Kuadratik yüzeyler, çok değişkenli fonksiyonlar ve seviye eğrileri

Çok değişkenli calculus’a giriş haftası. İki iş yapıyoruz. Önce uzaydaki ikinci dereceden yüzeyleri (quadric surfaces) denklemlerinden tanımayı öğreneceksin: sınavda “identify and sketch” sorusu olarak gelir, ayrıca çift katlı integral ve Lagrange sorularında bölgeyi ve kısıtı görmek için gerekir. Sonra $z = f(x,y)$ biçimindeki iki değişkenli fonksiyonlara geçiyoruz: tanım kümesi, görüntü kümesi, seviye eğrileri ve limit. Önümüzdeki hafta kısmi türeve geçtiğimizde bu dil hazır olacak.

Altın kurallar:

1. Bir yüzeyi tanımak için izlerine (traces) bak: $x$, $y$ ya da $z$‘yi sabit tutunca elde edilen düzlem eğrileri.
2. İşaret sayımı: kaç tane eksi işaretli kare var, sağ tarafta $0$ mı $1$ mi, birinci dereceden değişken var mı?
3. Tanım kümesinde kök içi $\ge0$, logaritma içi $>0$, payda $\neq0$.
4. Seviye eğrisi $f(x,y) = c$; bir noktadan geçeni istenirse $c$‘yi o noktadan hesapla.
5. İki değişkenli limitte iki farklı yol farklı sonuç veriyorsa limit yoktur. Ama birkaç yolun aynı sonucu vermesi limitin varlığını KANITLAMAZ.

Kuadratik yüzeyler

Genel biçim: $x$, $y$, $z$‘de ikinci dereceden bir denklem. Bu derste karşına çıkacak altı tip:

$a = b$ ise elipsler daireye döner ve yüzey $z$ ekseni etrafında dönel olur (circular paraboloid, circular cone gibi).

Tanıma şablonu

1) Birinci dereceden bir değişken var mı?  (z = ... ) → paraboloit
     kareler aynı işaretli → eliptik,   zıt işaretli → hiperbolik (eyer)
2) Hepsi kare. Sabit terim 0 mı?  → koni
3) Hepsi kare, sağ taraf 1 (pozitif sabit):
     eksi yok → elipsoit
     bir eksi → tek parçalı hiperboloit
     iki eksi → iki parçalı hiperboloit
4) Eksen: "farklı" olan değişkenin ekseni (eksi işaretli olan, ya da 1. dereceden olan)
5) Bir değişken hiç yoksa → silindir

Örnek 1. $4x^2+y^2+4z^2 = 16$. $16$‘ya böl: $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{z^2}{4} = 1$. Elipsoit; $x$ ve $z$ yönünde yarı eksen $2$, $y$ yönünde $4$. $y$ ekseni boyunca uzamış bir “rugby topu”.

Örnek 2. $y = x^2+z^2$. $y$ birinci dereceden, kareler aynı işaretli: dairesel paraboloit, ekseni $y$ ekseni, $y$‘nin pozitif yönüne açılıyor. $y = 4$ izi $x^2+z^2 = 4$ dairesi.

Örnek 3. $x^2-y^2-z^2 = 1$. İki eksi: iki parçalı hiperboloit, eksen $x$ ekseni (tek pozitif olan). $\lvert x\rvert<1$ için yüzey yok.

TUZAK · eksen hangi değişken? Hiperboloitlerde eksen, işareti diğerlerinden farklı olan değişkenin eksenidir. $x^2+y^2-z^2 = 1$‘de bu $z$; $x^2-y^2-z^2 = 1$‘de $x$. “Eksi işaretli olan” diye ezberlersen ikinci örnekte yanılırsın.

Küre ve tam kareye tamamlama

$(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2 = r^2$, merkezi $(h,k,l)$, yarıçapı $r$ olan küre. Açık yazılmış bir denklemde her değişken için tam kareye tamamla.

Örnek 4. $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z = 2$.

