Çift katlı integraller: dikdörtgen ve genel bölgeler

Tek değişkenli integral bir eğrinin altındaki alanı veriyordu. Çift katlı integral (double integral) ise bir yüzeyin altındaki hacmi verir: $z = f(x,y)$ yüzeyi ile $xy$-düzlemindeki bir $D$ bölgesi arasındaki katı. Hesap tekniği şaşırtıcı derecede basit: iki tane tek değişkenli integrali iç içe alırsın. Asıl zorluk integrali hesaplamak değil, sınırları doğru kurmak. Sınavda bu konudan genelde bir “evaluate”, bir “sketch the region and reverse the order” ve bir hacim ya da alan sorusu gelir.

Altın kurallar:

1. İç integralde dış değişken sabit gibi davranır. İçten dışa çalış.
2. Dış integralin sınırları her zaman sayıdır. İç integralin sınırları dış değişkene bağlı olabilir.
3. Genel bölgede önce bölgeyi çiz. Eğrilerin kesişimlerini bul, hangisinin altta hangisinin üstte olduğunu belirle.
4. İç integral alınamıyorsa (antitürev yok) integrasyon sırasını değiştir.

Dikdörtgen bölge ve Fubini teoremi

$R = [a,b]\times[c,d]$ olsun. Çift katlı integral, Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanır: $R$‘yi küçük dikdörtgenlere böl, her birinde $f$‘nin bir değerini alanla çarp, topla, parçaları küçült. $f\ge0$ ise sonuç yüzeyin altındaki hacimdir.

Fubini teoremi. $f$, $R$ üzerinde sürekliyse

$\iint_Rf(x,y)\,dA = \int_a^b\!\!\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\!\!\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$

Dikdörtgende sıra serbest. Hangisi kolaysa onu seç.

Sezgi. $\int_c^df(x,y)\,dy$, sabit bir $x$ değerinde katıyı $x =$ sabit düzlemiyle kestiğinde oluşan dilimin alanıdır. Bu alanları $x$ boyunca toplarsan (integralini alırsan) hacmi bulursun. Ekmeği dilimleyip dilimlerin alanlarını toplamak gibi.

Örnek 1. $\displaystyle\int_0^3\!\!\int_1^2x^2y\,dy\,dx$.

iç (y'ye göre, x sabit):  ∫_1^2 x²y dy = x² [y²/2]_1^2 = x² (2 - 1/2) = (3/2) x²
dış:                      ∫_0^3 (3/2) x² dx = (3/2)(9) = 27/2

Integrand $g(x)h(y)$ biçiminde olduğu için kısa yol: $\left(\int_0^3x^2dx\right)\left(\int_1^2y\,dy\right) = 9\cdot\frac32 = \frac{27}{2}$.

Örnek 2 (sıra seçimi). $\displaystyle\iint_Ry\sin(xy)\,dA$, $R = [0,\pi]\times[0,1]$. Önce $y$‘ye göre alırsan kısmi integrasyon gerekir. Önce $x$‘e göre al: $\displaystyle\int_0^\pi y\sin(xy)\,dx = \left[-\cos(xy)\right]_0^\pi = 1-\cos(\pi y)$. Sonra $\displaystyle\int_0^1(1-\cos\pi y)\,dy = 1-0 = 1$.

İPUCU · iç değişkeni seç. İç integralde integrandın yanında iç değişkene göre türevi duran bir çarpan varsa ($y\sin(xy)$‘de $x$‘e göre integral alırken $y$, iç fonksiyonun türevi) o sıra kolaydır. Örnek 2 ve Q3 bu fikre dayanıyor.

