Gaz yoğunluğu, gaz karışımları, kinetik teori, efüzyon ve gerçek gazlar

Geçen hafta gazları sadece $PV = nRT$ ile tanıdık. Bu hafta bu denklemden üç pratik sonuç çıkarıyoruz (yoğunluk, molar kütle ve karışımlar), sonra denklemin neden çalıştığını açıklayan kinetik teoriye bakıyoruz. Haftayı ideal gazın ne zaman bozulduğu ve termokimyanın temel kavramlarıyla kapatıyoruz.

Altın kurallar:

1. Yoğunluk ve molar kütle aynı denklemin iki yüzü: $d = \frac{PM}{RT}$.
2. Karışımda her gaz tek başınaymış gibi davranır. Kısmi basınçlar toplanır.
3. Hız formülünde R = 8.314 ve M kg/mol. Bu tek tuzak sorunun yarısı.
4. Ağır gaz yavaştır: hız $1/\sqrt{M}$ ile orantılı.

Gaz yoğunluğu ve molar kütle

$n = m/M$‘yi ideal gaz denklemine koy: $PV = \frac{m}{M}RT$. Yeniden düzenleyince:

$d = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT} \qquad\Longleftrightarrow\qquad M = \frac{dRT}{P} = \frac{mRT}{PV}$

Sonuçlar:

• Aynı T ve P’de gazların yoğunluğu molar kütleleriyle orantılıdır. $\mathrm{CO_2}$ (44) havadan (yaklaşık 29) ağırdır, yere çöker; He (4) yükselir.
• Isınan gazın yoğunluğu düşer (T paydada). Sıcak hava balonu bu yüzden uçar.

Örnek 1. 0 °C ve 1.00 atm’de $\mathrm{N_2}$ yoğunluğu:

$d = \frac{1.00 \times 28.014}{0.08206 \times 273.15} = 1.25\ \text{g/L}$

Örnek 2 (Dumas yöntemi). Uçucu bir sıvı 100.0 °C’de buharlaştırılıp 0.500 L’lik balonu 0.987 atm’de dolduruyor. Soğuyunca balondaki madde 1.012 g geliyor.

$M = \frac{mRT}{PV} = \frac{1.012 \times 0.08206 \times 373.15}{0.987 \times 0.500} = 62.8\ \text{g/mol}$

Ampirik formülle birleşince moleküler formülü verir: ampirik formül $\mathrm{CH_3O}$ (31.03) ise $k = 2$, formül $\mathrm{C_2H_6O_2}$.

Gaz karışımları: Dalton yasası

Her gaz, kaptaki öteki gazları “görmeden” kendi basıncını uygular. Bir bileşenin tek başına uygulayacağı basınca kısmi basınç (partial pressure) denir. Dalton yasası:

$P_{\text{top}} = P_A + P_B + P_C + \dots \qquad P_A = \frac{n_A RT}{V}$

Mol kesri (mole fraction): $x_A = \frac{n_A}{n_{\text{top}}}$. Mol kesirleri toplamı 1’dir ve

$P_A = x_A \cdot P_{\text{top}}$

Örnek 3. 10.0 L’lik kapta 27 °C’de 1.00 g $\mathrm{H_2}$ ve 5.00 g $\mathrm{N_2}$ var.

n(H2) = 1.00 / 2.016  = 0.4960 mol
n(N2) = 5.00 / 28.014 = 0.1785 mol      n_top = 0.6745 mol
P(H2) = 0.4960 × 0.08206 × 300.15 / 10.0 = 1.22 atm
P(N2) = 0.1785 × 0.08206 × 300.15 / 10.0 = 0.440 atm
P_top = 1.66 atm        x(H2) = 0.4960 / 0.6745 = 0.735
kontrol: 0.735 × 1.661 = 1.22 atm

Su üstünde gaz toplama

Laboratuvarda üretilen gaz genellikle ters çevrilmiş, suyla dolu bir kapta toplanır. Toplanan gaz suyun buharıyla doymuştur. Kap içi ve dışı seviyeler eşitlendiğinde toplam basınç atmosfer basıncına eşittir:

$P_{\text{gaz}} = P_{\text{atm}} - P_{\mathrm{H_2O}}(T)$

Suyun buhar basıncı sadece sıcaklığa bağlıdır (25 °C’de 23.8 mmHg) ve tablodan verilir.

Örnek 4. $\mathrm{2KClO_3 \rightarrow 2KCl + 3O_2}$. 25 °C’de su üstünde 0.512 L gaz toplanıyor, toplam basınç 758 mmHg. Kaç gram $\mathrm{KClO_3}$ bozunmuş?

P(O2) = 758 − 23.8 = 734.2 mmHg = 0.9661 atm
n(O2) = 0.9661 × 0.512 / (0.08206 × 298.15) = 0.02022 mol
n(KClO3) = 0.02022 × 2/3 = 0.01348 mol  × 122.55 g/mol = 1.65 g

TUZAK · su buharını çıkarmamak. Toplam basıncı $\mathrm{O_2}$‘nin basıncı sanarsan mol sayısını yaklaşık %3 fazla bulursun. Sınavda buhar basıncı verildiyse kullanılmak içindir.

