MAT1041 · 3. hafta · - The Inverse of a Matrix

Ters matris, [A | I] yöntemi ve elementer matrisler

Bir matrisin tersini 2×2 formülle ve [A | I] üzerinde Gauss-Jordan ile bulmayı, tekil matrisi tanımayı, AX = B ve XA = B'yi doğru taraftan çözmeyi ve elementer matrislerle satır işlemlerini çarpım olarak yazmayı öğrenirsin.

inverse matrixinvertible (nonsingular)singular (noninvertible)identity matrixelementary matrixrow equivalentGauss-Jordan eliminationinvertible matrix theorem

Sayılarda 3x=63x = 6 denklemini iki tarafı 3−13^{-1} ile çarparak çözersin. Matrislerde aynı fikrin adı ters matris (inverse): Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} ise x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}. Ama her matrisin tersi yoktur ve çarpmanın hangi taraftan yapıldığı önemlidir. Vizede bu konudan neredeyse kesin olarak bir 2×22 \times 2 formül sorusu, bir 3×33 \times 3 [A∣I][A \mid I] sorusu ve bir AX=BAX = B sorusu gelir.

Altın kurallar:

  1. Ters sadece kare matris için tanımlı.
  2. 2×22 \times 2 için formülü kullan, 3×33 \times 3 için [A∣I][A \mid I] yöntemini.
  3. AX=BAX = B ise X=A−1BX = A^{-1}B; XA=BXA = B ise X=BA−1X = BA^{-1}. Taraf karıştırmak en sık hata.
  4. Her zaman kontrol et: bir satır · bir sütun =1= 1 veya 00 olmalı.

Tanım

n×nn \times n bir AA için

AB=BA=InAB = BA = I_n

sağlayan bir BB varsa AA tersinir (invertible, nonsingular), BB de AA‘nın tersi A−1A^{-1}‘dir. Böyle bir BB yoksa AA tekil (singular) denir.

Ters tektir. BB ve CC ikisi de AA‘nın tersiyse B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.

Kare matrislerde tek taraf yeter: AB=IAB = I ise otomatik olarak BA=IBA = I olur. Problem kitabında “AB = I ⇒ BA = I” sorusu bu yüzden geliyor.

2×2 formülü

A=[abcd],ad−bc≠0⇒A−1=1ad−bc[d−b−ca].A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad ad - bc \neq 0 \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.

Ezber tarifi: köşegeni yer değiştir, diğer ikisinin işaretini çevir, ad−bcad - bc‘ye böl. ad−bc=0ad - bc = 0 ise ters yok. Bu sayı 2×22 \times 2 determinantıdır (gelecek hafta).

Örnek: A=[5273]A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}, ad−bc=15−14=1ad - bc = 15 - 14 = 1:

A−1=[3−2−75].Kontrol: [5273][3−2−75]=[15−14−10+1021−21−14+15]=I.A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}. \qquad \text{Kontrol: } \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 - 14 & -10 + 10 \\ 21 - 21 & -14 + 15 \end{bmatrix} = I.

[A | I] yöntemi

Neden çalışıyor? AA‘yı II‘ya götüren satır işlemlerinin hepsi bir çarpım gibi düşünülebilir: Ek⋯E2E1A=IE_k \cdots E_2E_1A = I. Bu çarpım tam olarak A−1A^{-1}‘dir. Aynı işlemleri yan tarafta II‘ya uygularsan Ek⋯E1I=A−1E_k \cdots E_1 I = A^{-1} elde edersin.

Tarif:

  1. n×2nn \times 2n matrisi yaz: [A∣I][A \mid I].
  2. Sol tarafı Gauss-Jordan ile II‘ya indir. Her işlemi bütün 2n2n sütuna uygula.
  3. Sol taraf II olursa sağ taraf A−1A^{-1}‘dir. Solda sıfır satır çıkarsa AA tekildir, dur.

Örnek. A=[120251121]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}.

[120100251010121001]→R3←R3−R1R2←R2−2R1[120100011−210001−101]\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 \leftarrow R_3 - R_1]{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Sol taraf üst üçgen ve pivotlar 1. Şimdi pivotların üstünü sağdan sola sıfırla:

→R2←R2−R3[120100010−11−1001−101]→R1←R1−2R2[1003−22010−11−1001−101]\xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - R_3} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]

A−1=[3−22−11−1−101].A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

kontrol: A'nın 1. satırı (1, 2, 0) · A⁻¹'in 1. sütunu (3, -1, -1) = 3 - 2 + 0 = 1   ✓
         A'nın 2. satırı (2, 5, 1) · A⁻¹'in 1. sütunu (3, -1, -1) = 6 - 5 - 1 = 0   ✓

Tekil örnek. S=[10221301−1]S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}:

[10210021301001−1001]→R2←R2−2R1[10210001−1−21001−1001]→R3←R3−R2[10210001−1−2100002−11]\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right]

Sol tarafta sıfır satır oluştu. Ne yaparsan yap 3. satırda pivot olmayacak: SS tekil. Sağ tarafın sıfır olmaması bir şey değiştirmez; karar sol tarafa bakılarak verilir.

