Çapraz çarpım, doğrular ve düzlemler

Bu hafta vektör cebirinin ikinci çarpımını ve onunla kurulan geometriyi öğreniyoruz. Nokta çarpım bir sayı veriyordu ve açı ile dikliği ölçüyordu. Çapraz çarpım (cross product) ise iki vektöre birden dik yeni bir vektör üretir. Uzunluğu da alan verir. Düzlem denklemi yazmanın, üçgen alanı bulmanın ve bir noktanın bir doğruya uzaklığını hesaplamanın en kısa yolu budur. Sınavda bu konudan genelde bir “find the plane through three points” ve bir uzaklık ya da kesişim sorusu çıkar.

Altın kurallar:

1. Çapraz çarpım sadece üç boyutta tanımlı ve sonucu bir vektördür.
2. Determinant açılımında ortadaki $\mathbf j$ teriminin önü eksi.
3. Doğru için bir nokta + bir doğrultu vektörü, düzlem için bir nokta + bir normal vektör gerekir.
4. Üç noktadan düzlem: $\mathbf n = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$.
5. Her sonucu kontrol et: çapraz çarpım iki vektöre de dik çıkmalı, düzlem denklemi verilen bütün noktaları sağlamalı.

Çapraz çarpım

Tanım.

$\mathbf u\times\mathbf v = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix} = (u_2v_3-u_3v_2)\,\mathbf i-(u_1v_3-u_3v_1)\,\mathbf j+(u_1v_2-u_2v_1)\,\mathbf k.$

Geometri.

• $\mathbf u\times\mathbf v$ hem $\mathbf u$‘ya hem $\mathbf v$‘ye diktir.
• Yönü sağ el kuralıyla bulunur: sağ elinin parmakları $\mathbf u$‘dan $\mathbf v$‘ye kıvrılırken başparmak $\mathbf u\times\mathbf v$ yönünü gösterir.
• $\lvert\mathbf u\times\mathbf v\rvert = \lvert\mathbf u\rvert\lvert\mathbf v\rvert\sin\theta$, yani $\mathbf u$ ve $\mathbf v$‘nin oluşturduğu paralelkenarın alanı.

Özellikler. $\mathbf v\times\mathbf u = -(\mathbf u\times\mathbf v)$ (değişmeli DEĞİL). $\mathbf u\times\mathbf u = \mathbf 0$. Paralel vektörlerin çapraz çarpımı $\mathbf 0$. $\mathbf i\times\mathbf j = \mathbf k$, $\mathbf j\times\mathbf k = \mathbf i$, $\mathbf k\times\mathbf i = \mathbf j$ (döngüsel sıra; ters sırada eksi).

Örnek 1. $\langle2,1,-1\rangle\times\langle1,3,2\rangle$.

i bileşeni:   1·2 - (-1)·3 = 2 + 3 = 5
j bileşeni: -(2·2 - (-1)·1) = -(4 + 1) = -5
k bileşeni:   2·3 - 1·1 = 5
sonuç: <5, -5, 5>
kontrol: <5,-5,5>·<2,1,-1> = 10 - 5 - 5 = 0   ✓
         <5,-5,5>·<1,3,2>  = 5 - 15 + 10 = 0   ✓

Alan ve hacim

Örnek 2 (üçgen alanı). $P(1,1,0)$, $Q(3,1,2)$, $R(1,4,1)$. $\overrightarrow{PQ} = \langle2,0,2\rangle$, $\overrightarrow{PR} = \langle0,3,1\rangle$.

$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \langle0\cdot1-2\cdot3,\;-(2\cdot1-2\cdot0),\;2\cdot3-0\rangle = \langle-6,-2,6\rangle,\qquad\text{Alan} = \frac{\sqrt{76}}{2} = \sqrt{19}.$

Üçlü skaler çarpım (triple scalar product). $\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)$, satırları $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ olan $3\times3$ determinanttır. Mutlak değeri bu üç vektörün oluşturduğu paralelyüzün (parallelepiped) hacmidir. Sıfırsa üç vektör aynı düzlemdedir (coplanar).

Örnek 3. $\langle1,2,0\rangle,\langle0,1,3\rangle,\langle2,0,1\rangle$: $1(1-0)-2(0-6)+0 = 1+12 = 13$. Hacim $13$.

Uzayda doğru

Bir doğru, üzerindeki bir $P_0(x_0,y_0,z_0)$ noktası ve doğrultu vektörü (direction vector) $\mathbf v = \langle a,b,c\rangle$ ile belirlenir.