Gazların kinetik molekül teorisi

Kinetik teori (kinetic molecular theory) gaz yasalarını şu varsayımlarla açıklar:

1. Gaz sürekli, rastgele hareket eden çok sayıda molekülden oluşur.
2. Moleküllerin kendi hacmi, kabın hacmi yanında ihmal edilir.
3. Moleküller arasında çekim ya da itme yoktur; çarpışmalar esnektir (enerji kaybolmaz).
4. Moleküllerin ortalama kinetik enerjisi sadece mutlak sıcaklıkla orantılıdır.

Bir mol gaz için ortalama öteleme kinetik enerjisi:

$\overline{E_k} = \frac{3}{2}RT$

25 °C’de bu $1.5 \times 8.314 \times 298.15 = 3718$ J/mol eder, gaz hangisi olursa olsun.

Basıncın kaynağı moleküllerin duvara çarpmasıdır. Isıtınca moleküller hızlanır, daha sık ve daha sert çarpar: sabit hacimde basınç artar (Gay-Lussac). Hacmi küçültünce aynı moleküller daha sık çarpar (Boyle).

Moleküler hızlar

Kinetik enerji $\tfrac12 mu^2$ olduğu için aynı sıcaklıkta hafif moleküller daha hızlıdır. Ortalama karesel hızın karekökü (root-mean-square speed):

$u_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \qquad R = 8.314\ \tfrac{\text{J}}{\text{mol·K}},\ M\ \text{kg/mol}$

Birim kontrolü: $\text{J} = \text{kg·m}^2/\text{s}^2$ olduğu için kök içi m²/s² çıkar. M’yi g/mol koyarsan birimler tutmaz.

Hızlar bir dağılım gösterir (Maxwell-Boltzmann dağılımı). Sıcaklık artınca eğri sağa kayar ve yayılır; ağır gazların eğrisi daha dar ve soldadır.

Difüzyon, efüzyon ve Graham yasası

• Difüzyon (diffusion): gazın başka bir gazın içine yayılması (koku odaya yayılır).
• Efüzyon (effusion): gazın çok küçük bir delikten boşluğa kaçması.

Graham yasası: aynı koşullarda iki gazın efüzyon hızlarının oranı molar kütlelerinin oranının kareköküyle ters orantılıdır:

$\frac{\text{hız}_A}{\text{hız}_B} = \sqrt{\frac{M_B}{M_A}} \qquad \frac{t_A}{t_B} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}$

Örnek 5. $\mathrm{H_2}$, $\mathrm{O_2}$‘den kaç kat hızlı efüze olur?

$\sqrt{\frac{31.998}{2.016}} = 3.98$

Uranyum zenginleştirmede $^{235}\mathrm{UF_6}$ ve $^{238}\mathrm{UF_6}$ arasındaki oran sadece 1.004’tür; bu yüzden işlem binlerce kademe ister.

Gerçek gazlar (nonideal gases)

İdeal gaz varsayımları iki durumda bozulur:

1. Yüksek basınç: moleküller birbirine yaklaşır, kendi hacimleri artık ihmal edilemez.
2. Düşük sıcaklık: moleküller yavaşlar, aralarındaki çekim etkili olur (sıvılaşmaya yaklaşır).

Gaz en ideal davranışı yüksek sıcaklık ve düşük basınçta gösterir. Bunu ölçmenin yolu sıkıştırılabilirlik faktörü $Z = \frac{PV}{nRT}$: ideal gazda $Z = 1$.

van der Waals denklemi iki düzeltme ekler:

$\left(P + \frac{an^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT \qquad\Rightarrow\qquad P = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}$

• $b$: moleküllerin kendi hacmi (L/mol). Serbest hacim $V - nb$‘ye iner, basınç artar.
• $a$: moleküller arası çekim. Duvara çarpan molekül içerideki komşuları tarafından geri çekilir, basınç düşer.

$a$ değeri büyük olan gaz (polar ya da büyük molekül) daha çok sapar. $\mathrm{N_2}$ için ($a = 1.370$, $b = 0.0387$) 1.00 mol, 1.00 L, 300 K’de: ideal 24.6 atm, van der Waals 24.2 atm. Fark küçük, çünkü azot küçük ve apolar.

Termokimyaya giriş

Gelecek haftanın konusu ısı ve enerji. Önce dil:

• Sistem (system): incelediğimiz kısım (tepkime karışımı). Çevre (surroundings): geri kalan her şey.
• Açık sistem: madde ve enerji alışverişi yapar (kapaksız fincan). Kapalı sistem: sadece enerji (kapalı şişe). Yalıtılmış sistem: hiçbiri (ideal termos).
• Enerji: iş yapabilme kapasitesi. Kinetik (hareket) ve potansiyel (konum, bağlar) olarak bulunur. SI birimi joule: $1\ \text{J} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$.
• Eski birim kalori: $1\ \text{cal} = 4.184\ \text{J}$ (tam). Besin “Kalori”si aslında kcal’dir: 250 kcal = 1046 kJ.
• Isı (heat, $q$): sıcaklık farkı yüzünden aktarılan enerji. İş (work, $w$): kuvvetin bir yol boyunca aktardığı enerji.

Sık yapılan hatalar