Oran, kök, karşılaştırma ve alterne seri testleri

Geçen hafta geometrik seri, n. terim testi ve integral testini gördün. İntegral testi güçlü ama integrali alınamayan terimlerde (faktöriyel, $\sin n$, karmaşık kesirler) işe yaramaz. Bu hafta çok daha sık kullanacağın dört aracı ekliyoruz. Sınavın seri kısmı hemen hep “Determine whether the series converges or diverges. Name the test you use.” biçiminde gelir. Doğru testi seçmek işin yarısı; testin koşullarını yazmak diğer yarısı.

Altın kurallar:

1. Önce n. terim testi. Terim sıfıra gitmiyorsa başka teste gerek yok.
2. Faktöriyel ya da üstel ($c^n$, $n^n$) görürsen oran testi. Terimin tamamı $n$. kuvvetse kök testi.
3. Sadece $n$‘nin kuvvetleri, kökleri, logaritmaları varsa karşılaştırma (çoğunlukla limit karşılaştırma) ile p-serisine kıyasla.
4. İşaret değişiyorsa önce mutlak değere bak; mutlak yakınsamıyorsa alterne seri testine geç.
5. Oran ya da kök testi $L=1$ verirse test sonuç vermez. “Converges” ya da “diverges” yazamazsın.

Oran testi (ratio test)

Teorem. $\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert$ olsun.

• $L<1$ ise seri mutlak yakınsar (dolayısıyla yakınsar).
• $L>1$ ya da $L=\infty$ ise ıraksar.
• $L=1$ ise test sonuç vermez (inconclusive).

Sezgi. Büyük $n$ için $a_{n+1}\approx La_n$, yani seri kuyrukta oranı $L$ olan bir geometrik seri gibi davranıyor. Geometrik seri $\lvert r\rvert<1$ iken yakınsıyordu.

Örnek 1. $\displaystyle\sum\frac{2^n}{n!}$.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}\to0<1.$

Yakınsar. Faktöriyel sadeleşmesinde $\dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1}$ kullanıldı. Bunu ve $\dfrac{(2n)!}{(2n+2)!} = \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)}$ kalıbını ezberle.

Örnek 2. $\displaystyle\sum\frac{n^3}{2^n}$. Oran $\dfrac{(n+1)^3}{n^3}\cdot\dfrac12\to\dfrac12$. Yakınsar.

TUZAK · $L=1$. $\sum\frac1n$ (ıraksak) ve $\sum\frac{1}{n^2}$ (yakınsak) ikisi de oran testinde $L=1$ verir. Yani polinom ya da kök içeren rasyonel ifadelerde oran testi hiçbir zaman karar veremez. Bu serilerde zaman kaybetme, karşılaştırmaya geç.

Kök testi (root test)

Teorem. $L = \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$. Sonuçlar oran testiyle aynı: $L<1$ mutlak yakınsar, $L>1$ ıraksar, $L=1$ sonuç yok.

Kök testi, terim $(\ldots)^n$ biçimindeyse rakipsizdir, çünkü $n$. kök üssü yok eder.

Örnek 3. $\displaystyle\sum\left(\frac{n}{3n+1}\right)^n$. $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{n}{3n+1}\to\dfrac13<1$. Yakınsar.

Yardımcı limitler: $\sqrt[n]{n}\to1$, $\sqrt[n]{c}\to1$. Örneğin $\sum\dfrac{n}{2^n}$ için $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{\sqrt[n]n}{2}\to\dfrac12$.

Karşılaştırma testleri

Bu iki test sadece pozitif terimli serilerde kullanılır (en azından bir yerden sonra).

Doğrudan karşılaştırma (direct comparison). Her $n$ için $0\le a_n\le b_n$ ise:

• $\sum b_n$ yakınsar $\Rightarrow$ $\sum a_n$ yakınsar.
• $\sum a_n$ ıraksar $\Rightarrow$ $\sum b_n$ ıraksar.

Örnek 4. $\displaystyle\sum\frac{1}{2^n+5}$. $\dfrac{1}{2^n+5}<\dfrac1{2^n}$ ve $\sum\frac1{2^n}$ yakınsak geometrik seri. Yakınsar.

Limit karşılaştırma (limit comparison). $a_n, b_n>0$ ve

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = c,\qquad 0<c<\infty$

ise $\sum a_n$ ve $\sum b_n$ ya birlikte yakınsar ya birlikte ıraksar. Uç durumlar: $c=0$ ve $\sum b_n$ yakınsak ise $\sum a_n$ yakınsar; $c=\infty$ ve $\sum b_n$ ıraksak ise $\sum a_n$ ıraksar.

