EMK, iç direnç ve seri-paralel dirençler

Bu hafta devre çözmeye başlıyorsun. Sınavda bu konudan iki tip soru gelir: gerçek bir pilin uç gerilimi ve iç direnci, bir de dirençlerden kurulu bir ağın eşdeğer direnci, akımı veya gücü. Seri ve paralel indirgemeyle çözülebilen her devreyi Kirchhoff’a girmeden bu yöntemle çöz; çok daha hızlıdır. Kirchhoff kuralları (14. hafta) sadece indirgenemeyen devreler için gerekir.

Altın kurallar:

1. Seride akım ortaktır, paralelde gerilim ortaktır. Her şey bu iki cümleden türer.
2. Seri eşdeğer en büyükten büyük, paralel eşdeğer en küçükten küçüktür. Cevabını bununla kontrol et.
3. Pilin uç gerilimi emk’dan küçüktür: $\Delta V = \varepsilon - Ir$. Akım yoksa eşittir.
4. İndirge, toplam akımı bul, geri aç. Her adımda $\Delta V = IR$ yaz.
5. Enerji kontrolü: pilin verdiği güç, dirençlerde harcanan güçlerin toplamına eşit olmalı.

Elektromotor kuvvet ve iç direnç

Bir pil kimyasal enerjiyi kullanarak yükleri düşük potansiyelden yüksek potansiyele taşır. Birim yük başına yaptığı bu iş emk’dır (electromotive force, emf), sembolü $\varepsilon$, birimi volt. Adı “kuvvet” olsa da bir kuvvet değil, potansiyel farkıdır.

Gerçek bir pilin içinde de yükler bir dirençle karşılaşır. Bunu ideal bir emk kaynağıyla seri bağlı küçük bir iç direnç (internal resistance) $r$ olarak modelleriz. Pile dış direnç (load resistance) $R$ bağlanınca:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r}, \qquad \Delta V = \varepsilon - Ir = IR$

$\Delta V$ pilin uçları arasında ölçülen uç gerilimidir (terminal voltage). Üç durum ezberlemen gereken üç uç noktadır:

Örnek. $\varepsilon = 9.0$ V, $r = 0.40\ \Omega$ olan bir pil 4.1 Ω’luk bir dirence bağlı. Akım, uç gerilimi ve yükteki güç nedir?

I  = ε/(R + r) = 9.0 / (4.1 + 0.40) = 2.0 A
ΔV = ε − I r   = 9.0 − (2.0)(0.40) = 8.2 V      (kontrol: I R = 8.2 V)
P  = I² R      = 4.0 × 4.1 = 16 W

TUZAK · emk ile uç gerilimi. Voltmetreyle akım çeken bir pilin uçlarını ölçersen $\varepsilon$ değil $\varepsilon - Ir$ okursun. “Pil 3.0 A verirken 11.4 V, boştayken 12.0 V” bilgisi doğrudan $r = 0.6/3.0 = 0.20\ \Omega$ verir. $11.4/3.0$ yük direncidir, iç direnç değil.

Güç ve maksimum güç aktarımı

Güç dengesi $\varepsilon I = I^2 R + I^2 r$ şeklindedir: pilin kimyasal olarak ürettiği güç, yükte ve pilin içinde ısıya döner. Yükteki güç:

$P_R = I^2R = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}$

$R \to 0$ iken akım büyük ama $R$ sıfır olduğu için güç sıfır; $R \to \infty$ iken akım sıfır, güç yine sıfır. Arada bir maksimum var. $dP/dR = 0$ çözülünce:

$R = r \quad\Rightarrow\quad P_{\max} = \frac{\varepsilon^2}{4r}$

Bu noktada verim $R/(R + r) = 50\%$: gücün yarısı pilin içinde ısıya gider. Yüksek verim istiyorsan $R \gg r$ olmalı.

Örnek. $\varepsilon = 9.0$ V, $r = 1.5\ \Omega$ olan kaynağa üç farklı yük bağlayalım:

Güç $R = r$‘de tepe yapıyor ve $R$‘nin $r/3$ ile $3r$ olduğu iki durumda aynı çıkıyor. Ama verim $R$ büyüdükçe sürekli artıyor. “En çok güç” ile “en verimli” aynı şey değil; soru hangisini soruyor, oku.

