Momentum, impuls ve çarpışmalar

Bu haftaya kadar hep tek bir cismin hareketini inceledin. Momentum (linear momentum), iki ya da daha fazla cismin etkileştiği durumlar için en güçlü araçtır. Çarpışmada kuvvetler çok kısa sürede, çok büyük ve karmaşık biçimde değişir. Onları bilmeden de çarpışmadan önce ve sonra ne olduğunu bulabilirsin. Çünkü dış kuvvet yoksa toplam momentum değişmez.

Altın kurallar:

1. $\vec p = m\vec v$. Vektördür, işaret ve bileşen önemli.
2. Dış kuvvet yoksa toplam momentum korunur. Bütün çarpışmalarda (esnek ya da değil).
3. Kinetik enerji sadece esnek çarpışmada korunur.
4. İki boyutta x ve y bileşenleri ayrı ayrı korunur.

Doğrusal momentum

Bir cismin momentumu kütlesi ile hızının çarpımıdır:

$\vec p = m\vec v \qquad [p] = \text{kg}\cdot\text{m/s}$

Newton aslında ikinci yasayı momentumla yazmıştı:

$\sum\vec F = \frac{d\vec p}{dt}$

Kütle sabitse bu $m\vec a$‘ya eşittir. Ama momentum biçimi daha geneldir, roket gibi kütlesi değişen sistemlerde de geçerlidir.

Momentumun korunumu

İki cisim çarpıştığında 1’in 2’ye uyguladığı kuvvet, 2’nin 1’e uyguladığına eşit ve zıttır (Newton 3). O yüzden momentum değişimleri de eşit ve zıttır, toplamları sıfırdır. Dış kuvvetin olmadığı (ya da ihmal edildiği) sisteme izole sistem (isolated system) denir:

$\vec p_{1i} + \vec p_{2i} = \vec p_{1f} + \vec p_{2f}$

İPUCU · çarpışmada yerçekimi neden ihmal ediliyor? Çarpışma kuvvetleri ağırlıktan yüzlerce kat büyük ve çarpışma çok kısa sürer. Ağırlığın o kısa sürede yaptığı impuls ihmal edilebilecek kadar küçüktür.

İmpuls

Bir kuvvetin bir süre boyunca etkisine impuls (impulse) denir. İmpuls-momentum teoremi (impulse-momentum theorem):

$\vec J = \int \vec F\,dt = \Delta\vec p = m\vec v_f - m\vec v_i$

$\vec J = \vec F_{avg}\,\Delta t \qquad [J] = \text{N·s} = \text{kg·m/s}$

İmpuls, F-t grafiğinin altındaki alandır. Aynı momentum değişimini uzun sürede yaparsan kuvvet küçük olur. Hava yastığı, dizini bükerek yere inmek ve kask hep bu fikre dayanır.

Çözümlü örnek 1. 0.160 kg’lık top raketle karşılanıyor: 20.0 m/s ile geliyor, ters yönde 25.0 m/s ile gidiyor. Temas 4.00 ms. İmpuls ve ortalama kuvvet?

Topun gidiş yönü +:  v_i = -20.0 m/s,  v_f = +25.0 m/s
J = m (v_f - v_i) = 0.160 · (25.0 - (-20.0)) = 0.160 · 45.0 = 7.20 N·s
F_avg = J / Δt = 7.20 / 0.00400 = 1.80 × 10³ N

TUZAK · geri sekmede hızlar toplanır. Yön değiştiren cismin hız değişimi $25 - 20 = 5$ değil, $25 - (-20) = 45$ m/s. İşaretsiz yazan impulsu 9 kat küçük bulur.

Çarpışma türleri

Kayıp kinetik enerji ısıya, sese ve şekil değiştirmeye gider. Toplam enerji yine korunur, sadece mekanik enerji korunmaz.

Tam esnek olmayan çarpışma

Cisimler yapışıp birlikte hareket eder:

$m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = (m_1 + m_2)v_f$

Çözümlü örnek 2 (balistik sarkaç). 10.0 g’lık mermi 400 m/s ile asılı 2.00 kg tahta bloğa saplanıyor. Blok ne kadar yükselir?

