Fonksiyonlar: birebir, örten, ters, bileşke, floor ve ceiling

Fonksiyon kavramını lise matematiğinden biliyorsun, ama ayrık matematikte fonksiyon bir formül değil, bir eşlemedir. Vizede neredeyse kesin bir soru: “Determine whether $f$ is one-to-one, onto, both or neither. Prove your answers. If it is a bijection, find its inverse.” Bu soru şablonla çözülür. Yanına genelde bir floor/ceiling hesabı ya da bileşke eklenir.

Altın kurallar:

1. Fonksiyon = domain’deki her elemana tam bir çıktı. İki çıktı ya da hiç çıktı yoksa fonksiyon değil.
2. 1-1 ispatı $f(x) = f(y)$ ile başlar, $x = y$ ile biter.
3. Onto ispatı keyfi $y$ ile başlar, $x$‘i çözersin, $x$‘in domain’de olduğunu söylersin.
4. “Değil” demek için tek somut örnek yeter.
5. Domain ve codomain cevabı değiştirir. Aynı formül $\mathbb{R}$‘de bijection, $\mathbb{Z}$‘de değil olabilir.

Tanım

$A$ ve $B$ boş olmayan kümeler olsun. Fonksiyon (function) $f: A \to B$, $A$‘daki her $a$‘ya $B$‘den tam bir $f(a)$ atar.

Range her zaman codomain’in alt kümesi. Preimage tanımı ters fonksiyon gerektirmez; her fonksiyon için tanımlıdır.

Fonksiyon olmayan şeyler: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1/x$ ($x = 0$ için çıktı yok), ya da $f(x) = \pm\sqrt{x}$ (iki çıktı). Sonlu bir eşleme verilirse her girdinin tam bir okla çıktığına bak.

One-to-one, onto, bijection

1-1 tanımının contrapositive hali de kullanılır: $a \ne b \Rightarrow f(a) \ne f(b)$.

Sonlu kümelerde kısa yollar. $\lvert A \rvert > \lvert B \rvert$ ise $f$ 1-1 olamaz (güvercin yuvası). $\lvert A \rvert < \lvert B \rvert$ ise onto olamaz. $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ ise 1-1 ile onto aynı şeydir; birini göstermek yeter.

Şablon ve çözümlü örnekler

Örnek 1. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4 - 3x$.

One-to-one. Suppose f(x) = f(y). Then 4 − 3x = 4 − 3y, so −3x = −3y
and x = y. Hence f is one-to-one.
Onto. Let y ∈ R be arbitrary. Take x = (4 − y)/3. Then x ∈ R and
f(x) = 4 − 3·(4 − y)/3 = 4 − (4 − y) = y. Hence f is onto.
So f is a bijection, and f⁻¹(y) = (4 − y)/3.

$x$‘i nereden buldun? Taslakta $y = 4 - 3x$‘i $x$ için çözdün. Sınavda taslağı değil, sonucu yaz ve "$x \in \mathbb{R}$" demeyi unutma.

Örnek 2. $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $g(n) = n^2$.

• 1-1 değil: $g(2) = g(-2) = 4$, ama $2 \ne -2$.
• Onto değil: $g(n) \ge 0$ olduğu için $-1$ hiç çıkmaz. (Ya da 2: tam kare değil.)

Örnek 3. $h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $h(n) = \lfloor n/2 \rfloor$.

• 1-1 değil: $h(4) = h(5) = 2$.
• Onto: $m \in \mathbb{Z}$ için $n = 2m$ al, $h(2m) = m$.

Örnek 4. $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = 2n + 3$ ile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$. İkisi de 1-1. Reel versiyon onto ($x = \tfrac{y-3}{2}$). Tam sayı versiyonu onto değil: $2n + 3$ hep tek, $0$‘a giden tam sayı yok.

TUZAK · Onto ispatında $x$‘in domain’de olduğunu atlamak. $x = \tfrac{y - 3}{2}$ buldun. Domain $\mathbb{R}$ ise sorun yok. Domain $\mathbb{Z}$ ise bu $x$ çoğu $y$ için tam sayı değil ve ispat çöker. “Take $x = \dots \in A$” cümlesi puanın yarısı.

Ters fonksiyon (inverse)

$f$ bijection ise $f^{-1}: B \to A$, $f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b$. Bijection değilse ters fonksiyon yoktur: 1-1 değilse bir $b$‘nin iki geri dönüş yolu olur, onto değilse bazı $b$‘lerin hiç yolu olmaz.

Bulma yöntemi: $y = f(x)$ yaz, $x$‘i yalnız bırak. Kontrol: $f^{-1}(f(x)) = x$.

Sonlu fonksiyonda okları ters çevir: $f(1) = c$, $f(2) = a$, $f(3) = b$ ise $f^{-1}(a) = 2$, $f^{-1}(b) = 3$, $f^{-1}(c) = 1$.

Bileşke (composition)

$f: A \to B$, $g: B \to C$ için $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Sağdan sola okunur: önce $f$, sonra $g$.

Örnek. $f(x) = x + 2$, $g(x) = 3x^2$. $(g \circ f)(x) = 3(x + 2)^2$, $(f \circ g)(x) = 3x^2 + 2$. Genelde $g \circ f \ne f \circ g$.

Faydalı gerçekler:

• $f$ ve $g$ 1-1 ise $g \circ f$ de 1-1. İkisi onto ise $g \circ f$ de onto.
• $g \circ f$ 1-1 ise $f$ 1-1 (soru 12). $g \circ f$ onto ise $g$ onto.
• $f^{-1} \circ f = \iota_A$ (identity function), $f \circ f^{-1} = \iota_B$.

Floor ve ceiling

⌊2.4⌋ = 2     ⌈2.4⌉ = 3
⌊−2.4⌋ = −3   ⌈−2.4⌉ = −2     (negatiflerde "kesip atmak" YANLIŞ)
⌊3⌋ = ⌈3⌉ = 3

Özellikler ($n$ tam sayı): $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$, $\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n$, $\lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor$, $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x \le \lceil x \rceil < x + 1$. Dikkat: $\lfloor x + y \rfloor$ genelde $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ değildir ($x = y = 0.5$: $1$ ile $0$).

Çözümlü ispat: $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor x + \tfrac12 \rfloor$

$x = n + \varepsilon$ yaz, $n = \lfloor x \rfloor$, $0 \le \varepsilon < 1$. İki durum:

Case 1: 0 ≤ ε < 1/2.
  2x = 2n + 2ε with 0 ≤ 2ε < 1, so ⌊2x⌋ = 2n.
  x + 1/2 = n + (ε + 1/2) with 1/2 ≤ ε + 1/2 < 1, so ⌊x + 1/2⌋ = n.
  Right side: n + n = 2n. Equal.
Case 2: 1/2 ≤ ε < 1.
  2x = 2n + 1 + (2ε − 1) with 0 ≤ 2ε − 1 < 1, so ⌊2x⌋ = 2n + 1.
  x + 1/2 = (n + 1) + (ε − 1/2) with 0 ≤ ε − 1/2 < 1/2, so ⌊x + 1/2⌋ = n + 1.
  Right side: n + (n + 1) = 2n + 1. Equal.  ∎

Floor/ceiling ispatlarının genel hilesi: $x$‘i “tam kısım + kesir” diye yaz ve kesrin aralığına göre durumlara böl.

Sık yapılan hatalar