Lineer denklem sistemleri: Gauss ve Gauss-Jordan eleme

Lineer cebir dersinin ilk haftası, dönemin geri kalanının alet çantasıdır. Ters matris, determinant, rank, null space, özvektör: hepsi sonunda “bir sistemi satır işlemleriyle çöz” adımına iner. Vizede de puanın en büyük bloğu buradan gelir: bir 3×3 sistemi Gauss ile çöz, bir sistemin genel çözümünü Gauss-Jordan ile yaz, “for which $k$” sorusunu vaka vaka çöz.

Altın kurallar:

1. Her satır işlemini okun üstüne yaz ($R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$). Hem kısmi puan hem hata kontrolü.
2. Satır işlemi bütün satıra uygulanır, sağ taraf sütunu dahil.
3. Tek seferde bir sütun: önce pivotun altını sıfırla, sonra sağa geç.
4. $[0\ 0\ 0 \mid c]$ ile $c \neq 0$ satırı çözüm yok demek. $[0\ 0\ 0 \mid 0]$ satırı ise zararsız.
5. Bulduğun çözümü denklemlere geri koy. 20 saniye sürer, puan kurtarır.

Lineer denklem ve sistem

$x_1, \dots, x_n$ değişkenlerinde bir lineer denklem (linear equation) şu biçimdedir:

$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b.$

Değişkenler sadece birinci kuvvetten görünür, birbirleriyle çarpılmaz, kök, sinüs, üstel içine girmez. $3x - 2y + z = 5$ lineer; $xy = 2$, $x^2 + y = 1$, $\sqrt{x} + y = 3$ lineer değil.

Birden fazla lineer denklem bir lineer sistem (system of linear equations) oluşturur. Bir çözüm, bütün denklemleri aynı anda sağlayan sayı listesidir. Bir lineer sistemin çözüm kümesi için sadece üç ihtimal vardır:

“Tam iki çözüm” diye bir şey yoktur. İki çözüm varsa aralarındaki doğrunun her noktası da çözümdür.

Genişletilmiş matris ve satır işlemleri

Sistemi yazarken değişken isimlerini her satırda tekrarlamak gereksiz. Katsayıları ve sağ tarafı bir tabloya dökeriz. Katsayılar katsayı matrisi (coefficient matrix) $A$‘yı, sağ taraf eklenince genişletilmiş matris (augmented matrix) $[A \mid \mathbf{b}]$‘yi verir:

$\begin{aligned} x + 2y - z &= 3 \\ 2x + 5y + z &= 14 \\ -x + y + 4z &= 9 \end{aligned} \quad\longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 14 \\ -1 & 1 & 4 & 9 \end{array}\right]$

Bir denklemde bir değişken yoksa onun yerine 0 yazılır. Bu adımı atlamak sütunları kaydırır ve bütün hesabı bozar.

Elementer satır işlemleri (elementary row operations) çözüm kümesini değiştirmeyen üç işlemdir:

Bu üç işlemle birbirine dönüşebilen iki matrise satır denk (row equivalent) denir. Satır denk genişletilmiş matrislerin sistemlerinin çözüm kümesi aynıdır. Bütün yöntem buna dayanıyor.

REF ve RREF

Bir matris satır eşelon formunda (row echelon form, REF) ise:

1. Tamamen sıfır olan satırlar en alttadır.
2. Sıfır olmayan her satırın ilk sıfırdan farklı elemanı (öncü eleman, pivot) 1’dir.
3. Her pivot, üstündeki satırın pivotunun sağındadır (merdiven şekli).

Ayrıca her pivot sütununda pivot dışındaki bütün elemanlar 0 ise matris indirgenmiş satır eşelon formundadır (reduced row echelon form, RREF).

$\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}}_{\text{REF}} \qquad \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 35 \\ 0 & 1 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}}_{\text{RREF}}$

Sağdaki matris, soldakinin Gauss-Jordan ile pivot üstleri de sıfırlanmış hali. Bir matrisin birçok REF’i olabilir, ama RREF’i tektir. Bazı kitaplar REF tanımında pivotun 1 olmasını istemez; bu derste (problem kitabıyla uyumlu olarak) pivotu 1 yapıyoruz.

İPUCU · pivot sütunu ve serbest değişken. RREF’te pivot bulunan sütunların değişkenleri öncü değişkenlerdir (leading variables). Pivot olmayan sütunların değişkenleri serbest değişkendir (free variable). Serbest değişkene parametre ($t$, $s$) verirsin, öncüleri onlar cinsinden yazarsın.

Gauss eleme: tek çözüm

Gauss eleme (Gaussian elimination): genişletilmiş matrisi REF’e getir, sonra en alttan başlayarak geri yerine koy (back-substitution). Yukarıdaki sistemi çözelim.

