Gradient, yönlü türev ve teğet düzlem

Geçen hafta kısmi türevleri gördün: $f_x$ sadece $x$ yönündeki, $f_y$ sadece $y$ yönündeki değişim hızı. Peki $45^\circ$ yönünde ya da herhangi bir yönde fonksiyon ne hızla değişir? Bu sorunun cevabı yönlü türev (directional derivative) ve onu hesaplamanın anahtarı gradient vektörü. Gradient çok değişkenli calculus’un en önemli nesnesi: en hızlı artış yönünü gösterir, seviye eğrilerine diktir ve teğet düzlemin normalini verir. Sınavda bu konudan bir yönlü türev, bir “maximum rate of change” ve bir teğet düzlem sorusu neredeyse garanti.

Altın kurallar:

1. Yönlü türevde yön vektörünü mutlaka birim vektöre çevir.
2. $D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u$. En büyük değer $\lvert\nabla f\rvert$, gradient yönünde.
3. Gradient seviye eğrisine (seviye yüzeyine) diktir. Bu cümleden teğet doğru ve teğet düzlem formülleri çıkar.
4. $z = f(x,y)$ için teğet düzlem ve lineerleştirme aynı şey: $L(x,y) = f(a,b)+f_x(x-a)+f_y(y-b)$.

Gradient

Tanım.

$\nabla f(x,y) = \langle f_x,\,f_y\rangle,\qquad\nabla f(x,y,z) = \langle f_x,\,f_y,\,f_z\rangle.$

“Nabla f” ya da “grad f” diye okunur. Bir noktada hesaplanınca bir vektör olur.

Örnek 1. $f(x,y) = x^2y-3y$. $\nabla f = \langle2xy,\,x^2-3\rangle$. $(2,1)$‘de $\langle4,1\rangle$.

Yönlü türev

Tanım. $\mathbf u = \langle u_1,u_2\rangle$ birim vektör olsun. $f$‘nin $(a,b)$ noktasında $\mathbf u$ yönündeki türevi

$D_{\mathbf u}f(a,b) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+hu_1,\,b+hu_2)-f(a,b)}{h}.$

Yani $(a,b)$‘den $\mathbf u$ yönünde bir birim yürürsen $f$ ne kadar değişir.

Teorem. $f$ türevlenebilirse

$D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u = f_xu_1+f_yu_2.$

$\mathbf u = \mathbf i$ için $D_{\mathbf u}f = f_x$; kısmi türevler yönlü türevin özel halleri.

Örnek 1 (devam). $(2,1)$‘de $\langle1,1\rangle$ yönünde: $\mathbf u = \frac{1}{\sqrt2}\langle1,1\rangle$, $D_{\mathbf u}f = \frac{4+1}{\sqrt2} = \frac{5}{\sqrt2}\approx3.54$.

Örnek 2 (üç değişken, iki noktayla verilen yön). $f(x,y,z) = xyz^2$, $P(1,2,1)$‘den $Q(3,3,3)$‘e doğru.

PQ    = <2, 1, 2>,  |PQ| = 3,  u = <2/3, 1/3, 2/3>
∇f    = <y z^2, x z^2, 2xyz>  →  P'de <2, 1, 4>
D_u f = (2·2 + 1·1 + 4·2)/3 = 13/3

TUZAK · birim vektör. $\nabla f\cdot\mathbf v$ ile $\mathbf v$ birim değilken hesaplarsan cevabın $\lvert\mathbf v\rvert$ katı yanlış çıkar. Q2’de $\langle3,4\rangle$ ile doğrudan çarpsaydın $27$ bulurdun, doğrusu $27/5$. “In the direction of” ifadesini gördüğün an böl.