Ters matrisle sistem çözmek

AA tersinirse Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}‘nin tek çözümü vardır: x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}. Yukarıdaki AA ve b=(1,3,2)T\mathbf{b} = (1, 3, 2)^T için:

x=[3−22−11−1−101][132]=[3−6+4−1+3−2−1+0+2]=[101].\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 6 + 4 \\ -1 + 3 - 2 \\ -1 + 0 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

Aynı AA ile birçok farklı b\mathbf{b} çözülecekse A−1A^{-1}‘i bir kez bulmak işi hızlandırır. Tek bir sistem için Gauss eleme genelde daha kısadır.

Matris denklemleri. AA tersinir olsun:

DenklemÇözNeden
AX=BAX = BX=A−1BX = A^{-1}Bsoldan A−1A^{-1} ile çarp
XA=BXA = BX=BA−1X = BA^{-1}sağdan A−1A^{-1} ile çarp
AXC=BAXC = BX=A−1BC−1X = A^{-1}BC^{-1}iki taraftan

TUZAK · “bölme” yok. X=BAX = \frac{B}{A} diye bir şey yoktur. A−1BA^{-1}B ile BA−1BA^{-1} genelde farklıdır (Q6 ve Q7 aynı matrislerle iki farklı cevap veriyor).

Tersin özellikleri

AA, BB tersinir n×nn \times n, c≠0c \neq 0:

ÖzellikNot
(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}sıra ters, transpozdaki gibi
(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T
(cA)−1=1cA−1(cA)^{-1} = \frac1c A^{-1}
(Ak)−1=(A−1)k(A^k)^{-1} = (A^{-1})^kA−kA^{-k} diye yazılır

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} kontrolü: (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I. Sıra ters olmasaydı ortadaki BB ile B−1B^{-1} yan yana gelmezdi.

Bir de iptal kuralı artık geçerli: AA tersinirse AB=AC⇒B=CAB = AC \Rightarrow B = C (soldan A−1A^{-1} ile çarp).

Elementer matrisler

Elementer matris (elementary matrix) EE, birim matrise tek bir satır işlemi uygulanarak elde edilen matristir. Sihirli özelliği: EAEA çarpımı, AA‘ya o satır işlemini uygulamakla aynı şeydir.

İşlem (3×33 \times 3)EEE−1E^{-1}
R3←R3−4R1R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1[100010−401]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{bmatrix}[100010401]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}
R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2[010100001]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}kendisi
R2←5R2R_2 \leftarrow 5R_2diag⁡(1,5,1)\operatorname{diag}(1, 5, 1)diag⁡(1,15,1)\operatorname{diag}(1, \frac15, 1)

Her elementer matris tersinirdir ve tersi de elementerdir: işlemi geri alan işlem.

Matrisi elementer matrislerin çarpımı olarak yazmak. A=[1237]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}:

A  --R2 ← R2 - 3R1-->  [1 2; 0 1]  --R1 ← R1 - 2R2-->  I
E1 = [1 0; -3 1],   E2 = [1 -2; 0 1],   E2 E1 A = I
A = E1⁻¹ E2⁻¹ = [1 0; 3 1] [1 2; 0 1]

Kontrol: [1031][1201]=[1237]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}. Terslerin sırası ters döndü, çünkü A=(E2E1)−1=E1−1E2−1A = (E_2E_1)^{-1} = E_1^{-1}E_2^{-1}.

Tersinir matris teoremi (ilk sürüm)

AA n×nn \times n ise şunlar denktir (biri doğruysa hepsi doğru):

  1. AA tersinir.
  2. Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}‘ın sadece trivial çözümü var.
  3. AA‘nın RREF’i InI_n.
  4. AA, elementer matrislerin çarpımı.
  5. Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} her b\mathbf{b} için tutarlı ve tek çözümlü.

Liste dönem boyunca uzayacak: det⁡A≠0\det A \neq 0 (hafta 4), sütunlar bağımsız (hafta 7), rank =n= n (hafta 9), 0 özdeğer değil (hafta 13).

