PHY1002 · 8. hafta · Capacitance and Dielectrics Ch 26, Definition of Capacitance, Calculating Capacitance, Combination of Capacitors

Kapasitans: düzlem, silindir, küre ve seri-paralel bağlama

Kapasitansın tanımı, üç klasik geometrinin C formülü ve kondansatör ağlarını adım adım indirgeme. Vizede neredeyse kesin bir devre sorusu buradan gelir.

capacitorcapacitancefaradparallel-plate capacitorcylindrical capacitorspherical capacitorequivalent capacitanceseries combinationparallel combination

Kondansatör (capacitor), elektrik yükünü ve dolayısıyla enerjiyi depolayan en basit devre elemanı. Bu hafta iki iş öğreniyorsun: bir geometrinin kapasitansını (capacitance) hesaplamak ve birden fazla kondansatörü tek bir eşdeğer kondansatöre indirgemek. Sınavda tipik soru şöyle: “Şu ağın eşdeğer kapasitansı nedir, $C_2$ üzerindeki yük nedir?” Bu tip soru +5 puandır ve yöntemi bilen biri için mekaniktir.

Altın kurallar:

$C = Q/\Delta V$ . Kapasitans yükün gerilime oranı. Q burada bir plakadaki yükün büyüklüğü (öbür plakada $-Q$ var).
C geometridir. Q’yu iki katına çıkarırsan V de iki katına çıkar, C değişmez.
Paralel: aynı gerilim, kapasitanslar toplanır. Seri: aynı yük, terslerin toplamı.
Batarya bağlıysa V sabit; batarya sökülmüşse Q sabit.
Birimleri metreye çevir. cm, mm, cm² hataları en çok puan kaybettiren şey.

Kondansatör ve kapasitansın tanımı

Kondansatör, aralarında yalıtkan (ya da boşluk) bulunan iki iletkenden oluşur. Bir bataryaya bağladığında batarya bir iletkenden elektron çekip diğerine iter. Sonuçta bir iletkende $+Q$ , diğerinde $-Q$ olur. Toplam yük sıfırdır ama arada bir potansiyel farkı $\Delta V$ oluşur.

Deneyle görülen şu: $Q$ ile $\Delta V$ birbirine orantılı. Orantı sabitine kapasitans denir:

$C = \frac{Q}{\Delta V}$

Birimi farad (F): $1\ \text{F} = 1\ \text{C/V}$ . Farad çok büyük bir birimdir. Pratikte $\mu\text{F} = 10^{-6}\ \text{F}$ , $\text{nF} = 10^{-9}\ \text{F}$ , $\text{pF} = 10^{-12}\ \text{F}$ görürsün.

İPUCU · C hep pozitif. $Q$ ve $\Delta V$ büyüklük olarak alınır. “Negatif kapasitans” gibi bir sonuç bulduysan işaret karıştırmışsın.

Kapasitans hesaplamanın reçetesi

Her geometride aynı dört adım var:

İletkenlere $+Q$ ve $-Q$ yükü ver.
Aradaki alanı $E$ Gauss yasasıyla bul.
$\Delta V = \int_a^b E\,dr$ ile potansiyel farkını hesapla (büyüklük olarak).
$C = Q/\Delta V$ . Q sadeleşir ve geriye sadece geometri kalır.

Q’nun sadeleşmesi, C’nin yükten bağımsız olduğunun matematiksel kanıtıdır.

Düzlem (paralel plakalı) kondansatör

Alanı $A$ olan iki paralel plaka, aralarında $d$ mesafesi (parallel-plate capacitor). Plakalar büyük ve yakınsa kenar etkileri ihmal edilir ve aradaki alan düzgündür. Yüzey yük yoğunluğu $\sigma = Q/A$ . Gauss yasasından (geçen haftalarda gördüğün iletken yüzeyi sonucu):

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}, \qquad \Delta V = E d = \frac{Q d}{\varepsilon_0 A}$

$C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$

Sezgi: alan büyükse daha fazla yük sığar, plakalar yakınsa aynı yük için gerilim düşük olur, yani C büyür.

Örnek 1. Plaka alanı $A = 4.0\times10^{-3}\ \text{m}^2$ , aralık $d = 1.5\ \text{mm}$ , hava. 12 V’luk bataryaya bağlanıyor. C, Q ve E nedir?

