor teoremi ve kalan terim

$f$, $a$ civarında $n+1$ kez türevlenebiliyorsa

$f(x) = P_n(x)+R_n(x),\qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

olacak şekilde $a$ ile $x$ arasında bir $c$ vardır. $R_n$‘ye kalan (remainder) denir. $c$‘yi bilmeyiz; ama türevi sınırlayabiliriz.

Taylor eşitsizliği (Taylor’s inequality). $a$ ile $x$ arasında $\lvert f^{(n+1)}(t)\rvert\le M$ ise

$\lvert R_n(x)\rvert\le\frac{M}{(n+1)!}\lvert x-a\rvert^{n+1}.$

Sezgi. Kalan, polinoma eklenecek bir sonraki terime çok benzer; sadece türev $a$ yerine bilinmeyen bir $c$ noktasında hesaplanır. Bu yüzden “bir sonraki terimin en kötü hali” diye düşünebilirsin.

Örnek 1. $e^{0.1}$‘i $P_3$ ile hesapla ve hatayı sınırla.

$P_3(0.1) = 1+0.1+\frac{0.01}{2}+\frac{0.001}{6} = 1.1051667.$

$f^{(4)}(t) = e^t$, $[0,0.1]$ üzerinde en büyük değeri $e^{0.1}<3$ (kaba ama güvenli). $M=3$:

$\lvert R_3\rvert\le\frac{3}{4!}(0.1)^4 = \frac{0.0003}{24} = 1.25\times10^{-5}.$

Gerçek değer $1.1051709$, gerçek hata $4.3\times10^{-6}$, sınırın altında.

TUZAK · M seçimi. $M$, türevin $a$ ile $x$ arasındaki en büyük mutlak değeri olmalı. $e^t$ için $M=e^0=1$ seçmek yanlış; fonksiyon artıyor, en büyük değer sağ uçta. Bilmediğin bir değerin ($e^{0.1}$) yerine onu aşan basit bir sayı (3) koymak serbest.

Alterne seri tahmini

$x$ değeri seriyi alterne ve azalan yapıyorsa iş çok daha kolay: $\lvert R_n\rvert<\lvert\text{atılan ilk terim}\rvert$.

Örnek 2. $\ln(1.2)$‘yi $\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$ ile üç terimle hesapla.

$0.2-\frac{0.04}{2}+\frac{0.008}{3} = 0.1826667.$

Hata $<\dfrac{(0.2)^4}{4} = 0.0004$. Gerçek $\ln1.2 = 0.1823216$, hata $0.000345$.

“Kaç terim gerekir?” soruları

Hata sınırını istenen toleransın altına indiren en küçük $n$‘yi bul. Alterne durumda atılan terimleri sırayla hesaplarsın; Taylor eşitsizliğinde $\dfrac{M\lvert x-a\rvert^{n+1}}{(n+1)!}<\varepsilon$ eşitsizliğini $n=1,2,3,\dots$ deneyerek çözersin.

Örnek 2b. $\sin(0.5)$‘i hatası $10^{-6}$‘dan küçük olacak şekilde hesaplamak için kaç terim gerekir? $\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$, $x=0.5$ için alterne ve azalan. Terimleri sırayla hesapla:

x^3/3! = 0.125/6        = 0.0208333
x^5/5! = 0.03125/120    = 0.0002604
x^7/7! = 0.0078125/5040 = 0.0000015500   > 1e-6
x^9/9! = 0.00195/362880 = 0.0000000054   < 1e-6

$x^9/9!$ terimi ilk kez $10^{-6}$‘nın altına iniyor. Demek ki ondan önceki dört terimi ($x$, $x^3$, $x^5$, $x^7$) almalısın: $0.5-0.0208333+0.0002604-0.0000016 = 0.4794255$. Gerçek değer $\sin0.5 = 0.4794255$.