$b_n$‘yi nasıl seçersin? Payda ve paydadan sadece en yüksek dereceli terimleri bırak. Sabit katsayıları at.

a_n = (n+1)/(n^3+2)        → baskın: n/n^3 = 1/n^2     → b_n = 1/n^2
a_n = (3n^2 - 1)/sqrt(n^5+n) → baskın: n^2/n^(5/2) = 1/n^(1/2) → b_n = 1/sqrt(n)
a_n = 1/(n - ln n)         → baskın: 1/n               → b_n = 1/n

Örnek 5. $\displaystyle\sum\frac{n+1}{n^3+2}$. $b_n = 1/n^2$: $\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{n^3+n^2}{n^3+2}\to1$. $\sum1/n^2$ yakınsar, seri yakınsar.

İPUCU · neden limit karşılaştırma? Doğrudan karşılaştırmada eşitsizliğin yönü kritik ve çoğu zaman ters çıkar. $\dfrac{1}{n^2-3}>\dfrac{1}{n^2}$, yani yakınsak bir seriden büyük, doğrudan karşılaştırma bir şey söylemez. Limit karşılaştırmada yön önemli değil: oran $1$‘e gidiyor, bitti.

Alterne seri testi (alternating series test)

Teorem (Leibniz). $\sum(-1)^{n+1}b_n$ serisinde

1. $b_n>0$,
2. $b_n$ azalan ($b_{n+1}\le b_n$, bir yerden sonra),
3. $b_n\to0$

ise seri yakınsar.

Örnek 6. Alterne harmonik seri $1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ Üç koşul da sağlanıyor, yakınsar (toplamı $\ln2$). Ama mutlak değeri harmonik seri, ıraksar.

Hata tahmini. Koşullar sağlanıyorsa $s_n$ ile gerçek toplam arasındaki fark, atılan ilk terimden küçüktür:

$\lvert S-s_n\rvert\le b_{n+1}.$

Örnek 7. $\sum\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ toplamını $s_4$ ile hesaplarsan hata en fazla $b_5 = \dfrac{1}{25} = 0.04$.

Mutlak ve koşullu yakınsaklık

Teorem. Mutlak yakınsak her seri yakınsaktır. Bu yüzden işareti düzensiz serilerde ($\sin n$, $\cos n$ içerenler) mutlak değere geçip karşılaştırma yaparsın.

Sınavda “absolutely, conditionally, or diverges?” sorusunun şablonu:

1) lim a_n ≠ 0 ? → diverges (bitti)
2) Σ|a_n| yakınsıyor mu? (p-serisi, karşılaştırma, oran) → evet ise ABSOLUTELY
3) Hayırsa: alterne seri testi (b_n azalan, → 0) → sağlanıyorsa CONDITIONALLY

Hangi test? Karar tablosu

Karışık örnekler: testi seçmek

Örnek 8. $\displaystyle\sum\frac{3^n}{n^2\,4^n}$. Üstel terim var. Oran: $\dfrac34\cdot\dfrac{n^2}{(n+1)^2}\to\dfrac34<1$. Yakınsar. (Doğrudan karşılaştırma da olurdu: $\le(3/4)^n$.)

Örnek 9. $\displaystyle\sum\frac{\sqrt n}{n^2+1}$. Sadece kuvvetler. Baskın: $\dfrac{n^{1/2}}{n^2} = \dfrac{1}{n^{3/2}}$. Limit karşılaştırma oranı $\to1$, $p = \frac32>1$, yakınsar.

Örnek 10. $\displaystyle\sum\frac{(-1)^n n}{n^2+1}$. Mutlak değer $\approx\frac1n$, ıraksar. $b_n = \dfrac{n}{n^2+1}\to0$ ve $x\ge1$ için $f'(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\le0$, azalan. Alterne test sağlanıyor: koşullu yakınsak.

Örnek 11. $\displaystyle\sum\left(1-\frac1n\right)^n$. Kök testine benziyor ama dikkat: terimin kendisi $\to e^{-1}\neq0$. n. terim testiyle ıraksar. Kök testi burada $\sqrt[n]{a_n} = 1-\frac1n\to1$ verir ve susardı; ilk adımı atlasaydın takılırdın.

Sık yapılan hatalar