C = ε0 A / d = (8.85e-12)(4.0e-3) / (1.5e-3)
  = 2.36e-11 F = 23.6 pF
Q = C ΔV = (23.6 pF)(12 V) = 283 pC = 2.83e-10 C
E = ΔV / d = 12 / 1.5e-3 = 8.0e3 V/m

Silindirik kondansatör

Yarıçapı $a$ olan iç iletken silindir, yarıçapı $b$ olan dış iletken kabuk, uzunluk $\ell$ (cylindrical capacitor). Koaksiyel kablo budur. Birim uzunluk yükü $\lambda = Q/\ell$ . Gauss yüzeyi olarak $a < r < b$ arasında bir silindir seç:

$E = \frac{2k\lambda}{r}$

$\Delta V = \int_a^b \frac{2k\lambda}{r}\,dr = 2k\lambda\ln\frac{b}{a}$

$C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{\ell}{2k\ln(b/a)} = \frac{2\pi\varepsilon_0\,\ell}{\ln(b/a)}$

C uzunlukla doğru orantılı. Bu yüzden kablolarda genelde “birim uzunluk başına kapasitans” $C/\ell$ sorulur.

Örnek 2. $a = 0.50\ \text{mm}$ , $b = 2.0\ \text{mm}$ , $\ell = 0.80\ \text{m}$ .

ln(b/a) = ln 4 = 1.386
C = 0.80 / (2 · 8.99e9 · 1.386) = 0.80 / 2.49e10
  = 3.21e-11 F = 32.1 pF

TUZAK · ln ile log karışıyor. Hesap makinesinde log tuşu çoğunlukla 10 tabanlıdır. Formüldeki $\ln$ , doğal logaritma. $\log_{10} 4 = 0.602$ kullanırsan C’yi 2.3 kat büyük bulursun ve bu, şıklarda hazır bekleyen bir çeldiricidir.

Küresel kondansatör

İç küre yarıçapı $a$ , dış kabuk iç yarıçapı $b$ (spherical capacitor). Arada alan noktasal yük gibi: $E = kQ/r^2$ .

$\Delta V = \int_a^b \frac{kQ}{r^2}\,dr = kQ\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) = kQ\,\frac{b-a}{ab}$

$C = \frac{ab}{k(b-a)}$

Tek (yalıtılmış) küre. $b \to \infty$ alırsan $C = a/k = 4\pi\varepsilon_0 a$ . Yani tek başına duran bir iletken kürenin de kapasitansı var; “öbür plaka” sonsuzdadır. 20 cm yarıçaplı bir küre için bu sadece 22 pF.

Örnek 3. $a = 4.0\ \text{cm}$ , $b = 6.0\ \text{cm}$ .

C = ab / (k(b-a)) = (0.04)(0.06) / (8.99e9 · 0.02)
  = 2.4e-3 / 1.798e8 = 1.34e-11 F = 13.4 pF

Geometri	Alan (arada)	$\Delta V$	$C$
Düzlem	$\sigma/\varepsilon_0$	$Qd/(\varepsilon_0 A)$	$\varepsilon_0 A/d$
Silindir	$2k\lambda/r$	$2k\lambda\ln(b/a)$	$\ell/[2k\ln(b/a)]$
Küre	$kQ/r^2$	$kQ(b-a)/(ab)$	$ab/[k(b-a)]$
Tek küre	$kQ/r^2$ ( $r>R$ )	$kQ/R$	$R/k$

Kondansatörleri bağlama

Devre şemasında kondansatör iki kısa paralel çizgiyle gösterilir. Birden fazla kondansatörü tek bir eşdeğer kapasitansa (equivalent capacitance) indirgeyebilirsin.

Paralel bağlama

Her kondansatörün iki ucu aynı iki noktaya bağlıdır (parallel combination). Bu yüzden:

Gerilimler aynı: $\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V$ .
Yükler toplanır: $Q = Q_1 + Q_2$ .

$C_{eq}\,\Delta V = C_1\Delta V + C_2\Delta V \quad\Rightarrow\quad C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots$

Sezgi: paralel bağlamak plaka alanını büyütmek gibidir.

Seri bağlama

Kondansatörler uç uca, aralarında başka yol yok (series combination). Bataryadan bakınca sadece en dış plakalara yük gelir. Ortadaki plakalar tek bir yalıtılmış iletken parçasıdır, toplam yükleri sıfır kalır, bu yüzden indüksiyonla aynı $Q$ bölünür:

Yükler aynı: $Q_1 = Q_2 = Q$ .
Gerilimler toplanır: $\Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2$ .

$\frac{Q}{C_{eq}} = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots$

İki kondansatör için kısa yol: $C_{eq} = \dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ . $n$ özdeş kondansatör seri: $C/n$ .

TUZAK · Dirençlerle ters. Kondansatörlerde paralel toplanır, seri terslerle toplanır. Dirençlerde tam tersi. 13. haftada dirençleri görünce karıştırma.

