Vektörler: bileşenler, birim vektörler, nokta ve çapraz çarpım

Vektörler bu dersin dili. Kinematikte hız ve ivme, dinamikte kuvvet, enerjide iş, momentumda çarpışma: hepsi vektörle yazılır. Vizede doğrudan 4-5 soru çıkar ve hepsi mekanik işlem: bileşen al, topla, çarp. Formülü biliyorsan kaçmaz.

Altın kurallar:

1. Vektörleri her zaman bileşenle topla. Büyüklükleri toplamak ($6 + 8 = 14$) sadece aynı yöndeki vektörlerde doğru.
2. $\tan^{-1}$ sonucuna güvenme, bölgeyi kontrol et. $A_x < 0$ ise $180^\circ$ ekle.
3. Nokta çarpım sayı verir, çapraz çarpım vektör verir.
4. Çapraz çarpımda sıra önemli: $\vec B\times\vec A = -\vec A\times\vec B$.
5. Hesap makinesi DEG modunda. RAD modunda $\cos35$ negatif çıkar.

Skaler ve vektör

Skaler (scalar) sadece sayı ve birimden oluşur: kütle, zaman, sıcaklık, sürat (speed), enerji. Vektör (vector) büyüklük (magnitude) ve yön (direction) taşır: yer değiştirme, hız (velocity), ivme, kuvvet.

Gösterim: $\vec A$ vektörün kendisi, $A$ ya da $|\vec A|$ büyüklüğü (her zaman $\ge 0$).

Geometrik olarak iki vektör uç uca eklenir (head-to-tail): $\vec R = \vec A + \vec B$, $\vec A$‘nın başlangıcından $\vec B$‘nin ucuna giden ok. Çıkarma, tersini eklemektir: $\vec A - \vec B = \vec A + (-\vec B)$. $-\vec B$, aynı büyüklükte, zıt yönde vektör.

Bileşenler (components)

Vektörün $x$ ve $y$ eksenleri üzerindeki izdüşümleri. Açı $\theta$, +x ekseninden saat yönünün tersine ölçülüyorsa:

$A_x = A\cos\theta \qquad A_y = A\sin\theta$

Tersi, bileşenden büyüklük ve yöne:

$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{A_y}{A_x}\right)$

Örnek 1. $\vec A$, 20.0 m, $150^\circ$ yönünde. $A_x = 20.0\cos150^\circ = -17.3$ m, $A_y = 20.0\sin150^\circ = 10.0$ m. İşaretler kendiliğinden doğru çıkıyor çünkü açıyı +x’ten verdik.

Bölge kontrolü

Hesap makinesinin $\tan^{-1}$ fonksiyonu sadece $-90^\circ$ ile $+90^\circ$ arasında sonuç verir. Bu yüzden:

TUZAK · “north of west” açısı. Soru açıyı +x’ten vermeyebilir. “40° north of west” demek batıdan (−x) kuzeye doğru 40°: +x’ten $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. “30° east of north” ise kuzeyden doğuya 30°: +x’ten $60^\circ$. Önce çiz, sonra bileşen al.

Birim vektörler (unit vectors)

$\hat i, \hat j, \hat k$ sırasıyla $x, y, z$ yönünde, büyüklüğü 1 olan, birimsiz vektörler. Her vektör bunlarla yazılır:

$\vec A = A_x\,\hat i + A_y\,\hat j + A_z\,\hat k$

Herhangi bir $\vec A$ yönündeki birim vektör: $\hat A = \vec A / A$.

Toplama, çıkarma, skalerle çarpma

Bileşen bileşen yapılır:

$\vec A \pm \vec B = (A_x \pm B_x)\,\hat i + (A_y \pm B_y)\,\hat j + (A_z \pm B_z)\,\hat k \qquad c\vec A = cA_x\,\hat i + cA_y\,\hat j + cA_z\,\hat k$

Örnek 2. $\vec A$: 30.0 m, $60.0^\circ$. $\vec B$: 20.0 m, $200^\circ$. $\vec R = \vec A + \vec B$?