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 14 \\ -1 & 1 & 4 & 9 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 + R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 3 & 3 & 12 \end{array}\right]$

Sütun 1 bitti. Satır 2’nin pivotu zaten 1. Altını sıfırla:

$\xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & -6 & -12 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow -\frac16 R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$

ara hesap:  R2 - 2R1 = (2-2, 5-4, 1+2 | 14-6) = (0, 1, 3 | 8)
            R3 + R1  = (0, 3, 3 | 12)
            R3 - 3R2 = (0, 3-3, 3-9 | 12-24) = (0, 0, -6 | -12)
geri koy:   z = 2
            y + 3z = 8      → y = 2
            x + 2y - z = 3  → x = 3 - 4 + 2 = 1

Çözüm $(x, y, z) = (1, 2, 2)$. Kontrol (3. denklem): $-1 + 2 + 8 = 9$.

Gauss-Jordan: sonsuz çözüm ve parametrik yazım

Gauss-Jordan eleme REF’ten sonra durmaz: pivotların üstünü de sıfırlar ve RREF’e varır. Avantajı: çözümü doğrudan okursun, geri yerine koyma yok. Dört değişkenli şu sisteme bak:

$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 &= 3 \\ 2x_1 + 4x_2 + x_3 + 5x_4 &= 12 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 4x_4 &= 9 \end{aligned}$

$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 5 & 12 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 9 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 \end{array}\right]$

Sütun 2’de satır 2 ve altında sıfırdan farklı eleman yok, yani sütun 2 pivotsuz. Sütun 3’e geç:

$\xrightarrow{R_2 \leftarrow \frac13 R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 & 6 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 + R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

Pivotlar sütun 1 ve 3’te. $x_2$ ve $x_4$ serbest: $x_2 = s$, $x_4 = t$.

$x_1 = 5 - 2s - 2t, \quad x_2 = s, \quad x_3 = 2 - t, \quad x_4 = t \qquad (s, t \in \mathbb{R}).$

Vektör biçiminde: $\mathbf{x} = (5, 0, 2, 0) + s(-2, 1, 0, 0) + t(-2, 0, -1, 1)$. Kontrol için $s = 1$, $t = 2$ al: $(-1, 1, 0, 2)$. Denklem 2: $-2 + 4 + 0 + 10 = 12$.

Tutarsız sistem

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 0 & 6 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

Son satır $0x + 0y + 0z = 1$ diyor. İmkansız, sistem tutarsız (inconsistent). Bunu görünce dur; çözüm yazmaya çalışma.

Karar tablosu (REF’e indirdikten sonra):

Parametreli sistemler: “for which $k$?”

$k$‘yı sembol olarak tut ve normal eleme yap. Tek yasak: $k$ içeren bir ifadeye bölmek, çünkü o ifade sıfır olabilir.

$\begin{aligned} x + y - z &= 2 \\ 2x + 3y + z &= 5 \\ x + 2y + (k^2 + k)z &= k + 2 \end{aligned}$

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & k^2+k & k+2 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & k^2+k+1 & k \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & k^2+k-2 & k-1 \end{array}\right]$

Son satır: $(k-1)(k+2)\,z = k - 1$. Çarpanlara ayır ve her kökü ayrı incele:

• $k = 1$: son satır $[0\ 0\ 0 \mid 0]$. $z$ serbest, sonsuz çözüm: $z = t$, $y = 1 - 3t$, $x = 2 - y + z = 1 + 4t$.
• $k = -2$: son satır $[0\ 0\ 0 \mid -3]$. Çözüm yok.
• $k \neq 1, -2$: tek çözüm. $z = \frac{1}{k+2}$, $y = 1 - 3z = \frac{k-1}{k+2}$, $x = 2 - y + z = \frac{k+6}{k+2}$.

TUZAK · sadeleştirip kökü kaybetmek. $(k-1)(k+2)z = k-1$ denkleminde iki tarafı hemen $k-1$‘e bölüp "$z = \frac{1}{k+2}$" yazarsan $k = 1$ durumunu kaybedersin. Önce kökleri ayır, sonra böl.

Homojen sistemler

Sağ tarafın tamamı sıfırsa sistem homojendir (homogeneous): $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Homojen sistem her zaman tutarlıdır, çünkü $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (trivial çözüm) hep sağlar. Soru, başka (nontrivial) çözüm olup olmadığıdır.

• Serbest değişken varsa sonsuz sayıda nontrivial çözüm var.
• Bilinmeyen sayısı denklem sayısından fazlaysa mutlaka serbest değişken vardır.

Homojen sistemde sağ taraf sütunu satır işlemleri boyunca hep 0 kalır; çoğu kişi onu hiç yazmadan sadece $A$‘yı indirger.

TUZAK · “az denklem, o zaman sonsuz çözüm”. Bu sadece tutarlı sistem için doğru. $x + y + z = 0$, $x + y + z = 1$ sisteminde 2 denklem 3 bilinmeyen var ama çözüm yok. Homojen sistemde ise tutarlılık bedava geldiği için iddia doğru.

Sık yapılan hatalar