İPUCU · Hızlı kontrol. Seri eşdeğer en küçük kondansatörden küçük, paralel eşdeğer en büyükten büyük olmalı. Şıklarda bu kuralı bozan değeri hemen ele.

Çözümlü ağ örneği

Örnek 4. $C_2 = 2.0\ \mu\text{F}$ ile $C_3 = 6.0\ \mu\text{F}$ paralel. Bu çift $C_1 = 4.0\ \mu\text{F}$ ile seri. Uçlara 12 V uygulanıyor. Her kondansatörün yükü ve gerilimi nedir?

Yöntem: içten dışa indirge, sonra dıştan içe geri aç.

1) Paralel çift:   C23 = 2.0 + 6.0 = 8.0 μF
2) Seri:           Ceq = (4.0 · 8.0)/(4.0 + 8.0) = 2.67 μF
3) Toplam yük:     Q = Ceq · V = 2.67 · 12 = 32 μC
4) Seri elemanlar aynı Q taşır:  Q1 = Q23 = 32 μC
5) Gerilimler:     V1 = 32/4.0 = 8.0 V,   V23 = 32/8.0 = 4.0 V
   kontrol:        8.0 + 4.0 = 12 V
6) Paralel içi aynı V:  Q2 = 2.0 · 4.0 = 8.0 μC,  Q3 = 6.0 · 4.0 = 24 μC
   kontrol:        8.0 + 24 = 32 μC

Her adımın sonunda bir kontrol yaptık: seride gerilimlerin toplamı kaynak gerilimine, paralelde yüklerin toplamı gelen yüke eşit. Sınavda bu iki kontrol hatayı bulmanın en hızlı yolu.

Batarya bağlı mı, sökülmüş mü?

Bir kondansatörün geometrisini değiştiren sorularda (plakaları ayırma, aralarına madde koyma) ilk iş durumu belirlemek:

Durum	Sabit kalan	$d$ iki katına çıkınca
Batarya bağlı	$\Delta V$	$C$ yarı, $Q$ yarı, $E = V/d$ yarı
Batarya sökülmüş	$Q$	$C$ yarı, $\Delta V$ iki kat, $E$ aynı

Yük paylaşımı

Şarj edilmiş ve bataryadan sökülmüş bir kondansatörü boş bir kondansatöre bağlarsan yük iki kondansatöre dağılır, ta ki gerilimler eşitlenene kadar. Toplam yük korunur:

$V_{son} = \frac{Q_0}{C_1 + C_2}$

Bu sırada enerji korunmaz; kayıp bir kısım tellerde ısıya ve ışımaya gider. Enerjiyi 9. haftada hesaplayacağız.

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
Q artınca C artar	C geometriye bağlı; Q artınca V artar, C sabit
Seri kondansatörlerde $C_{eq} = C_1 + C_2$	Bu paralel. Seri: $1/C_{eq} = 1/C_1 + 1/C_2$
$1/C_{eq}$ bulup cevap olarak yazmak	Sonunda tersini al
Serideki her kondansatörde farklı Q	Seride Q aynı, gerilimler farklı
Paraleldeki her kondansatörde farklı V	Paralelde V aynı, yükler farklı
$d = 0.50$ mm’yi $0.50\times10^{-2}$ m almak	mm $\to 10^{-3}$ m, cm² $\to 10^{-4}$ m²
Silindirde $\log_{10}$ kullanmak	Formül doğal logaritma $\ln$
Küreyi $ab/(kb)$ ile hesaplamak	Payda $k(b-a)$
Batarya söküldükten sonra V sabit sanmak	Sökülünce Q sabit, V değişir

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

A $6.0\ \mu\text{F}$ capacitor is connected to a $9.0\ \text{V}$ battery. What is the magnitude of the charge on each plate?

0.67 μC
1.5 μC
54 μC
243 μC
486 μC

Cevabı göster

C) 54 μC

Tanım: $Q = C\,\Delta V$ . $Q = (6.0\ \mu\text{F})(9.0\ \text{V}) = 54\ \mu\text{C}$ .
0.67 μC çıkaran $C/V$ , 1.5 μC çıkaran $V/C$ yapmış. 243 μC ise $\tfrac12 C V^2$ ile karıştırmaktan gelir.

Soru 2kolay

A parallel-plate capacitor has plate area $0.020\ \text{m}^2$ and plate separation $0.50\ \text{mm}$ (air between the plates). What is its capacitance?

