Yerel ekstremumlar ve ikinci türev testi

Tek değişkenli calculus’ta $f'(x) = 0$ noktalarını bulup $f''$‘nin işaretine bakıyordun. İki değişkende fikir aynı ama iki farkla: kritik nokta bulmak için iki denklemi aynı anda çözersin ve ikinci türev testi tek bir sayı yerine dört ikinci türevi birleştiren diskriminant $D$ ile yapılır. Yeni bir nokta türü de ortaya çıkar: bir yönde minimum, başka yönde maksimum gibi davranan eyer noktası (saddle point). Sınavda bu konu “find and classify all critical points” sorusu olarak neredeyse her zaman çıkar; asıl puan, denklem sistemini eksiksiz çözmekten gelir.

Altın kurallar:

1. Kritik nokta: $f_x = 0$ ve $f_y = 0$. Sistemi çözerken çarpanlara ayır, bölme yaparak kök kaybetme.
2. Her kritik noktada $D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$‘yi ayrı hesapla.
3. $D<0$ ise eyer, $D>0$ ise $f_{xx}$‘in işaretine bak. $D = 0$ ise test susar.
4. Cevaba noktayı, türünü ve fonksiyon değerini yaz.

Tanımlar

$f$, $(a,b)$‘nin çevresindeki bütün noktalarda $f(x,y)\le f(a,b)$ sağlıyorsa $(a,b)$ bir yerel maksimum (local maximum), $f(x,y)\ge f(a,b)$ sağlıyorsa yerel minimum noktasıdır.

Teorem (birinci türev). $f$‘nin $(a,b)$‘de yerel ekstremumu varsa ve kısmi türevler varsa $f_x(a,b) = 0$ ve $f_y(a,b) = 0$. Yani $\nabla f = \mathbf 0$ ve teğet düzlem yataydır.

$\nabla f = \mathbf 0$ olan (ya da kısmi türevlerden birinin tanımsız olduğu) noktalara kritik nokta denir. Her ekstremum kritik noktadır ama her kritik nokta ekstremum değildir.

Eyer noktası. Kritik nokta olup ekstremum olmayan nokta. Klasik örnek $z = y^2-x^2$ (hiperbolik paraboloit): orijinde $x$ ekseni boyunca maksimum, $y$ ekseni boyunca minimum. At eyerinin ortası gibi.

İkinci türev testi

$(a,b)$ kritik nokta ve ikinci türevler sürekli olsun.

$D = f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b)-\big[f_{xy}(a,b)\big]^2 = \begin{vmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{vmatrix}$

Sezgi. $D>0$ demek, yüzeyin kritik noktada bütün yönlerde aynı tarafa büküldüğü demek; ya kase (min) ya ters kase (max). Hangisi olduğunu herhangi bir yöndeki bükülme, örneğin $f_{xx}$, söyler. $D<0$ demek, bazı yönlerde yukarı bazı yönlerde aşağı büküldüğü demek: eyer. $f_{xy}$ terimi karışık yönlerdeki bükülmeyi hesaba katar; $f_{xx}$ ve $f_{yy}$ ikisi de pozitif olsa bile $f_{xy}$ büyükse nokta eyer olabilir.

TUZAK · $f_{xx}$ ve $f_{yy}$ aynı işaretli diye min/max demek. $f = x^2+4xy+y^2$: $f_{xx} = 2>0$, $f_{yy} = 2>0$, ama $f_{xy} = 4$ ve $D = 4-16 = -12<0$. Orijin eyer. $y = -x$ doğrusu boyunca $f = -2x^2$, aşağı iniyor. $D$‘yi hesaplamadan karar verme.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (tek kritik nokta). $f(x,y) = x^2+2y^2-4x+4y+1$.

f_x = 2x - 4 = 0    →  x = 2
f_y = 4y + 4 = 0    →  y = -1
f_xx = 2, f_yy = 4, f_xy = 0,  D = 8 > 0, f_xx > 0  →  yerel min
f(2,-1) = 4 + 2 - 8 - 4 + 1 = -5

Örnek 2 (iki kritik nokta). $f(x,y) = xy-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{y^2}{2}$.

$f_x = y-x^2 = 0$ ve $f_y = x-y = 0$. İkinciden $y = x$, birinciye koy: $x-x^2 = x(1-x) = 0$. Noktalar $(0,0)$ ve $(1,1)$.

İkinci türevler: $f_{xx} = -2x$, $f_{yy} = -1$, $f_{xy} = 1$, $D = 2x-1$.

İPUCU · kök kaybetme. $x-x^2 = 0$ denklemini $x$‘e bölüp $x = 1$ yazarsan $(0,0)$‘ı kaybedersin. Her zaman çarpanlara ayır: $x(1-x) = 0$. Q4 ve Q6’daki $x^4 = x$, $x^9 = x$ denklemleri de aynı tuzak.

Sistem çözme stratejileri

Örnek 3 ($D = 0$). $f = x^4-y^4$, orijinde bütün ikinci türevler $0$, $D = 0$. Test susuyor. Yollara bak: $x$ ekseninde $f = x^4\ge0$, $y$ ekseninde $f = -y^4\le0$. Orijinin her komşuluğunda hem pozitif hem negatif değer var: eyer. Aynı durumda $x^4+y^4$ minimum, $-(x^4+y^4)$ maksimum. Yani $D = 0$ olduğunda her şey olabilir.

Uygulama problemleri

Optimizasyon sorularında genelde üç değişken ve bir kısıt vardır. Kısıtı kullanarak bir değişkeni yok et, iki değişkenli fonksiyona indir, sonra bu sayfadaki testi uygula.

1) Neyi optimize ediyorsun? (alan, hacim, uzaklık, maliyet) → formül
2) Kısıt: xyz = V, x + y + z = k, nokta düzlemde ...  → z'yi çek
3) İki değişkenli fonksiyon kur, kritik nokta bul
4) D ile min/maks olduğunu doğrula (ya da fiziksel olarak tek aday)
5) Üçüncü değişkeni ve istenen değeri hesapla

Uzaklık hilesi. Bir noktaya en yakın noktayı ararken $\sqrt{\ldots}$‘yu değil, uzaklığın karesini minimize et. Kök artan bir fonksiyon olduğu için aynı noktada minimum olur ve türevler çok daha temiz çıkar.

Gelecek hafta aynı problemleri değişken yok etmeden, Lagrange çarpanlarıyla çözmeyi ve kapalı bölgelerde mutlak ekstremum bulmayı göreceğiz.

Sık yapılan hatalar