PHY1002 · 6. hafta · Electric Potential: Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges, Obtaining the Value of the Electric Field From the Electric Potential.

Nokta yüklerin potansiyeli, potansiyel enerji ve V'den E

V = kq/r ile skaler toplama, yük sistemlerinin potansiyel enerjisi ve E = −∇V ile potansiyelden alana geçiş.

electric potential of a point chargesuperpositionelectric potential energy of a systemwork done by an external agentpotential gradientpartial derivativedistance of closest approach

Geçen hafta düzgün alanda potansiyeli gördün. Bu hafta kaynağa iniyorsun: nokta yükün potansiyeli. Bu konunun güzel tarafı şu: alan sorularında vektör bileşenleriyle uğraşırken burada sadece işaretli sayıları toplarsın. Sınavda üç kalıp çıkar: birkaç yükün bir noktada oluşturduğu potansiyel, bir yük sisteminin potansiyel enerjisi (ya da onu kurmak için gereken iş) ve verilen $V(x,y,z)$ fonksiyonundan alanı türetmek.

Altın kurallar:

$V = kq/r$ , yükün işaretiyle. Negatif yükün potansiyeli negatiftir.
Potansiyeller skaler toplanır. Açı, bileşen, $\cos\theta$ yok.
Çift enerjisi $U = kq_1q_2/r_{12}$ . Sistemde her çift bir kez sayılır.
$\vec E = -\nabla V$ . Alan, potansiyelin en hızlı düştüğü yönü gösterir.
Formülde $r$ var, $r^2$ yok. $r^2$ alanın formülünde.

Nokta yükün potansiyeli

$q$ nokta yükünün alanı radyal: $E = kq/r^2$ . Bunu sonsuzdan $r$ noktasına kadar integre edip $V(\infty) = 0$ seçince:

$V(r) = -\int_\infty^r \frac{kq}{r'^2}\,dr' = \frac{kq}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$

Sabitler: $k = 8.99\times10^{9}\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ , $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N·m}^2)$ .

Potansiyel $1/r$ ile azalır, alan $1/r^2$ ile. Aynı noktada ikisini birden biliyorsan tek yük için $E = V/r$ kısayolu var.

Süperpozisyon (superposition)

Birden fazla yük varsa her birinin potansiyelini ayrı hesapla, işaretli olarak topla:

$V_P = k\sum_i \frac{q_i}{r_i}$

$r_i$ , $i$ . yükten P noktasına olan uzaklıktır, her zaman pozitif. İşareti yük taşır.

TUZAK · Potansiyeli vektör gibi toplamak. Karenin köşelerindeki dört eşit yük merkezde alanı sıfırlar (simetri), potansiyeli sıfırlamaz. Dört pozitif katkı toplanır: $V = 4kq/r$ . Potansiyelde yön yok, iptal sadece zıt işaretli yükler arasında olur.

Yük sistemlerinin potansiyel enerjisi

$q_1$ yükü sabitken $q_2$ ‘yi sonsuzdan $r_{12}$ uzaklığına getirmek için dış etkenin yaptığı iş $W = q_2 V_1 = k q_1 q_2 / r_{12}$ . Bu iş çiftin potansiyel enerjisi olarak saklanır:

$U = \frac{k\,q_1 q_2}{r_{12}}$

Aynı işaretli yükler: $U > 0$ . Onları yaklaştırmak için iş harcadın; serbest bırakınca birbirini iter, enerji kinetiğe döner.
Zıt işaretli yükler: $U < 0$ . Sistem bağlı; ayırmak için iş gerekir.

Üç ya da daha fazla yük için her çift bir kez sayılır:

$U = k\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_1q_3}{r_{13}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$

$n$ yükte $n(n-1)/2$ çift vardır: 3 yükte 3, 4 yükte 6.

İPUCU · Bir yükü eklemek. Mevcut sisteme yeni bir $q$ yükü getirmenin işi, o noktadaki diğer yüklerin potansiyeli çarpı $q$ ‘dur: $W = qV_P$ . Yeni sistem enerjisi = eski enerji + $qV_P$ . Bütün çiftleri baştan yazmana gerek yok.