$\mathbf r(t) = \mathbf r_0+t\mathbf v\qquad\Longleftrightarrow\qquad x = x_0+at,\quad y = y_0+bt,\quad z = z_0+ct.$

İki noktadan geçen doğru: doğrultu $\overrightarrow{P_0P_1}$. $(2,0,-1)$ ve $(4,3,1)$‘den geçen doğru: $\mathbf v = \langle2,3,2\rangle$, $x = 2+2t$, $y = 3t$, $z = -1+2t$. $t=0$ ilk noktayı, $t=1$ ikinciyi verir.

İki doğrunun durumu. Doğrultular paralelse doğrular ya paralel ya çakışık. Paralel değilse ya kesişirler ya da aykırıdırlar (skew): ne paralel ne kesişen. Kesişimi bulmak için $x$, $y$, $z$ eşitliklerini yaz ($t$ ve $s$ farklı parametreler!), ikisinden $t,s$‘yi çöz, üçüncüde dene.

Örnek 4 (aykırı doğrular). $L_1: (1+t,\,t,\,0)$ ve $L_2: (0,\,1+s,\,3+s)$. $z$‘den $0 = 3+s$, $s=-3$; $y$‘den $t = 1+s = -2$; $x$‘te $1+t = -1\neq0$. Kesişmiyorlar; doğrultular $\langle1,1,0\rangle$ ve $\langle0,1,1\rangle$ paralel değil. Aykırı. Aralarındaki uzaklık $\dfrac{\lvert\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\mathbf v_1\times\mathbf v_2)\rvert}{\lvert\mathbf v_1\times\mathbf v_2\rvert} = \dfrac{\lvert\langle-1,1,3\rangle\cdot\langle1,-1,1\rangle\rvert}{\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$.

Uzayda düzlem

Bir düzlem, üzerindeki bir $P_0$ noktası ve düzleme dik normal vektör $\mathbf n = \langle a,b,c\rangle$ ile belirlenir. Düzlemdeki her $P$ için $\overrightarrow{P_0P}\perp\mathbf n$:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0) = 0\qquad\Longleftrightarrow\qquad ax+by+cz = d.$

$x$, $y$, $z$‘nin katsayıları doğrudan normal vektörü verir. $2x-y+3z = 7$ düzleminin normali $\langle2,-1,3\rangle$.

Örnek 5 (üç noktadan düzlem). Örnek 2’deki $P$, $Q$, $R$: normal $\langle-6,-2,6\rangle\parallel\langle3,1,-3\rangle$. $P$ ile: $3(x-1)+(y-1)-3z = 0$, yani $3x+y-3z = 4$. $Q$: $9+1-6 = 4$ ✓. $R$: $3+4-3 = 4$ ✓.

Düzlemlerle ilgili hesaplar

Örnek 6. $(1,2,3)$ noktasının $2x+y-2z = 5$ düzlemine uzaklığı: $\dfrac{\lvert2+2-6-5\rvert}{3} = \dfrac73$.

Örnek 7 (paralel düzlemler). $x+2y+2z = 3$ ile $x+2y+2z = 12$ arası: birinci düzlemden bir nokta al, $(3,0,0)$; ikinciye uzaklığı $\dfrac{\lvert3-12\rvert}{3} = 3$. Kısa yol: $\dfrac{\lvert d_1-d_2\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$ (normaller aynı yazılmışsa).

TUZAK · doğru mu düzlem mi? $x+2y+2z = 3$ tek denklem, uzayda bir düzlem. Uzayda doğru tek bir lineer denklemle yazılamaz; ya parametrik yazılır ya da iki düzlemin kesişimi olarak. İki boyutta “doğru denklemi” olan $ax+by = c$, üç boyutta $z$ eksenine paralel bir düzlemdir.

Silindirler: yüzeylere giriş

Denklemde değişkenlerden biri yoksa yüzey o eksen boyunca uzanan bir silindirdir (cylinder). $x^2+y^2 = 4$ uzayda $z$ eksenine paralel, yarıçapı $2$ olan dairesel silindir; her $z$ yüksekliğinde aynı daireyi verir. $z = y^2$ ise $x$ ekseni boyunca uzanan parabolik silindir. Gelecek hafta üç değişkenin hepsinin yer aldığı ikinci dereceden yüzeylere (quadric surfaces) geçeceğiz.

Sık yapılan hatalar