Sık yapılan hatalar

YanlışDoğrusu
2×22 \times 2‘de köşegen dışını yer değiştirmekKöşegen yer değiştirir, köşegen dışı işaret değiştirir
ad−bcad - bc‘ye bölmeyi unutmakFormülün başındaki 1ad−bc\frac{1}{ad - bc}
[A∣I][A \mid I]‘da işlemi sadece sol tarafa uygulamakBütün 2n2n sütuna
AX=BAX = B için X=BA−1X = BA^{-1}X=A−1BX = A^{-1}B
(AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}B−1A−1B^{-1}A^{-1}
Kare olmayan matrisin tersini aramakTers sadece kare matrislerde
Sağ tarafta sıfır olmayan satır var diye “tersinir” demekKarar sol tarafa göre verilir
(A+B)−1=A−1+B−1(A + B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}Böyle bir kural yok

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

Find the inverse of A=[2714]A = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}.

Cevabı göster
[4−7−12]\begin{bmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

ad−bc=8−7=1ad - bc = 8 - 7 = 1. Köşegeni yer değiştir, diğer ikisinin işaretini çevir, 11'e böl.
Kontrol: [2714][4−7−12]=[8−7−14+144−4−7+8]=I\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 7 & -14 + 14 \\ 4 - 4 & -7 + 8 \end{bmatrix} = I.

Soru 2kolay

For which values of kk is [k42k−2]\begin{bmatrix} k & 4 \\ 2 & k - 2 \end{bmatrix} singular?

Cevabı göster
k=4k = 4 or k=−2k = -2

2×22 \times 2 matris tekildir ancak ve ancak ad−bc=0ad - bc = 0.k(k−2)−8=k2−2k−8=(k−4)(k+2)=0k(k-2) - 8 = k^2 - 2k - 8 = (k - 4)(k + 2) = 0.

Soru 3orta

Use the [A∣I][A \mid I] method to find A−1A^{-1} for A=[111012124]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}.

Cevabı göster
[0−2123−2−1−11]\begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1: (0,1,3∣−1,0,1)(0, 1, 3 \mid -1, 0, 1). R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2: (0,0,1∣−1,−1,1)(0, 0, 1 \mid -1, -1, 1).
Pivot 3'ün üstünü sıfırla: R2←R2−2R3R_2 \leftarrow R_2 - 2R_3: (0,1,0∣2,3,−2)(0, 1, 0 \mid 2, 3, -2). R1←R1−R3R_1 \leftarrow R_1 - R_3: (1,1,0∣2,1,−1)(1, 1, 0 \mid 2, 1, -1).R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2: (1,0,0∣0,−2,1)(1, 0, 0 \mid 0, -2, 1). Sol taraf II, sağ taraf A−1A^{-1}.
Kontrol: AA'nın 1. satırı · A−1A^{-1}'in 1. sütunu =0+2−1=1= 0 + 2 - 1 = 1.

Soru 4orta

With AA from the previous question, solve Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} for b=(2,1,3)T\mathbf{b} = (2, 1, 3)^T using A−1A^{-1}.

Cevabı göster
x=(1,1,0)T\mathbf{x} = (1, 1, 0)^T

x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}: satır 1: 0−2+3=10 - 2 + 3 = 1; satır 2: 4+3−6=14 + 3 - 6 = 1; satır 3: −2−1+3=0-2 - 1 + 3 = 0.
Kontrol: A(1,1,0)T=(2,1,3)TA(1, 1, 0)^T = (2, 1, 3)^T.

Soru 5orta

Is [1232573710]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \end{bmatrix} invertible? Justify with row reduction.

Cevabı göster
No, it is singular

R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: (0,1,1)(0, 1, 1). R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: (0,1,1)(0, 1, 1). R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2: (0,0,0)(0, 0, 0).
Sol tarafta sıfır satır çıktı, II'ya indirgenemez. Tekil.
Sezgi: 3. satır = 1. satır + 2. satır.

Soru 6orta

Let A=[2153]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} and B=[1021]B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}. Solve AX=BAX = B.

Cevabı göster
X=[1−1−12]X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

det⁡A=6−5=1\det A = 6 - 5 = 1, A−1=[3−1−52]A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}.AX=BAX = B ise soldan A−1A^{-1} ile çarp: X=A−1B=[3−2−1−5+42]=[1−1−12]X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 - 2 & -1 \\ -5 + 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}.

Soru 7orta

With the same AA and BB, solve XA=BXA = B.

Cevabı göster
X=[3−110]X = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

XA=BXA = B ise sağdan A−1A^{-1} ile çarp: X=BA−1X = BA^{-1}.[1021][3−1−52]=[3−16−5−2+2]=[3−110]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 - 5 & -2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
Önceki sorunun cevabından farklı: matris çarpımı değişmeli değil.

