Matris işlemleri ve özellikleri

Bu hafta matrisi bir sayı tablosu olmaktan çıkarıp bir cebir nesnesi yapıyoruz: toplayacağız, çarpacağız, kuvvetini alacağız. Kuralların çoğu sayılardan tanıdık. Sınav soruları ise tam olarak tanıdık olmayan yerlerden gelir: çarpım ne zaman tanımlı, $AB$ neden $BA$‘ya eşit değil, $(AB)^T$ neden $B^TA^T$.

Altın kurallar:

1. Çarpımdan önce boyutları yaz: $(m \times n)(n \times p) = m \times p$. İç boyutlar eşit değilse çarpım yok.
2. $(AB)_{ij}$ = $A$‘nın $i$. satırı · $B$‘nin $j$. sütunu. Tek eleman sorulursa sadece onu hesapla.
3. $AB \neq BA$ genelde. Sayılardaki “sırası önemsiz” alışkanlığını burada bırak.
4. Transpoz ve ters, çarpımda sırayı ters çevirir: $(AB)^T = B^TA^T$.

Tanımlar ve gösterim

$m$ satır ve $n$ sütunu olan matrise $m \times n$ matris denir. $i$. satır, $j$. sütundaki elemana $a_{ij}$ (entry) deriz. $A = [a_{ij}]$ yazımı bunu anlatır.

İki matris eşittir ancak aynı boyuttaysa ve karşılıklı her elemanı eşitse. Bu yüzden “matris denklemi” aslında eleman sayısı kadar sayısal denklemdir (Q6).

Toplama ve skalerle çarpma

Aynı boyuttaki iki matris eleman eleman toplanır. Bir $c$ sayısıyla çarpmak her elemanı $c$ ile çarpar.

$2\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -3 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -7 \\ 9 & -12 \end{bmatrix}$

Bu işlemler sayılarınkiyle aynı kurallara uyar: $A + B = B + A$, $(A + B) + C = A + (B + C)$, $c(A + B) = cA + cB$, $(c + d)A = cA + dA$.

Matris çarpımı

$A$ $m \times n$, $B$ $n \times p$ ise $AB$, $m \times p$ bir matristir ve

$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}.$

Yani $A$‘nın $i$. satırını $B$‘nin $j$. sütunuyla eleman eleman çarpıp toplarsın. Örnek:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix}_{2 \times 3}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$

AB (2x2):
  (1,1): (1, 2, -1)·(2, -1, 3) = 2 - 2 - 3 = -3
  (1,2): (1, 2, -1)·(1, 0, 5)  = 1 + 0 - 5 = -4
  (2,1): (0, 3, 4)·(2, -1, 3)  = 0 - 3 + 12 = 9
  (2,2): (0, 3, 4)·(1, 0, 5)   = 0 + 0 + 20 = 20

$AB = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 9 & 20 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \\ 3 & 21 & 17 \end{bmatrix}$

İkisi de tanımlı ama biri $2 \times 2$, öteki $3 \times 3$. Kare matrislerde bile genelde eşit değiller:

$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\ D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}: \quad CD = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \neq DC = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$

$AB = BA$ olduğunda $A$ ile $B$‘ye değişmeli (commute) denir. Bu özel bir durumdur, varsayılan değil.

Sistemi matris olarak yazmak

$m$ denklem $n$ bilinmeyenli bir sistem tek bir matris denklemi olur: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Ve $A\mathbf{x}$‘in güzel bir yorumu var: $A$‘nın sütunlarının lineer kombinasyonu (linear combination), katsayılar $\mathbf{x}$‘in bileşenleri.

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 7 \\ -4 \end{bmatrix}$

Bu bakış 7. ve 9. haftada (span, sütun uzayı) tekrar karşına çıkacak: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ tutarlıdır ancak ve ancak $\mathbf{b}$, $A$‘nın sütunlarının bir kombinasyonuysa.

Çarpımın özellikleri

Doğru olanlar (boyutlar uygunsa):

Sayılarda doğru olup matrislerde yanlış olanlar:

TUZAK · iki taraftan sadeleştirmek. $AB = AC$ görüp “$A$‘ları sadeleştir” yapamazsın. Bu ancak $A$ tersinirse (gelecek hafta) doğru: soldan $A^{-1}$ ile çarparsın. $P$ yukarıda tersinir değil ($\det P = 0$), o yüzden iptal bozuluyor.

Transpoz

$A$‘nın transpozu (transpose) $A^T$, satırları sütun yapılmış matristir: $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. $m \times n$ matrisin transpozu $n \times m$‘dir.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

Kurallar: $(A^T)^T = A$, $(A + B)^T = A^T + B^T$, $(cA)^T = cA^T$ ve

$(AB)^T = B^TA^T.$

Neden sıra ters? $AB$ $m \times p$ ise $(AB)^T$ $p \times m$. $B^T$ $p \times n$, $A^T$ $n \times m$: sadece $B^TA^T$ bu boyutu verir. Yukarıdaki örnekte $(AB)^T = \begin{bmatrix} -3 & 9 \\ -4 & 20 \end{bmatrix}$ ve $B^TA^T$ de aynısını verir.

Simetrik matris (symmetric): $A^T = A$. Kare olmak zorunda ve $a_{ij} = a_{ji}$: köşegene göre ayna. $A^TA$ ve $AA^T$ her matris için simetriktir, çünkü $(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA$. Simetrik matrisler 14. haftanın ana konusu.

İz (trace)

Kare bir matrisin izi köşegen elemanlarının toplamıdır: $\operatorname{tr}A = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$.

• $\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr}A + \operatorname{tr}B$, $\operatorname{tr}(cA) = c\operatorname{tr}A$, $\operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}A$.
• $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$, $AB$ ile $BA$ farklı boyutta olsa bile. Yukarıdaki örnekte ikisi de $17$.

İz, 13. haftada özdeğerlerin toplamı olarak geri dönecek.

Kuvvetler

Kare $A$ için $A^2 = AA$, $A^3 = AAA$ vb. Hesaplarken desen ara:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}: \quad A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^n = \begin{bmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Köşegen matrisin kuvveti en kolayı: köşegendeki her sayının kuvvetini al. $\operatorname{diag}(2, -1)^5 = \operatorname{diag}(32, -1)$. 13. haftada köşegenleştirmenin bütün amacı, her matrisi bu kolay duruma getirmek olacak.

İPUCU · polinom içinde matris. $p(x) = x^2 - 5x - 2$ ise $p(A) = A^2 - 5A - 2I$. Sabit terim $I$ ile çarpılır; "$-2$" yazıp matristen sayı çıkaramazsın.

Sık yapılan hatalar