3.54 pF
35.4 pF
177 pF
354 pF
35.4 nF

Cevabı göster

D) 354 pF

$C = \dfrac{\varepsilon_0 A}{d} = \dfrac{(8.85\times10^{-12})(0.020)}{0.50\times10^{-3}\ \text{m}}$ $C = 3.54\times10^{-10}\ \text{F} = 354\ \text{pF}$ .
35.4 pF, $d$ 'yi 0.50 cm sanınca çıkar: mm'yi metreye çevirirken $10^{-3}$ kullan.

Soru 3orta

An air-filled parallel-plate capacitor stays connected to a battery while the plate separation is doubled. What happens to the charge on the plates?

It doubles.
It stays the same.
It is halved.
It becomes four times larger.
It becomes one fourth.

Cevabı göster

C) It is halved.

Batarya bağlı: $\Delta V$ sabit. $C = \varepsilon_0 A/d$ , $d$ iki katına çıkınca $C$ yarıya iner. $Q = C\,\Delta V$ olduğu için $Q$ da yarıya iner.
"Aynı kalır" cevabı, batarya söküldüğü durumla karıştırmaktır.

Soru 4kolay

A $3.0\ \mu\text{F}$ capacitor and a $6.0\ \mu\text{F}$ capacitor are connected in series. What is the equivalent capacitance?

0.50 μF
2.0 μF
4.5 μF
9.0 μF

Cevabı göster

B) 2.0 μF

Seri: $\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{3.0} + \dfrac{1}{6.0} = \dfrac{3}{6.0}$ , yani $C_{eq} = 2.0\ \mu\text{F}$ .
9.0 μF paralel formülüdür. 0.50 μF, $1/C_{eq}$ 'nin değeri; tersini almayı unutmuşsun.
Kontrol: seri eşdeğer her zaman en küçük kondansatörden (3.0) küçüktür.

Soru 5orta

You want to build a $1.0\ \text{F}$ air-filled parallel-plate capacitor with a plate separation of $1.0\ \text{mm}$ . What plate area is required? (Give your answer in m².)

Cevabı göster

1.1 × 10⁸ m²

$A = \dfrac{C d}{\varepsilon_0} = \dfrac{(1.0)(1.0\times10^{-3})}{8.85\times10^{-12}} = 1.13\times10^{8}\ \text{m}^2$ .
Bu, kenarı yaklaşık 11 km olan bir kare. Farad çok büyük bir birim; gerçek kondansatörler μF, nF, pF mertebesindedir.

Soru 6orta

A long coaxial cable has an inner conductor of radius $0.40\ \text{mm}$ and an outer conducting shell of inner radius $1.6\ \text{mm}$ . What is its capacitance per unit length?

20.1 pF/m
40.1 pF/m
80.2 pF/m
92.4 pF/m
160 pF/m

Cevabı göster

B) 40.1 pF/m

$\dfrac{C}{\ell} = \dfrac{1}{2k\ln(b/a)} = \dfrac{1}{2(8.99\times10^{9})\ln 4}$ $\ln 4 = 1.386$ , payda $= 2.49\times10^{10}$ , sonuç $4.01\times10^{-11}\ \text{F/m} = 40.1\ \text{pF/m}$ .
92.4 pF/m çıkaran $\log_{10}$ kullanmış; formüldeki doğal logaritmadır. 80.2 pF/m çıkaran 2'yi unutmuş.

Soru 7orta

A spherical capacitor consists of an inner conducting sphere of radius $10\ \text{cm}$ and a concentric outer shell of inner radius $12\ \text{cm}$ . What is its capacitance?

11.1 pF
33.4 pF
66.7 pF
133 pF
6.67 nF

Cevabı göster

C) 66.7 pF

$C = \dfrac{ab}{k(b-a)} = \dfrac{(0.10)(0.12)}{(8.99\times10^{9})(0.02)}$ $C = \dfrac{0.012}{1.798\times10^{8}} = 6.67\times10^{-11}\ \text{F} = 66.7\ \text{pF}$ .
11.1 pF, paydaya $(b-a)$ yerine $b$ yazınca çıkar. Kabuklar birbirine yakın olduğu için C büyük.

Soru 8kolay

An isolated conducting sphere has radius $20\ \text{cm}$ . What is its capacitance (the second conductor is taken at infinity)?

4.45 pF
11.1 pF
22.2 pF
44.5 pF

Cevabı göster

C) 22.2 pF

Tek küre için $V = kQ/R$ , dolayısıyla $C = Q/V = R/k = 4\pi\varepsilon_0 R$ . $C = 0.20/(8.99\times10^{9}) = 2.22\times10^{-11}\ \text{F} = 22.2\ \text{pF}$ .