Çarpışma (momentum):  0.0100 · 400 = 2.01 · v   →  v = 1.99 m/s
Kinetik enerji: önce 800 J, sonra ½ · 2.01 · 1.99² = 3.98 J (çoğu ısı oldu)
Yükselme (enerji, çarpışmadan SONRA):  v² = 2 g h  →  h = 1.99² / 19.6 = 0.202 m

İki aşamayı ayır. Çarpışma anında enerji korunmaz, sadece momentum. Sonraki salınımda mekanik enerji korunur.

Bir boyutta esnek çarpışma

Momentum ve kinetik enerji birlikte korunur. $m_2$ duruyorsa:

$v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} \qquad v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i}$

Genel durumda kareli enerji denklemi yerine şu doğrusal ilişkiyi kullan: $v_{1i} - v_{2i} = -(v_{1f} - v_{2f})$. Yaklaşma hızı, ayrılma hızına eşittir.

Çözümlü örnek 3. 2.00 kg’lık top 5.00 m/s ile duran 3.00 kg’lık topa esnek çarpıyor.

v1f = (2 - 3)/(2 + 3) · 5.00 = -1.00 m/s   (hafif olan geri sekti)
v2f = 2·2/(2 + 3) · 5.00 = +4.00 m/s
Kontrol, K: ½·2·1² + ½·3·4² = 1 + 24 = 25 J = ½·2·5²  ✓

Özel durumlar: eşit kütlelerde hızlar değiş tokuş edilir. Çok ağır hedefe ($m_2 \gg m_1$) çarpan geri aynı süratle seker. Çok hafif hedefe çarpan ağır cisim neredeyse yavaşlamaz, hafif olan $2v$ ile fırlar.

İki boyutta çarpışma

Momentum bir vektör olduğu için x ve y bileşenleri ayrı ayrı korunur:

$\sum p_{x,i} = \sum p_{x,f} \qquad \sum p_{y,i} = \sum p_{y,f}$

Çözümlü örnek 4. 0.300 kg’lık disk $+x$ yönünde 4.00 m/s ile gidiyor ve duran özdeş bir diske sıyırarak çarpıyor (glancing collision). İlk disk $+x$‘ten $37.0^\circ$ yukarı 3.20 m/s ile ayrılıyor. İkinci diskin hızı?

x:  0.300·4.00 = 0.300·3.20·cos37 + 0.300·v2x  →  v2x = 4.00 - 2.556 = 1.44 m/s
y:  0 = 0.300·3.20·sin37 + 0.300·v2y           →  v2y = -1.93 m/s
v2 = √(1.44² + 1.93²) = 2.41 m/s,  açı = atan(-1.93/1.44) = -53.1° (x'in altında)

İki diskin yönleri arası açı $37.0 + 53.1 = 90^\circ$. Eşit kütleler esnek sıyırma çarpışmasında hep dik açıyla ayrılır.

TUZAK · açıyı hızlardan bulmak. Yapışan iki araba için yön $\tan^{-1}(p_y/p_x)$‘tir. Kütleler farklıysa $\tan^{-1}(v_y/v_x)$ yanlış açı verir.

Çarpışma esnek mi? Test et

Sınavda bazen çarpışmadan önceki ve sonraki hızlar verilir ve “esnek mi” diye sorulur. Önce momentumu kontrol et (her zaman korunmalı), sonra kinetik enerjiyi karşılaştır.

Çözümlü örnek 5. 0.500 kg’lık top 4.00 m/s ile duran 1.00 kg’lık topa çarpıyor. Sonra hafif top $-1.00$ m/s, ağır top $+2.50$ m/s ile gidiyor.

Momentum önce:  0.500 · 4.00               = 2.00 kg·m/s
Momentum sonra: 0.500·(-1.00) + 1.00·2.50  = 2.00 kg·m/s   ✓ korundu
K önce:  ½ · 0.500 · 4.00²                 = 4.00 J
K sonra: ½·0.500·1.00² + ½·1.00·2.50²      = 0.250 + 3.125 = 3.375 J
Kayıp: 0.625 J  →  esnek olmayan çarpışma

Momentum korunmuyorsa hızlar fiziksel olarak imkânsızdır ya da dış bir kuvvet vardır. Kinetik enerji artmışsa da bir hata vardır (patlama hariç, orada iç enerji kinetiğe döner).

Hangi denklemi kullanacağım?

Sık yapılan hatalar