Potansiyelden alanı bulmak

$dV = -\vec E\cdot d\vec s$ ilişkisini tersine çevirirsen alanı potansiyelin türevi olarak bulursun:

$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \qquad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \qquad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}, \qquad \vec E = -\nabla V$

Kısmi türev (partial derivative): $x$ ‘e göre türev alırken $y$ ve $z$ ‘yi sabit say. Küresel simetride tek değişken yeter: $E_r = -dV/dr$ . Kontrol: $V = kq/r$ için $-dV/dr = kq/r^2$ , doğru.

Sonuçlar:

Alan, potansiyelin azaldığı yönü gösterir (eksi işaret bu yüzden var).
$V$ sabitse (eşpotansiyel bölge, iletkenin içi) $\vec E = 0$ .
$V$ ‘nin bir noktadaki değeri alanı belirlemez, eğimi belirler.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. İki yük, bir nokta. $q_1 = +3.0$ nC orijinde, $q_2 = -5.0$ nC $(0.40, 0)$ m’de. P noktası $(0, 0.30)$ m. P’deki potansiyel?

r1 = 0.30 m
r2 = kök(0.40² + 0.30²) = 0.50 m
V1 = (8.99e9)(3.0e-9)/0.30 = +89.9 V
V2 = (8.99e9)(-5.0e-9)/0.50 = -89.9 V
VP = V1 + V2 = 0 V

İlginç: potansiyel sıfır ama alan sıfır değil. Bileşenlerle hesaplarsan $E_x = 144$ V/m, $E_y = 192$ V/m, $|\vec E| = 240$ V/m çıkar. $V = 0$ demek “alan yok” demek değil.

Örnek 2. Üç yüklü sistem. Aynı iki yüke ek olarak $q_3 = +4.0$ nC’yi P noktasına getir. (a) Gereken iş? (b) Sistemin toplam enerjisi?

(a) W = q3 · VP = (4.0e-9)(0) = 0 J
(b) U12 = k(3.0e-9)(-5.0e-9)/0.40 = -3.37e-7 J
    U13 = k(3.0e-9)(4.0e-9)/0.30 = +3.60e-7 J
    U23 = k(-5.0e-9)(4.0e-9)/0.50 = -3.60e-7 J
    U = -3.37e-7 J

Kontrol: $U_{13} + U_{23} = q_3V_P = 0$ , yani yeni yük sisteme enerji eklemedi. İpucundaki kısayol tutarlı.

Örnek 3. Potansiyel fonksiyonundan alan. $V(x,y) = 3.0x^2y + 2.0y^2$ (V, m). $(1.0, 2.0)$ m’deki alan?

∂V/∂x = 6.0xy        -> Ex = -6.0(1.0)(2.0) = -12 V/m
∂V/∂y = 3.0x² + 4.0y -> Ey = -(3.0 + 8.0)  = -11 V/m
|E| = kök(12² + 11²) = 16.3 V/m

Eksi işareti unutursan yön ters çıkar; büyüklük aynı kalır ama bileşen sorusunda puan gider.

Örnek 4. İtişten hıza. İki pozitif yük sabit tutulup serbest bırakılırsa başlangıçtaki $U$ tamamen kinetik enerjiye döner. Kütleler eşitse momentum korunumu gereği hızlar eşit, enerji iki parçacığa eşit dağılır. Kütleler farklıysa önce momentum korunumu ( $m_1v_1 = m_2v_2$ ), sonra enerji denklemi.

Örnek 5. Dipol (electric dipole). $+4.0$ nC yük $(0.10, 0)$ m’de, $-4.0$ nC yük $(-0.10, 0)$ m’de. (a) Eksen üzerinde $x = 0.30$ m’deki potansiyel? (b) Dik ortay (perpendicular bisector) üzerindeki $(0, 0.25)$ m noktasında potansiyel?