Genel bölgeler

Bölge dikdörtgen değilse sınırları bir eğri olur. İki standart biçim var:

Tip I (dikey şeritler). $D = \{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$:

$\iint_Df\,dA = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.$

Tip II (yatay şeritler). $D = \{c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$:

$\iint_Df\,dA = \int_c^d\!\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\,dy.$

Sınır kurma şablonu

1) Bölgeyi ÇİZ. Sınır eğrilerinin kesişimlerini hesapla.
2) Tip I için: bölgenin içine dikey bir ok çiz (aşağıdan yukarı).
     ok nereden giriyor → alt sınır g1(x);  nereden çıkıyor → üst sınır g2(x)
     x'in aldığı en küçük ve en büyük değer → dış sınırlar a, b
3) Tip II için: yatay ok (soldan sağa). Giriş h1(y), çıkış h2(y).
     y'nin en küçük ve en büyük değeri → c, d
4) Ok bölge içinde sınır değiştiriyorsa (giriş/çıkış eğrisi değişiyorsa)
     integrali ikiye böl ya da diğer tipi dene.

Örnek 3. $D$: $y = x^2$ ve $y = 2x$ arası. Kesişim $x^2 = 2x$, $x = 0$ ve $x = 2$. $[0,2]$‘de $2x\ge x^2$ (dene: $x = 1$‘de $2>1$). $\displaystyle\iint_Dx\,dA$:

$\text{Tip I:}\ \int_0^2\!\!\int_{x^2}^{2x}x\,dy\,dx = \int_0^2x(2x-x^2)\,dx = \frac{16}{3}-4 = \frac43.$

Aynı bölge tip II olarak: $y$, $0$‘dan $4$‘e; $y = 2x\Rightarrow x = y/2$ (sol), $y = x^2\Rightarrow x = \sqrt y$ (sağ). $\displaystyle\int_0^4\!\!\int_{y/2}^{\sqrt y}x\,dx\,dy$ de $\frac43$ verir.

İntegrasyon sırasını değiştirme

Bazı integrandların bir değişkene göre antitürevi yoktur: $e^{y^2}$, $\sin(y^3)$, $\cos(x^2)$, $\frac{\sin y}{y}$. Böyle bir integral o değişken içte olacak şekilde verilmişse sırayı değiştirirsin. İş, bölgeyi diğer tipte yeniden yazmaktır.

Örnek 4. $\displaystyle\int_0^1\!\!\int_y^1\cos(x^2)\,dx\,dy$. $\cos(x^2)$‘nin $x$‘e göre antitürevi yok.

Verilen: 0 ≤ y ≤ 1,  y ≤ x ≤ 1     → (0,0), (1,0), (1,1) köşeli üçgen
Çiz. Dikey şeritle (Tip I): 0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ x
∫_0^1 ∫_0^x cos(x²) dy dx = ∫_0^1 x cos(x²) dx = [sin(x²)/2]_0^1 = sin(1)/2

Yeni iç integral $\int_0^xdy = x$ çarpanını üretti ve bu çarpan tam olarak $u = x^2$ dönüşümünün ihtiyaç duyduğu şey. Sıra değiştirme sorularında bu “sihir” neredeyse her zaman olur; olmuyorsa sınırları yanlış kurmuşsundur.

TUZAK · sınırları sadece yer değiştirmek. $\int_0^1\int_y^1\ldots dx\,dy$‘yi $\int_y^1\int_0^1\ldots dy\,dx$ yapmak anlamsız: dış integralin sınırında değişken kalır. Sıra değiştirmek her zaman bölgeyi çizip yeniden tanımlamak demektir.

Alan, hacim ve ortalama değer

Örnek 5. $z = 4-x^2-y^2$ paraboloitinin altında, $[0,1]\times[0,1]$ karesinin üstünde kalan hacim: $\displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1(4-x^2-y^2)\,dy\,dx = 4-\frac13-\frac13 = \frac{10}{3}$.

Hacim sorusunda bölge açıkça verilmemişse yüzeyin $xy$-düzlemini kestiği eğri (ya da iki yüzeyin kesişiminin izdüşümü) bölgenin sınırıdır. Q9’da düzlem $z = 0$‘da $2x+3y = 6$ doğrusunu verir, taban üçgen.

Sık yapılan hatalar