$(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9 = 2\;\Rightarrow\;(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2 = 16.$

Merkez $(1,-2,3)$, yarıçap $4$. Kontrol: $(5,-2,3)$ merkezden $4$ birim uzakta, denklemi sağlamalı: $25+4+9-10-8-18 = 2$ ✓.

Çok değişkenli fonksiyonlar

$f(x,y)$, düzlemdeki her $(x,y)$ noktasına bir sayı atar. Grafiği uzayda $z = f(x,y)$ yüzeyidir. Tanım kümesi (domain): formülün anlamlı olduğu noktalar. Görüntü kümesi (range): alınan değerler.

Tanım kümesini çizerken sınırın dahil olup olmadığını belirt: $\ge$ ise kesiksiz çizgi (kapalı), $>$ ise kesikli çizgi (açık).

Seviye eğrileri (level curves)

$f(x,y) = c$ denklemini sağlayan noktaların kümesi bir seviye eğrisidir. Farklı $c$ değerleri için çizilen seviye eğrilerinin hepsine kontur haritası (contour map) denir; haritalardaki eş yükselti eğrileri tam olarak bu.

Örnek 5. $f(x,y) = x^2+y^2$: seviye eğrileri $x^2+y^2 = c$, merkezli daireler ($c>0$). Daireler $c$ eşit aralıklarla artarken birbirine yaklaşır, çünkü paraboloit dışa doğru dikleşir.

Örnek 6. $f(x,y) = y-x^2$: seviye eğrileri $y = x^2+c$, yukarı kaydırılmış paraboller.

Örnek 7. $f(x,y) = y^2-x^2$: $c\neq0$ için hiperboller, $c=0$ için $y = \pm x$ doğruları. Eyer yüzeyinin kontur haritası.

Üç değişkenli $f(x,y,z)$ için aynı fikir seviye yüzeyi (level surface) verir: $f(x,y,z) = c$. $x^2+y^2+z^2 = c$ eş merkezli küreler.

İPUCU · kontur yoğunluğu. Kontur çizgilerinin sık olduğu yerde fonksiyon hızlı değişir (yüzey dik), seyrek olduğu yerde yavaş değişir. 10. haftadaki gradient vektörü tam bu bilgiyi verir ve seviye eğrisine her zaman diktir.

Limit ve süreklilik

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y) = L$ demek, $(x,y)$ noktası $(a,b)$‘ye hangi yoldan yaklaşırsa yaklaşsın $f$‘nin $L$‘ye gitmesi demek. Tek değişkende sadece iki yön (sağ, sol) vardı; düzlemde sonsuz yol var.

Süreklilik. Polinomlar, tanım kümelerinde rasyonel fonksiyonlar ve bunların $\sin$, $e^x$, $\ln$, $\sqrt{\ }$ ile bileşkeleri süreklidir. Sürekli bir fonksiyonda limit = yerine koymak: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{x^2+3y}{x+y} = \frac{7}{3}$.

İki yol testi (two-path test)

İki farklı yol boyunca farklı limitler çıkıyorsa limit yoktur.

Örnek 8. $\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$, $(0,0)$‘da. $x$ ekseni ($y=0$): $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$. $y$ ekseni ($x=0$): $\dfrac{-y^2}{y^2} = -1$. Limit yok.

Örnek 9 (doğrular yetmez). $\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. Her $y = mx$ doğrusu boyunca $\dfrac{mx^3}{x^4+m^2x^2} = \dfrac{mx}{x^2+m^2}\to0$. Ama $y = x^2$ parabolü boyunca $\dfrac{x^4}{2x^4} = \dfrac12$. Limit yok. Doğrularla sonuç alamazsan pay ve paydanın derecesini eşitleyen bir eğri dene.

Limitin var olduğunu göstermek

Yollar aynı sonucu veriyorsa limiti sıkıştırma ile kanıtla: $\lvert f(x,y)-L\rvert\le g(x,y)$ ve $g\to0$. Kutupsal koordinat da işe yarar: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ koy; ifade $\theta$‘dan bağımsız olarak $r\to0$ iken $0$‘a gidiyorsa limit $0$.

Sık yapılan hatalar