Örnek 2c (Taylor eşitsizliğiyle). $\cos x$‘i $P_2 = 1-\frac{x^2}{2}$ ile $\lvert x\rvert\le0.1$ aralığında kullanırsan hata en fazla ne olur? $\cos$‘un türevleri $\pm\sin$, $\pm\cos$, hepsi $1$ ile sınırlı, $M=1$. Ama dikkat: $\cos$ serisinde $x^3$ terimi yok, yani $P_2 = P_3$. $n=3$ ile sınır daha iyi: $\lvert R_3\rvert\le\dfrac{1}{4!}(0.1)^4\approx4.2\times10^{-6}$. Sınavda “use $P_2$” dense bile, $P_3$ ile aynı olduğunu fark edersen daha keskin sınır yazabilirsin; ama $n=2$ ile verilen sınır ($\frac{(0.1)^3}{6}\approx1.7\times10^{-4}$) da doğrudur, sadece daha kabadır.

Sezgi: polinom eğriye nasıl yapışır?

$e^x$ grafiğinin yanına $P_1 = 1+x$ (teğet doğru), $P_2$, $P_3$ çizdiğini düşün. $x=0$ civarında hepsi eğriye neredeyse oturur. $x$ büyüdükçe önce $P_1$ ayrılır, sonra $P_2$, sonra $P_3$. Hata formülündeki $\lvert x-a\rvert^{n+1}$ çarpanı tam olarak bunu söyler: merkezden uzaklık büyüdükçe hata hızla artar, $(n+1)!$ paydası ise terim sayısı arttıkça hatayı ezer. Pratik sonuç: yaklaşımı her zaman merkeze yakın bir noktada yap. $\ln(1.2)$ için $\ln(1+x)$ serisi uygun; $\ln5$ için aynı seri ise hiç çalışmaz, çünkü $x=4$ aralığın dışında.

Serilerle limit

L’Hôpital birkaç kez gerektiren $0/0$ limitlerinde seriyle açmak daha hızlı ve daha az hataya açık.

Örnek 3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} = \lim\frac{x-\left(x-\frac{x^3}{6}+\dots\right)}{x^3} = \lim\left(\frac16-\frac{x^2}{120}+\dots\right) = \frac16.$

Örnek 4. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^2)}{1-\cos x}$. Pay: $x^2-\frac{x^6}{6}+\dots$ Payda: $\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\dots$ İkisini $x^2$‘ye böl: $\dfrac{1-\dots}{\frac12-\dots}\to2$.

Kural: pay ve paydada en düşük dereceli sıfırdan farklı terime kadar aç, yeterli.

Serilerle toplam bulma

Bir sayı serisini tanıdık bir Maclaurin serisinin belli bir $x$ değeri olarak gör.

İpucu: paydada $n!$ varsa $e^x$, $(2n)!$ varsa $\cos$, $(2n+1)!$ varsa $\sin$, sadece $n$ varsa $\ln$, $2n+1$ varsa $\arctan$ düşün.

Serilerle integral

$\int_0^1\sin(x^2)dx$ temel fonksiyonlarla hesaplanamaz. Seriye aç:

$\sin(x^2) = x^2-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^{10}}{5!}-\dots\quad\Rightarrow\quad\int_0^1\sin(x^2)dx = \frac13-\frac{1}{42}+\frac{1}{1320}-\frac{1}{75600}+\dots$

Alterne ve azalan. İlk üç terim $0.3102814$, hata $<\frac{1}{75600}\approx1.3\times10^{-5}$. Dört terim $0.3102682$.

Binom serisi

Her reel $k$ ve $\lvert x\rvert<1$ için

$(1+x)^k = \sum_{n=0}^\infty\binom kn x^n = 1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^2+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3+\dots$

$k$ pozitif tam sayıysa seri sonlanır (bildiğin binom açılımı). Değilse sonsuzdur.

Örnek 5. $\dfrac{1}{\sqrt{1.1}}$: $k = -\frac12$, $x = 0.1$. $1-\frac12(0.1)+\frac{(-\frac12)(-\frac32)}{2}(0.01) = 1-0.05+0.00375 = 0.95375$. Gerçek değer $0.95346$.

Sık yapılan hatalar