(a) r+ = 0.30 - 0.10 = 0.20 m,   r- = 0.30 + 0.10 = 0.40 m
    V = k(4.0e-9)(1/0.20 - 1/0.40) = (35.96)(2.5) = 89.9 V
(b) r+ = r- = kök(0.10² + 0.25²) = 0.269 m
    V = kq/r - kq/r = 0 V

Dipolün dik ortay düzlemi baştan sona $V = 0$ eşpotansiyelidir. Ama orada alan sıfır değil: pozitiften negatife doğru, eksene paralel bakar. Eşpotansiyel yüzeyler alan çizgilerine dik; dipol resminde bunu görürsün.

Örnek 6. $V = 0$ noktalarını bulmak. $+4.0$ nC $x = 0$ ‘da, $-1.0$ nC $x = 0.30$ m’de. Eksen üzerinde $V = 0$ olan noktalar?

Aradaki bölge (0 < x < 0.30):  4.0/x = 1.0/(0.30 - x)  ->  x = 0.24 m
Sağ bölge (x > 0.30):          4.0/x = 1.0/(x - 0.30)  ->  x = 0.40 m
Sol bölge (x < 0): büyük yük daha yakın, toplam hep pozitif -> çözüm yok

Kural: $V = 0$ noktaları her zaman küçük yüke yakın yerdedir, çünkü küçük yükün katkısının büyüğünkiyle eşitlenmesi için ona daha yakın olman gerekir. Alanın sıfır olduğu noktayla karıştırma: alanda kareler girer ( $1/r^2$ ), potansiyelde girmez ( $1/r$ ). Alan için aradaki bölgede çözüm bile olmayabilir, çünkü zıt yüklerin alanları aradaki bölgede aynı yöne bakar.

Sınavda çözüm stratejisi

Koordinatları kağıda çiz. Her yükten noktaya uzaklığı Pisagor ile bul ve yanına yaz.
Birimleri baştan çevir. nC ve cm sınavdaki en sık puan kaybı.
Potansiyel sorusunda tablo kur: yük, uzaklık, $kq/r$ . Sonra işaretli topla.
Enerji sorusunda çiftleri listele. 3 yük: 12, 13, 23. 4 yük: 12, 13, 14, 23, 24, 34. Eksik ya da fazla çift sayma.
İş sorusunda kimin işi soruluyor, bak. Dış etken: $W = q\Delta V$ . Alan: $W = -q\Delta V$ .
$V(x,y)$ verilirse her değişkene göre ayrı türev al, eksi koy, sonra noktayı yerine yaz. Türevi almadan noktayı yerine koyma.

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
$V = kq/r^2$	$V = kq/r$ ; $r^2$ alanda
Potansiyelleri açıyla/bileşenle toplamak	Skaler toplam, sadece işaretler
Negatif yükün potansiyelini pozitif almak	$q$ işaretiyle girer
Üç yükte tek çift ya da altı çift saymak	Her çift bir kez: 3 çift
$V = 0$ ise $E = 0$	Alan potansiyelin eğimine bağlı
$E_x = +\partial V/\partial x$	Eksi işaret: $E_x = -\partial V/\partial x$
Kare merkezine uzaklık $a$	$a/\sqrt2$
Serbest bırakılan iki özdeş yükte tüm enerji birine	Enerji eşit bölünür
nC ve μC’yi çevirmeden yazmak	$1\ \text{nC} = 10^{-9}$ C, $1\ \mu\text{C} = 10^{-6}$ C

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

What is the electric potential at a distance of 0.25 m from a point charge of $+4.0$ nC? (Take $V = 0$ at infinity.)

36 V
144 V
575 V
−144 V
1.4 × 10¹¹ V

Cevabı göster

B) 144 V

$V = \dfrac{kq}{r} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(4.0\times10^{-9})}{0.25} = 144$ V.
575 V, $r^2$ ile bölmektir (o alanın formülü).

Soru 2orta

Four point charges sit at the corners of a square of side 0.10 m: three of them are $+2.0$ nC and one is $-2.0$ nC. What is the electric potential at the center of the square?

0 V
254 V
509 V
1.0 × 10³ V
360 V

Cevabı göster

C) 509 V

Her köşe merkeze $r = a/\sqrt2 = 0.0707$ m uzaklıkta.
Potansiyel skaler: $V = \dfrac{k}{r}\sum q = \dfrac{(8.99\times10^{9})(2+2+2-2)\times10^{-9}}{0.0707} = 509$ V.
360 V, $r$ yerine $a$ kullanmaktır. Vektör gibi iptal ettirip 0 bulmak da yanlış.