Ax = 30.0 cos 60.0° = 15.0       Ay = 30.0 sin 60.0° = 26.0
Bx = 20.0 cos 200°  = -18.8      By = 20.0 sin 200°  = -6.84
Rx = 15.0 - 18.8    = -3.79      Ry = 26.0 - 6.84    = 19.1
R  = √(3.79² + 19.1²) = 19.5 m
tan⁻¹(19.1 / -3.79) = -78.8°  (hesap makinesi)
Rx < 0, Ry > 0 → II. bölge → θ = -78.8° + 180° = 101°

Sağduyu: $R$, $|A - B| = 10$ ile $A + B = 50$ arasında olmalı. 19.5 m uygun.

Nokta çarpım (dot / scalar product)

İki vektörden bir sayı üretir:

$\vec A\cdot\vec B = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$

Burada $\theta$ iki vektör arasındaki açı ($0$ ile $180^\circ$). Birim vektör kuralları: $\hat i\cdot\hat i = \hat j\cdot\hat j = \hat k\cdot\hat k = 1$, farklı ikililer sıfır.

Kullanım alanları:

• İki vektör arası açı: $\cos\theta = \dfrac{\vec A\cdot\vec B}{AB}$.
• Diklik testi: $\vec A\cdot\vec B = 0 \Leftrightarrow \vec A \perp \vec B$.
• İzdüşüm: $\vec A$‘nın $\vec B$ yönündeki bileşeni $\vec A\cdot\vec B / B$.
• İleride iş: $W = \vec F\cdot\Delta\vec r$ (10. hafta).

Örnek 3. $\vec a = 2\,\hat i + 3\,\hat j - \hat k$, $\vec b = \hat i - 2\,\hat j + 2\,\hat k$. Aradaki açı?

a·b = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = -6
|a| = √(4 + 9 + 1) = √14 = 3.742      |b| = √(1 + 4 + 4) = 3
cos θ = -6 / (3.742 × 3) = -0.5345    →   θ = 122.3°

İşaret bilgisi: nokta çarpım negatifse açı $90^\circ$‘den büyük. Şıklarda dar açıları hemen ele.

Çapraz çarpım (cross / vector product)

İki vektörden bir vektör üretir. Büyüklüğü:

$|\vec A\times\vec B| = AB\sin\theta$

Bu büyüklük, $\vec A$ ve $\vec B$‘nin oluşturduğu paralelkenarın alanıdır. Yönü iki vektöre de dik, sağ el kuralıyla (right-hand rule) bulunur: sağ elin parmakları $\vec A$‘dan $\vec B$‘ye kıvrılırken başparmak $\vec A\times\vec B$ yönünü gösterir.

Bileşen formülü:

$\vec A\times\vec B = (A_yB_z - A_zB_y)\,\hat i + (A_zB_x - A_xB_z)\,\hat j + (A_xB_y - A_yB_x)\,\hat k$

Ezber yerine döngü: $x \to y \to z \to x$. $\hat i$ bileşeni için “y z eksi z y”, $\hat j$ için “z x eksi x z”, $\hat k$ için “x y eksi y x”.

Birim vektörler: $\hat i\times\hat j = \hat k$, $\hat j\times\hat k = \hat i$, $\hat k\times\hat i = \hat j$. Ters sırada eksi gelir ($\hat j\times\hat i = -\hat k$). Aynı vektörle çarpım sıfır: $\hat i\times\hat i = 0$.

Örnek 4. $\vec A = 2\,\hat i + \hat j$, $\vec B = \hat i - 3\,\hat j + 2\,\hat k$. $\vec A = (2, 1, 0)$, $\vec B = (1, -3, 2)$.

î :  AyBz - AzBy = (1)(2) - (0)(-3)  =  2
ĵ :  AzBx - AxBz = (0)(1) - (2)(2)   = -4
k̂ :  AxBy - AyBx = (2)(-3) - (1)(1)  = -7
A × B = 2î - 4ĵ - 7k̂
kontrol: A·(A×B) = (2)(2) + (1)(-4) + 0 = 0   (dik, doğru)

İPUCU · dik kontrolü. Çapraz çarpımı bulduktan sonra sonucu $\vec A$ ile nokta çarp. Sıfır çıkmıyorsa bir işaret kaçmıştır. Bu test $\vec B\times\vec A$‘yı yakalayamaz (o da diktir), sırayı ayrıca kontrol et.

Sık yapılan hatalar