Bitler ve tam sayılar: 2's complement, overflow, sign extension

Bu ders sayılarla başlar, çünkü bilgisayar sadece bit görür: 0 ya da 1. Bir tam sayının, bir harfin, bir komutun hepsi aynı 0-1 dizisidir. Anlamı, o diziyi nasıl okuduğuna bağlıdır. Vizede bu sayfadan kesin soru gelir: bir deseni dört şekilde oku, bir sayıyı 2’s complement’e çevir, iki sayıyı topla ve overflow olup olmadığını kuralla gerekçelendir.

Altın kurallar:

1. Desen anlam taşımaz, gösterim taşır. 1100 0110 unsigned 198’dir, 2’s complement -58’dir.
2. 2’s complement’te MSB’nin ağırlığı negatiftir: 8 bitte -128.
3. -X = ters çevir + 1.
4. Overflow sadece aynı işaretli iki sayı toplanınca ve sonuç ters işaretli çıkınca olur.
5. Sign extension: genişletirken MSB’yi kopyala, 0 ile doldurma.

Bit ve konumsal değer

$k$ bit ile $2^k$ farklı desen yazılır. 8 bit: 256 desen. Bir unsigned tam sayıda her bitin ağırlığı 2’nin bir kuvvetidir. En sağdaki bit LSB (b0, ağırlık 1), en soldaki MSB (8 bitte b7, ağırlık 128).

ağırlık:  128  64  32  16   8   4   2   1
bit:        1   0   0   1   1   1   0   1     = 128+16+8+4+1 = 157

Ondalık → ikilik

İki yöntem var. Bölme: 2’ye böl, kalanı yaz, bölüm 0 olana kadar devam et, kalanları aşağıdan yukarı oku. Kuvvet çıkarma (daha hızlı): sığan en büyük 2 kuvvetini çıkar, o sütuna 1 yaz.

214 → 214-128=86 → 86-64=22 → 22-16=6 → 6-4=2 → 2-2=0
1'ler: 128, 64, 16, 4, 2  →  1101 0110 = 0xD6

İkilik ↔ onaltılık (hexadecimal)

Bir hex hane tam olarak 4 bittir. İkilikten hex’e geçerken sağdan 4’erli grupla, sol grubu 0 ile tamamla.

10 1111 0111   →   0010 1111 0111   →   0x2F7
0x2F7 = 2·256 + 15·16 + 7 = 512 + 240 + 7 = 759

TUZAK · soldan gruplamak. 1011101 için soldan 1011|101 yazarsan B5 bulursun, yanlış. Sağdan: 101|1101 → 0101 1101 = 0x5D.

İşaretli sayılar: dört gösterim

Negatif sayıları yazmanın üç tarihsel yolu var. Hepsinde MSB = 0 ise sayı pozitiftir ve değer unsigned ile aynıdır. Farklar sadece MSB = 1 olduğunda ortaya çıkar.

Genel $k$ bit için:

$\text{2's complement: } -2^{k-1} \;\ldots\; 2^{k-1}-1 \qquad \text{SM ve 1's: } -(2^{k-1}-1) \;\ldots\; 2^{k-1}-1$

Örnek: 0x9C = 1001 1100.

Hızlı kontrol: 2’s complement değer = unsigned - 256. 156 - 256 = -100.

Neden herkes 2’s complement kullanıyor?

Çünkü toplama devresi işaretle hiç ilgilenmeden doğru sonuç verir. $5 + (-5)$: 0000 0101 + 1111 1011 = 1 0000 0000, 9. bit atılınca 0000 0000. Tek bir sıfır var ve toplayıcı unsigned ile aynı. LC-3 ve neredeyse bütün bilgisayarlar 2’s complement kullanır.

2’s complement: negatif alma

Tarif: pozitifini yaz, bütün bitleri ters çevir, 1 ekle.

+77   = 0100 1101
ters  = 1011 0010
+1    = 1011 0011   = -77 = 0xB3
kontrol: -128 + 32 + 16 + 2 + 1 = -77

Kısayol: sağdan başla, ilk 1’e kadar (o 1 dahil) aynen kopyala, solundaki her biti çevir. 0010 1000 (40) → 1101 1000 (-40).

Dikkat: en negatif sayının pozitifi yoktur. 8 bitte -128 = 1000 0000; ters çevir + 1 yine 1000 0000 verir.

Sign extension

Bir sayıyı daha geniş bir alana taşırken (örneğin 5 bitlik bir offset’i 16 bitlik register’a) MSB’yi sola kopyalarsın. Pozitifse 0, negatifse 1 eklenir. Değer değişmez.

16 bitlik hex’te negatif sayılar F ile başlar: -13 = 0xFFF3, -6 = 0xFFFA. LC-3’te ADD R1, R1, #-1 yazdığında 5 bitlik 11111 bu şekilde 16 bite genişletilir (7-8. hafta).

TUZAK · 0 ile doldurmak. 10110’yı 00010110 yaparsan 22 olur. Negatif bir sayı pozitife döndü. Sign extension’da kural tek: MSB’yi kopyala.

Toplama, çıkarma ve overflow

2’s complement toplama sıradan ikilik toplamadır: sağdan sola, carry’leri yukarı taşı. 1+1 = 0 elde 1, 1+1+1 = 1 elde 1. MSB’den taşan 9. bit atılır.

Çıkarma için ayrı devre yoktur: $A - B = A + (-B)$.

Overflow kuralı

Sonuç $k$ bitin aralığına sığmıyorsa overflow olur. Bunu anlamanın yolu işaretlere bakmak:

• (+) + (+) = (−) çıktıysa overflow.
• (−) + (−) = (+) çıktıysa overflow.
• (+) + (−) toplamında asla overflow olmaz.

Sınav cümlesi: “Overflow occurs only if both operands have the same sign and the result has the opposite sign.” Donanımdaki eşdeğer test: MSB’ye giren carry, MSB’den çıkan carry’den farklıysa overflow.

Çözümlü örnek 1: 01010101 + 00101010

   0101 0101    ( 85)
 + 0010 1010    ( 42)
 -----------
   0111 1111    (127)   iki pozitif, sonuç pozitif → overflow yok

Çözümlü örnek 2: $A = 10010110$, $B = 00110010$, $A - B$ = ?

A  = 1001 0110   = -106
B  = 0011 0010   =  +50   → -B: ters 1100 1101, +1 → 1100 1110 (-50)

    1001 0110   (-106)
  + 1100 1110   ( -50)
  -----------
  1 0110 0100   → 9. bit atılır → 0110 0100 = +100

Gerçek cevap $-106 - 50 = -156$, 8 bite sığmaz. Toplanan iki sayı (A ve -B) negatif, sonuç pozitif: overflow. Bit 7’ye giren carry 0, çıkan 1.

TUZAK · carry-out ile overflow’u karıştırmak. 11110000 + 00100000 = 1 00010000. Dışarı 1 taştı ama sonuç 16, doğru (-16 + 32). Carry-out unsigned toplamada “sonuç büyük” demektir; 2’s complement’te overflow’un göstergesi değildir. Tersi de olur: 01101100 + 00110001’de carry-out yok, ama overflow var.

TUZAK · A − B’de yanlış sayıya bakmak. Overflow kuralını uygularken B’nin değil, -B’nin işaretine bak. Çünkü toplanan sayı o.

Kaç bit gerekir?

Sık yapılan hatalar