Soru 3kolay

A $+3.0\ \mu\text{C}$ charge and a $-4.0\ \mu\text{C}$ charge are 0.20 m apart. What is the electric potential energy of this pair?

+0.54 J
−0.54 J
−2.7 J
−0.11 J
−5.4 × 10⁵ J

Cevabı göster

B) −0.54 J

$U = \dfrac{k q_1 q_2}{r} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(-4.0\times10^{-6})}{0.20} = -0.539$ J.
Negatif: zıt yükler birbirini çeker, ayırmak için dışarıdan iş gerekir.
−2.7 J, $r^2$ ile bölmektir.

Soru 4orta

Three identical charges of $+2.0\ \mu\text{C}$ are placed at the corners of an equilateral triangle of side 0.30 m. How much work is required to assemble this configuration, starting with the charges infinitely far apart?

0.12 J
0.24 J
0.36 J
1.2 J
0 J

Cevabı göster

C) 0.36 J

Üç çift var, hepsi aynı mesafede: $U = 3\cdot\dfrac{kq^2}{s}$ .
Bir çift: $\dfrac{(8.99\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30} = 0.120$ J. Toplam: $3(0.120) = 0.360$ J.
0.12 J tek çifti, 0.24 J iki çifti saymaktır.

Soru 5orta

Using the square of Question 2 (side 0.10 m, charges $+2.0, +2.0, +2.0, -2.0$ nC), how much work must an external agent do to bring a $+1.0$ nC charge from infinity to the center?

5.1 × 10⁻⁷ J
−5.1 × 10⁻⁷ J
509 J
2.5 × 10⁻⁷ J
0 J

Cevabı göster

A) 5.1 × 10⁻⁷ J

$W_{\text{dış}} = q\,(V_{\text{merkez}} - V_\infty) = (1.0\times10^{-9})(509 - 0) = 5.09\times10^{-7}$ J.
Pozitif yükü pozitif potansiyelli noktaya getirmek pozitif iş ister.

Soru 6zor

The electric potential in a region is $V(x, y) = 2.0x^2 - 4.0xy + y^3$ , with $V$ in volts and $x, y$ in meters. What is the magnitude of the electric field at the point $(2.0, 1.0)$ m?

4.0 V/m
5.0 V/m
6.4 V/m
9.0 V/m
1.0 V/m

Cevabı göster

C) 6.4 V/m

$E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x} = -(4.0x - 4.0y) = -(8.0 - 4.0) = -4.0$ V/m. $E_y = -\dfrac{\partial V}{\partial y} = -(-4.0x + 3y^2) = -(-8.0 + 3.0) = +5.0$ V/m. $|\vec E| = \sqrt{4.0^2 + 5.0^2} = 6.40$ V/m.
9.0 V/m bileşenleri karekök almadan toplamaktır; 1.0 V/m işaretle toplamaktır.

Soru 7zor

Two small identical spheres, each of mass 2.0 g and charge $+0.50\ \mu\text{C}$ , are held 0.10 m apart and then released. Ignoring gravity, what is the speed of each sphere when they are very far apart?

Cevabı göster

3.4 m/s

Başlangıç enerjisi: $U_i = \dfrac{kq^2}{r} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(0.50\times10^{-6})^2}{0.10} = 0.0225$ J. Sonsuzda $U_f = 0$ .
Momentum korunur, küreler özdeş: hızları eşit, enerji yarı yarıya bölünür. $2\cdot\tfrac12 m v^2 = U_i \Rightarrow v = \sqrt{U_i/m} = \sqrt{0.0225/0.0020} = 3.35$ m/s.
Enerjinin tamamını tek küreye verirsen 4.7 m/s bulursun.