Soru 8orta

Suppose A−1=[1201]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} and B−1=[3111]B^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. Find (AB)−1(AB)^{-1}.

Cevabı göster
[3713]\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (sıra ters).[3111][1201]=[36+112+1]=[3713]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 + 1 \\ 1 & 2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.A−1B−1A^{-1}B^{-1} yazan farklı (yanlış) bir matris bulur.

Soru 9kolay

Let A=[120013−214]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \end{bmatrix} and B=[120013054]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \end{bmatrix}. Find an elementary matrix EE with EA=BEA = B, and E−1E^{-1}.

Cevabı göster
E=[100010201]E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}, E−1=[100010−201]E^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Sadece 3. satır değişmiş: (0,5,4)=(−2,1,4)+2(1,2,0)(0, 5, 4) = (-2, 1, 4) + 2(1, 2, 0). İşlem R3←R3+2R1R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.EE = bu işlemin I3I_3'e uygulanmış hali: (3,1)(3,1) konumunda 22.E−1E^{-1} işlemi geri alır: R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1, yani (3,1)(3,1) konumunda −2-2.

Soru 10zor

A square matrix AA satisfies A2−3A+I=OA^2 - 3A + I = O. Show that AA is invertible and express A−1A^{-1} in terms of AA.

Cevabı göster
A−1=3I−AA^{-1} = 3I - A

A2−3A=−I⇒A(A−3I)=−I⇒A(3I−A)=IA^2 - 3A = -I \Rightarrow A(A - 3I) = -I \Rightarrow A(3I - A) = I. Aynı şekilde (3I−A)A=I(3I - A)A = I.
Yani AA tersinir ve A−1=3I−AA^{-1} = 3I - A.
Örnek: A=[1112]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} bu denklemi sağlar, A−1=[2−1−11]=3I−AA^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = 3I - A.

Soru 11zor

If A−1=[2132]A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, find AA and (2AT)−1(2A^T)^{-1}.

Cevabı göster
A=[2−1−32]A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}, (2AT)−1=[13/21/21](2A^T)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3/2 \\ 1/2 & 1 \end{bmatrix}

A=(A−1)−1A = (A^{-1})^{-1}: det⁡=4−3=1\det = 4 - 3 = 1, formülle [2−1−32]\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}.(cM)−1=1cM−1(cM)^{-1} = \frac1c M^{-1} ve (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T: (2AT)−1=12(A−1)T=12[2312](2A^T)^{-1} = \frac12 (A^{-1})^T = \frac12\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.

Soru 12zor

True or false: If AA and BB are invertible n×nn \times n matrices, then A+BA + B is invertible.

Cevabı göster
False

Karşı örnek: A=IA = I, B=−IB = -I. İkisi de tersinir ama A+B=OA + B = O, sıfır matrisin tersi yok.
Çarpım için doğru: ABAB tersinir ve (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Toplam için böyle bir kural yok.

Doğrulama: Bütün ters matrisler node'da [A | I] üzerinde BigInt kesirlerle satır işlemleri adım adım uygulanarak bulundu ve A·A⁻¹ = I çarpımıyla kontrol edildi; tekil örneklerde sıfır satırın oluştuğu gösterildi, AX = B / XA = B çözümleri geri çarpılarak doğrulandı (verify/MAT1041/03.mjs).

Deftere not kartı

A⁻¹: AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Sadece KARE matris; varsa TEK. 2×2: [a b; c d]⁻¹ = 1/(ad-bc) · [d -b; -c a]. ad-bc = 0 → ters yok. 3×3: [A | I] → Gauss-Jordan → [I | A⁻¹]. Solda sıfır satır → TEKİL. Kontrol: A'nın 1. satırı · A⁻¹'in 1. sütunu = 1. Ax = b, A tersinir → x = A⁻¹b (tek çözüm). AX = B → X = A⁻¹B (soldan). XA = B → X = BA⁻¹ (sağdan). (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, (A⁻¹)⁻¹ = A, (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T, (cA)⁻¹ = (1/c)A⁻¹, (A^k)⁻¹ = (A⁻¹)^k (A+B)⁻¹ ≠ A⁻¹ + B⁻¹ ; A+B tersinir olmayabilir. Elementer E = I'ya TEK satır işlemi. EA = A'ya o işlemi uygula. E⁻¹ = işlemi geri al: Ri+cRj ↔ Ri-cRj, cRi ↔ (1/c)Ri, swap ↔ swap. A tersinir ⇔ A ~ I ⇔ Ax=0 sadece 0 ⇔ Ax=b her b için tek çözüm ⇔ A = elementer çarpımı. Kare A için AB = I ise BA = I de doğru (tek taraf yeter).