Fiktif kuvvetler ve direnç kuvvetleri

Bu hafta iki ayrı konu var ve ikisi de Newton’un ikinci yasasını yeni bir duruma taşıyor. İlki, gözlemcinin kendisi ivmelenirken ne olduğu: fiktif kuvvetler (fictitious forces). İkincisi, hızla büyüyen bir kuvvet olan sıvı ve hava direnci (resistive force) ve onun doğurduğu limit hız (terminal speed). Sınavda fiktif kuvvet daha çok kavram ve “sarkaç hangi açıda durur” sorusu olarak, direnç kuvveti ise limit hız ve üstel hız formülü olarak çıkar.

Altın kurallar:

1. Fiktif kuvvet ivmeye zıt yönde, $-m\vec a$. Yerden bakan için hiç yoktur.
2. İki bakış da aynı cevabı verir. Sınavda hangisi kolaysa onu seç, ama ikisini karıştırma.
3. Limit hızda ivme sıfır: direnç = ağırlık.
4. $R = bv$ ise $v_T = mg/b$; $R \propto v^2$ ise $v_T \propto \sqrt m$.

Eylemsiz olmayan sistemler

Newton yasaları sadece eylemsiz referans sistemlerinde (inertial frame) geçerlidir. İvmelenen bir arabanın, fren yapan otobüsün, dönen bir platformun içindeki gözlemci eylemsiz değildir (noninertial frame). Bu gözlemci $\sum \vec F = m\vec a$ yazmak isterse gerçek kuvvetlere bir fiktif kuvvet eklemek zorundadır:

$\vec F_{fiktif} = -m\vec a_{sistem}$

Fiktif kuvvetin kaynağı bir cisim değildir, bu yüzden etki-tepki çifti yoktur. Sadece hesabı kolaylaştıran bir düzeltme terimidir.

Kavramsal örnek. Otobüs ani fren yapınca öne savrulursun. Yerdeki gözlemci: “Otobüs yavaşladı, yolcu birinci yasaya göre aynı hızla gitmeye devam etti.” Otobüsteki gözlemci: “Beni öne iten bir kuvvet var.” İkisi de doğru tahmini yapar; sadece ikincisi fiktif kuvvet kullanır.

İvmeli araçta asılı cisim

Tavana asılı küçük bir kütle, $a$ ile ileri hızlanan bir kamyonda geriye doğru $\theta$ açısıyla durur.

Kamyondan bakış (denge): T sinθ = m a   (fiktif kuvvet geriye, gerilmenin yatayı ileriye)
                          T cosθ = m g
Böl: tanθ = a / g
Yerden bakış (ivmeli): T sinθ = m a, T cosθ = m g → aynı sonuç

Örnek 1. $a = 2.5\ \text{m/s}^2$.

tanθ = 2.5 / 9.80 = 0.255  →  θ = 14.3°
T = m √(a² + g²) = m · 10.1 m/s²   (ip, ağırlıktan biraz fazla gerilir)

Bu düzenek bir ivmeölçerdir (accelerometer): açıyı ölçersen ivmeyi bulursun.

Asansör, fiktif kuvvet gözüyle

6. haftadaki asansör sorusunu asansörün içinden de çözebilirsin. 60 kg’lık biri, 2.0 m/s² ile yukarı ivmelenen asansörde. Asansörün içinde kişi dengede; gerçek kuvvetler $N$ (yukarı) ve $mg$ (aşağı), fiktif kuvvet $ma$ ivmeye zıt, yani aşağı.

Denge: N - mg - m a = 0
N = m (g + a) = 60 (9.80 + 2.0) = 708 N
Fiktif kuvvetin büyüklüğü: m a = 60 · 2.0 = 120 N

Sonuç yerden bakışla aynı. Kişinin “ağır hissetmesi” bu ek 120 N’luk fiktif kuvvetin hissidir. Serbest düşen bir asansörde $a = g$ aşağı, fiktif kuvvet $mg$ yukarı, ağırlığı tam götürür: $N = 0$, ağırlıksızlık.

Dönen sistemler: merkezkaç ve Coriolis

$\omega$ açısal hızıyla dönen bir platformdaki gözlemci, merkezden $r$ uzakta dururken dışarı doğru bir kuvvet hisseder: merkezkaç kuvveti (centrifugal force).

$F_{cf} = m\omega^2 r = \frac{mv^2}{r}\quad(\text{dışarı doğru})$

Yerden bakınca durum farklı: kişi çemberde dönüyor ve onu merkeze çeken gerçek bir kuvvet (sürtünme, tutunduğu çubuk) var. Merkezkaç kuvveti eylemsiz sistemde yoktur. 8. haftada virajı yerden çözdüğümüz için orada merkezkaç kullanmadık.

Örnek 2. 50 kg’lık çocuk, 1.2 rad/s ile dönen platformun merkezinden 3.0 m uzakta.