Soru 8orta

A $+2.0$ nC charge is at $x = 0$ and a $-6.0$ nC charge is at $x = 0.80$ m. At what point between the two charges is the electric potential zero?

x = 0.20 m
x = 0.40 m
x = 0.60 m
x = 0.29 m
There is no such point between them

Cevabı göster

A) x = 0.20 m

$\dfrac{k(2.0)}{x} + \dfrac{k(-6.0)}{0.80 - x} = 0 \Rightarrow 2.0(0.80 - x) = 6.0x \Rightarrow x = 0.20$ m.
Sıfır noktası küçük yüke yakın olur. Aynı doğruda ikinci bir sıfır noktası $x = -0.40$ m'de var ama o aralığın dışında.
0.29 m, alanın sıfır olduğu yeri arar gibi kareleri kullanmaktır.

Soru 9orta

At a certain point P, the electric potential is zero. Which statement must be true?

The electric field at P is zero.
No charges exist anywhere near P.
No work is needed to bring a test charge from infinity to P.
The electric field at P points toward infinity.
A charge placed at P experiences no force.

Cevabı göster

C) No work is needed to bring a test charge from infinity to P.

$W = q(V_P - V_\infty) = q(0 - 0) = 0$ . Bu kesin.
Alan potansiyelin değeriyle değil, değişim hızıyla ilgilidir: $\vec E = -\nabla V$ . $V = 0$ olan noktada alan sıfır olmak zorunda değil (zıt yüklerin oluşturduğu sistemlerde genelde sıfır değildir).

Soru 10orta

At a distance of 0.50 m from a point charge, the potential is 600 V. What is the magnitude of the electric field at that point?

300 V/m
1200 V/m
2400 V/m
600 V/m
150 V/m

Cevabı göster

B) 1200 V/m

$V = kq/r$ ve $E = kq/r^2$ , dolayısıyla $E = V/r = 600/0.50 = 1200$ V/m.
Bu kısayol sadece tek bir nokta yük için geçerli. 300 V/m, $r$ ile çarpmaktır.

Soru 11zor

A proton with kinetic energy 2.0 MeV is fired directly at a fixed nucleus of charge $+50e$ . Find the distance of closest approach.

Cevabı göster

3.6 × 10⁻¹⁴ m

En yakın noktada proton anlık durur: tüm kinetik enerji potansiyel enerjiye döner. $K = \dfrac{k(e)(50e)}{r_{\min}} \Rightarrow r_{\min} = \dfrac{k\,(50e)\,e}{K}$ . $K = 2.0\times10^{6}$ eV $= 2.0\times10^{6}\,e$ J olduğundan bir $e$ sadeleşir: $r_{\min} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(50)(1.60\times10^{-19})}{2.0\times10^{6}} = 3.6\times10^{-14}$ m.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar node ile hesaplandı (verify/PHY1002/06.mjs): potansiyeller koordinatlardan skaler toplamla, sistem enerjisi tüm çiftler üzerinden döngüyle, E = −∇V merkezi farkla sayısal türev alınarak, V = 0 noktaları ikiye bölme (bisection) yöntemiyle.

Deftere not kartı

Nokta yük: V = kq/r (sonsuzda 0, q işaretiyle!) E = kq/r^2 -> E = V/r Çok yük: V = k Σ qi/ri SKALER toplam, bileşen yok Çift enerjisi: U = k q1 q2 / r12 (zıt yük -> U < 0) Sistem: U = Σ (her çift bir kez) 3 yük -> 3 çift, 4 yük -> 6 çift Yük getirme işi: W = q (Vson - Vilk) = q V(nokta) (sonsuzdan) Serbest bırakma: Ui = Kf (momentum korunur; özdeşlerde enerji yarı yarıya) En yakın yaklaşım: K = k q Q / rmin E = -∇V: Ex = -∂V/∂x, Ey = -∂V/∂y, Ez = -∂V/∂z; radyal: Er = -dV/dr V = 0 olan yerde E sıfır olmak ZORUNDA DEĞİL; E = 0 yerde V sıfır olmak zorunda değil V = 0 noktası küçük yüke yakın (oran q1/r1 = -q2/r2) Kare merkezi r = a/kök2; eşkenar üçgen merkezi r = s/kök3 k = 8.99e9, μ = 1e-6, n = 1e-9