Soru 9zor

Capacitors $C_1 = 2.0\ \mu\text{F}$ and $C_2 = 4.0\ \mu\text{F}$ are connected in parallel, and this pair is connected in series with $C_3 = 3.0\ \mu\text{F}$ . The combination is connected to an $18\ \text{V}$ battery. What is the charge on $C_2$ ?

12 μC
24 μC
36 μC
48 μC
72 μC

Cevabı göster

B) 24 μC

Paralel çift: $C_{12} = 2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$ .
Seri: $C_{eq} = \dfrac{6.0\cdot 3.0}{6.0+3.0} = 2.0\ \mu\text{F}$ , $Q = 2.0\cdot18 = 36\ \mu\text{C}$ .
Seri elemanlar aynı yükü taşır: $C_3$ ve paralel çiftin toplam yükü 36 μC.
Paralel çiftin gerilimi $36/6.0 = 6.0\ \text{V}$ , $Q_2 = 4.0\cdot 6.0 = 24\ \mu\text{C}$ .
36 μC diyen, toplam yükün $C_2$ 'de olduğunu sanmış. Kontrol: $12 + 6 = 18\ \text{V}$ .

Soru 10orta

Three identical $6.0\ \mu\text{F}$ capacitors are connected so that two of them are in series and the third is in parallel with that series pair. What is the equivalent capacitance?

2.0 μF
4.0 μF
9.0 μF
12 μF
18 μF

Cevabı göster

C) 9.0 μF

İki özdeş seri: $6.0/2 = 3.0\ \mu\text{F}$ .
Üçüncüyle paralel: $3.0 + 6.0 = 9.0\ \mu\text{F}$ .
4.0 μF, (iki paralel) ile üçüncünün seri bağlandığı başka bir devrenin cevabı. Şekli dikkatli oku.

Soru 11zor

A $5.0\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $12\ \text{V}$ and disconnected from the battery. It is then connected to an uncharged $3.0\ \mu\text{F}$ capacitor (positive plate to positive plate). What is the final potential difference across the pair (in volts)?

Cevabı göster

7.5 V

Batarya yok, yük korunur: $Q_0 = (5.0)(12) = 60\ \mu\text{C}$ .
Bağlanınca iki kondansatör paralel, aynı gerilimde: $V = \dfrac{Q_0}{C_1 + C_2} = \dfrac{60}{8.0} = 7.5\ \text{V}$ .
Yükler: $Q_1 = 37.5\ \mu\text{C}$ , $Q_2 = 22.5\ \mu\text{C}$ ; toplam yine 60 μC.

Soru 12orta

An air-filled parallel-plate capacitor is charged and then disconnected from the battery. The plate separation is then doubled. Which statement is correct?

Q stays the same and ΔV doubles.
Q halves and ΔV stays the same.
Q stays the same and ΔV halves.
Both Q and ΔV double.

Cevabı göster

A) Q stays the same and ΔV doubles.

Batarya söküldü: yükün gidecek yeri yok, $Q$ sabit. $C$ yarıya iner, $\Delta V = Q/C$ iki katına çıkar.
Alan $E = \sigma/\varepsilon_0$ değişmez; $\Delta V = Ed$ iki katına çıktığı için de aynı sonuç.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar node ile hesaplandı (verify/PHY1002/08.mjs): silindirik ve küresel C, E alanı a'dan b'ye Simpson ile sayısal integrallenip C = Q/ΔV ile bulundu ve formülle karşılaştırıldı; ağlar adım adım indirgendi, gerilim toplamı ve yük korunumu ile kontrol edildi.

Deftere not kartı

C = Q / ΔV birim farad: 1 F = 1 C/V (μF, nF, pF) C sadece geometri + aradaki maddeye bağlı, Q ve V'ye değil Düzlem: C = ε0 A / d E = σ/ε0, ΔV = E d Silindir: C = L / (2k ln(b/a)) (ln, log10 değil) Küre: C = ab / (k(b - a)) tek küre: C = R/k = 4π ε0 R PARALEL: aynı ΔV, Q'lar toplanır, Ceq = C1 + C2 + ... SERİ: aynı Q, ΔV'ler toplanır, 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + ... iki seri: Ceq = C1 C2 / (C1 + C2); n özdeş seri: C/n seri Ceq < en küçük C, paralel Ceq > en büyük C ağ: içten dışa indirge, Q = Ceq V, sonra geri açarak her elemanı bul batarya BAĞLI: V sabit batarya SÖKÜK: Q sabit sökülmüş kondansatörü boş olana bağla: Q korunur, V = Q0/(C1+C2)