En hızlı artış

$D_{\mathbf u}f = \nabla f\cdot\mathbf u = \lvert\nabla f\rvert\lvert\mathbf u\rvert\cos\theta = \lvert\nabla f\rvert\cos\theta$. $\theta$, $\mathbf u$ ile gradient arasındaki açı. Buradan:

Sezgi. Bir dağın yamacında durduğunu düşün. Gradient, en dik tırmanış yönünü gösteren pusula. Uzunluğu o yöndeki eğim. Gradiente dik yürürsen ne çıkarsın ne inersin; eş yükselti eğrisi üzerinde yürürsün. Bir top bırakırsan $-\nabla f$ yönünde yuvarlanır.

Örnek 3. Bir levhanın sıcaklığı $T(x,y) = 100-x^2-2y^2$. $(1,1)$‘deki bir karınca en hızlı serinlemek için hangi yöne gitmeli? $\nabla T = \langle-2x,-4y\rangle = \langle-2,-4\rangle$. En hızlı azalış $-\nabla T = \langle2,4\rangle$ yönünde, yani $\frac{1}{\sqrt5}\langle1,2\rangle$. Bu yönde sıcaklık $\lvert\nabla T\rvert = \sqrt{20}\approx4.47$ derece/birim hızla düşer.

Gradient ve seviye eğrileri

$f(x,y) = c$ seviye eğrisi boyunca $f$ değişmez, yani eğriye teğet yönde $D_{\mathbf u}f = 0$. Bu yüzden $\nabla f$ seviye eğrisine diktir. Seviye eğrisine $(x_0,y_0)$‘da teğet doğru:

$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0.$

Üç boyutta aynı fikir: $\nabla F$, $F(x,y,z) = c$ seviye yüzeyine diktir.

Teğet düzlem ve normal doğru

Seviye yüzeyi $F(x,y,z) = c$. $P_0(x_0,y_0,z_0)$‘daki teğet düzlemin normali $\nabla F(P_0)$:

$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0) = 0.$

Normal doğru: $\mathbf r(t) = P_0+t\,\nabla F(P_0)$.

Grafik $z = f(x,y)$. $F = f(x,y)-z = 0$ yazarsan $\nabla F = \langle f_x,f_y,-1\rangle$ ve formül

$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$

Örnek 4. $z = x^2+3y^2$, $(1,1,4)$: $f_x = 2$, $f_y = 6$. $z = 4+2(x-1)+6(y-1) = 2x+6y-4$.

Örnek 5. Elipsoit $x^2+2y^2+3z^2 = 6$, $(1,1,1)$: $\nabla F = \langle2x,4y,6z\rangle = \langle2,4,6\rangle\parallel\langle1,2,3\rangle$. Teğet düzlem $x+2y+3z = 6$. Normal doğru $(1+t,\,1+2t,\,1+3t)$.

İPUCU · hangi formül? Yüzey $z = \ldots$ biçimindeyse ikinci formül hızlı. Yüzey $x$, $y$, $z$‘nin karışık bir denklemiyse ($xyz = 6$, $x^2+y^2-z^2 = 1$) her şeyi bir tarafa topla, $F$ de, gradient al.

Lineerleştirme ve diferansiyel

$z = f(x,y)$‘nin $(a,b)$‘deki lineerleştirmesi (linearization) teğet düzlemin denklemidir:

$L(x,y) = f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b),\qquad f(x,y)\approx L(x,y)\ \ ((x,y)\approx(a,b)).$

Örnek 6. $f(x,y) = xe^y$, $(1,0)$: $f = 1$, $f_x = e^y = 1$, $f_y = xe^y = 1$. $L = 1+(x-1)+y$. $f(1.1,-0.1)\approx1+0.1-0.1 = 1.0$. Gerçek değer $0.99532$.

Tam diferansiyel (total differential).

$dz = f_x\,dx+f_y\,dy.$

Ölçüm hatası sorularında $dx$, $dy$ ölçümlerdeki olası hatalardır; en kötü durum için hepsini aynı yönde (pozitif katkı verecek işaretle) alırsın.

Sık yapılan hatalar