Platformdan: F_cf = m ω² r = 50 · 1.44 · 3.0 = 216 N, dışarı
Kaymaması için statik sürtünme 216 N, içeri. μs ≥ 216 / (50 · 9.80) = 0.44

Dönen sistemde hareket eden cisme ayrıca Coriolis kuvveti (Coriolis force) etki eder; hıza dik, yana saptırır. Dönen platformda karşıya top atınca topun yolunun kıvrılması böyle açıklanır. Dünya’da büyük hava kütlelerinin dönmesi de bu etkidir. Bu derste genelde sadece kavram olarak sorulur.

TUZAK · iki bakışı karıştırmak. Yerden çözerken merkezkaç kuvvetini diyagrama ekleme. Eklersen kuvvetler dengelenir ve $\sum F = mv^2/r$ yerine $0$ yazarsın. Kural: ya yerden bak ve sadece gerçek kuvvetleri kullan, ya dönen sistemden bak ve fiktif kuvveti ekleyip denge yaz.

Direnç kuvvetleri

Sıvı ya da gaz içinde hareket eden cisme hıza zıt bir direnç kuvveti (resistive force) etki eder. Büyüklüğü hıza bağlıdır. İki model kullanılır.

Model 1: hızla orantılı direnç, $R = bv$

Küçük cisimler, yavaş hareket, yoğun sıvılar (yağ içindeki boncuk, toz tanesi). $b$ cismin boyutuna ve sıvıya bağlı sabit, birimi kg/s. Durgun bırakılan cisim için aşağıyı + al:

$mg - bv = m\frac{dv}{dt}$

Başta $v = 0$ ve $a = g$. Hız arttıkça direnç artar, ivme azalır. $a = 0$ olduğunda hız sabitlenir: limit hız (terminal speed).

$v_T = \frac{mg}{b},\qquad v(t) = v_T\left(1 - e^{-t/\tau}\right),\qquad \tau = \frac{m}{b}$

İvme de $a(t) = g\,e^{-t/\tau}$ olarak sıfıra iner. $\tau$ zaman sabitidir (time constant).

Örnek 3. $m = 10$ g, $b = 0.050$ kg/s, durgun bırakılıyor. $v_T$, $\tau$ ve $t = 0.30$ s’deki hız?

m = 0.010 kg  (gram → kilogram!)
v_T = m g / b = 0.010 · 9.80 / 0.050 = 1.96 m/s
τ = m / b = 0.010 / 0.050 = 0.20 s
v(0.30) = 1.96 (1 - e^(-0.30/0.20)) = 1.96 (1 - e^(-1.5)) = 1.52 m/s
a(0.30) = 9.80 e^(-1.5) = 2.19 m/s²

TUZAK · üstte birim kalması. $e^{-t}$ yazarsan üstte saniye kalır; üs her zaman boyutsuz olmalı. Doğrusu $e^{-t/\tau}$. $\tau$‘yu $b/m$ yazarsan birimi s⁻¹ olur, yine yanlış.

Model 2: hızın karesiyle orantılı direnç

Gündelik boyutta ve hızda hareket eden cisimler (paraşütçü, top, araba) için hava direnci:

$R = \tfrac12 D\rho A v^2$

$D$ birimsiz sürüklenme katsayısı (drag coefficient), $\rho$ hava yoğunluğu (yaklaşık 1.20 kg/m³), $A$ harekete dik kesit alanı. Limit hızda $R = mg$:

$v_T = \sqrt{\frac{2mg}{D\rho A}}$

Herhangi bir anda: $a = g - \dfrac{D\rho A v^2}{2m} = g\left(1 - \dfrac{v^2}{v_T^2}\right)$.

Örnek 4. 0.45 kg’lık top, $D = 0.50$, $A = 0.038\ \text{m}^2$.

v_T = √(2 · 0.45 · 9.80 / (0.50 · 1.20 · 0.038))
    = √(8.82 / 0.0228) = √386.8 = 19.7 m/s

Paraşüt açılınca $A$ ve $D$ çok büyür, $v_T$ birkaç m/s’ye düşer. Kütle 4 katına çıkarsa $v_T$ 2 katına çıkar ($\sqrt m$); $R = bv$ modelinde ise 4 katına çıkardı.

Örnek 5. 80 kg’lık paraşütçünün limit hızı 43.2 m/s (sorulardaki değerlerle). 30 m/s hıza ulaştığı anda ivmesi?

a = g (1 - v² / v_T²) = 9.80 (1 - 900 / 1867) = 9.80 · 0.518 = 5.08 m/s²

İvme $g$‘den başlayıp sürekli azalır ve limit hızda sıfır olur. Bu yüzden $v$–$t$ grafiği önce $g$ eğimiyle yükselen, sonra $v_T$‘de yataylaşan bir eğridir. $a$–$t$ grafiği ise $g$‘den sıfıra inen bir eğridir. Grafik sorularında bu iki şekli tanı.

İPUCU · hangi model? Soru $b$ veriyorsa $R = bv$, $D$, $\rho$ ve $A$ veriyorsa $v^2$ modeli. Üstel $e^{-t/\tau}$ formülü sadece $R = bv$ için geçerli.

Sık yapılan hatalar