Seri bağlı dirençler

Dirençler uç uca, aralarında dallanma olmadan bağlıysa seridir (series combination). Bütün yük aynı yoldan geçmek zorunda olduğu için akım ortaktır, gerilimler toplanır:

$\Delta V = IR_1 + IR_2 + \cdots \quad\Rightarrow\quad R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots$

Gerilim dirençlerle orantılı paylaşılır (gerilim bölücü): büyük direnç gerilimin büyük payını alır. Seri bir ampul zinciri ekledikçe her ampulün gücü $I^2R$ karesel olarak düşer. Bir ampul koparsa devre açılır ve hepsi söner.

Paralel bağlı dirençler

Dirençlerin iki ucu da aynı iki düğüme bağlıysa paraleldir (parallel combination). Hepsi aynı iki noktaya bağlı olduğu için gerilim ortaktır, akımlar toplanır:

$I = \frac{\Delta V}{R_1} + \frac{\Delta V}{R_2} + \cdots \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots$

İki direnç için kısayol: $R_{eq} = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$ (“çarpım bölü toplam”). $N$ özdeş direnç için $R/N$.

Akım dirençle ters orantılı paylaşılır (akım bölücü, current divider):

$I_1 = I\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}, \qquad I_2 = I\,\frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Küçük direnç büyük akımı alır. Evdeki prizler paraleldir: her cihaz şebeke gerilimini görür ve bir cihazı açıp kapamak diğerlerini etkilemez.

İPUCU · paralelde tersini almayı unutma. $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0.5$ bulup “0.5 Ω” yazmak çok yaygın. Bu $1/R_{eq}$‘dur. $R_{eq} = 2.0\ \Omega$. Sonucun en küçük dirençten küçük mü, kontrol et.

Çözümlü örnek: indirge ve geri aç

Devre şöyle: $\varepsilon = 18$ V, $r = 1.0\ \Omega$ olan pilin artı ucundan çıkan tel önce $R_1 = 3.0\ \Omega$‘dan geçiyor. Sonra P düğümünde ikiye ayrılıyor: bir dalda $R_2 = 6.0\ \Omega$, diğer dalda $R_3 = 3.0\ \Omega$. İki dal Q düğümünde birleşiyor, oradan $R_4 = 3.0\ \Omega$ üzerinden pilin eksi ucuna dönüyor. Bütün akımları ve pilin uç gerilimini bul.

1. İndirge. $R_2$ ile $R_3$ P ve Q arasında paralel:

$R_{23} = \frac{6.0 \times 3.0}{9.0} = 2.0\ \Omega$

Geriye seri bir zincir kalıyor: $R_{\text{ext}} = 3.0 + 2.0 + 3.0 = 8.0\ \Omega$.

2. Toplam akım.

$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{ext}} + r} = \frac{18}{9.0} = 2.0\ \text{A}$

3. Geri aç.

Uç gerilimi:   ΔV = ε − I r = 18 − 2.0 = 16 V
R1'de:         2.0 × 3.0 = 6.0 V
P-Q arası:     2.0 × 2.0 = 4.0 V   (R2 ve R3 aynı gerilimi görür)
R4'te:         2.0 × 3.0 = 6.0 V   (6 + 4 + 6 = 16 V, uç gerilimi tuttu)
I2 = 4.0/6.0 = 0.67 A
I3 = 4.0/3.0 = 1.33 A              (0.67 + 1.33 = 2.0 A, düğüm tuttu)

4. Enerji kontrolü.

Pilin ürettiği:  ε I = 18 × 2.0 = 36 W
Harcanan:  r: 4.0   R1: 12   R2: 2.7   R3: 5.3   R4: 12   → toplam 36 W

İki kontrol de (gerilimler toplamı ve güç dengesi) tuttuğu için cevaplardan eminsin. Sınavda bu kontrol 20 saniye sürer ve yanlış cevabı yakalar.

Ampul soruları

Ampulleri sabit dirençli direnç gibi düşün; parlaklık harcanan güçtür.

• Paralel ampul eklemek (ideal pil): her ampulün gerilimi $\varepsilon$, değişmez. Parlaklıklar aynı kalır, pilden çekilen akım artar.
• Seri ampul eklemek: toplam direnç artar, akım düşer, hepsi söner. İki ampulden üçe çıkınca her birinin gücü $(2/3)^2 = 4/9$ katına iner.
• Pilin iç direnci varsa: paralel ampul eklemek pil akımını artırır, $Ir$ büyür, uç gerilimi düşer. Diğer ampuller biraz sönükleşir.

Sık yapılan hatalar