Ölçüm, birimler ve boyut analizi

Fizik I’in ilk haftası hafif görünür ama vizede en hızlı puan buradan gelir. Bir birim dönüşümü ya da “units of b?” sorusu bir dakikada biter. Ayrıca burada öğrendiğin birim kontrolü, ileride her soruda yanlış şıkları elemeye yarar: ivme sorusunda cevabı m/s çıkan formül yanlıştır, bitti.

Bu sayfadan çıkman gereken beş kural:

1. Her sayının birimi vardır. Birimi hesap boyunca taşı, sadeleştir, sonuçta kontrol et.
2. Toplanan iki terim aynı boyutta olmalı. Elma ile armut toplanmaz; metre ile saniye de.
3. Dönüşüm = 1 ile çarpmak. $\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}$ bir kesirdir ve değeri 1’dir.
4. Kare ve küp birimlerde dönüşüm faktörü de kare/küp olur. $1\,\text{m}^3 = 10^6\,\text{cm}^3$, $10^2$ değil.
5. Anlamlı rakam: çarpmada en az anlamlı rakam, toplamada en az ondalık basamak kazanır.

SI birimleri ve temel büyüklükler

Mekanikte üç temel büyüklük (base quantity) var. Diğer her şey bunlardan türetilir.

Türetilmiş büyüklükler bu üçünün çarpımıdır: hız $[v] = \text{L/T}$, ivme $[a] = \text{L/T}^2$, kuvvet $[F] = \text{M L T}^{-2}$, yoğunluk $[\rho] = \text{M/L}^3$.

$1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2 \qquad 1\,\text{J} = 1\,\text{N}\cdot\text{m} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}^2$

Köşeli parantez $[\;]$ “boyutu” demek. $[F]$ = kuvvetin boyutu.

Ön ekler (prefixes)

Sınavda veri genelde ön ekli gelir (5.0 mm, 250 g, 3.0 μs). Formüle koymadan önce SI’ya çevir. g’yi kg’a çevirmeyi unutmak en sık kaybedilen puan.

Birim dönüşümü (conversion of units)

Yöntem: istemediğin birimi sadeleştiren, değeri 1 olan kesirlerle çarp.

Örnek 1. 90 km/h kaç m/s?

$90\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\frac{1000\,\text{m}}{1\,\text{km}}\cdot\frac{1\,\text{h}}{3600\,\text{s}} = \frac{90\,000}{3600}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 25\,\text{m/s}$

Kısa yol: km/h → m/s için 3.6’ya böl, m/s → km/h için 3.6 ile çarp. Hangisi? Sağduyu: m/s sayısı her zaman km/h sayısından küçüktür.

Alan ve hacimde dönüşüm

Birim karesi alınınca dönüşüm kesrinin de karesi alınır:

$1\,\text{m}^3 = (100\,\text{cm})^3 = 10^6\,\text{cm}^3 \qquad 1\,\text{cm}^2 = (10^{-2}\,\text{m})^2 = 10^{-4}\,\text{m}^2$

Ayrıca $1\,\text{L} = 1000\,\text{cm}^3 = 10^{-3}\,\text{m}^3$.

TUZAK · küpü unutmak. 5000 cm³’ü m³’e çevirirken 100’e bölüp 50 m³ yazmak. Doğrusu $5000/10^6 = 5.0\times10^{-3}\,\text{m}^3$. Bir kova su 50 m³ olamaz; sağduyu kontrolü bu hatayı yakalar.

Yoğunluk ve atom kütlesi

Yoğunluk (density) birim hacimdeki kütle:

$\rho = \frac{m}{V} \qquad [\rho] = \text{kg/m}^3$

Pratik birim g/cm³: $1\,\text{g/cm}^3 = \dfrac{10^{-3}\,\text{kg}}{10^{-6}\,\text{m}^3} = 1000\,\text{kg/m}^3$. Su yaklaşık 1.00 g/cm³, alüminyum 2.70, demir 7.86, bakır 8.92.

Örnek 2. Yarıçapı 1.50 cm, yüksekliği 4.00 cm olan katı silindirin kütlesi 76.3 g. Yoğunluğu?

V = π r² h = π (1.50 cm)² (4.00 cm) = 28.3 cm³
ρ = m / V = 76.3 g / 28.3 cm³ = 2.70 g/cm³
SI: 2.70 × 1000 = 2.70 × 10³ kg/m³   (alüminyum)

Atom kütlesi (atomic mass) ve mol: bir elementin molar kütlesi $M$ (g/mol), 1 mol atomun gram cinsinden kütlesidir. 1 mol = $N_A = 6.022\times10^{23}$ tane.

$n = \frac{m}{M} \qquad N = n\,N_A$

Alüminyumun $M = 27.0$ g/mol. 27.0 g alüminyumda $6.022\times10^{23}$ atom var. Bir atomun kütlesi: $27.0\,\text{g} / 6.022\times10^{23} = 4.48\times10^{-23}\,\text{g}$.

Boyut analizi (dimensional analysis)

Bir denklemin iki tarafının, ve toplanan her terimin, boyutu aynı olmak zorunda. Bu basit kural üç tip soru üretir.

Tip 1: Sabitin birimi

$x = pt^2 + qt^4$ ($x$ metre, $t$ saniye). Her terim metre olmalı:

$[p]\,\text{s}^2 = \text{m} \Rightarrow [p] = \text{m/s}^2 \qquad [q]\,\text{s}^4 = \text{m} \Rightarrow [q] = \text{m/s}^4$

Tip 2: Denklem boyutça doğru mu?

$x = v_0 t + \tfrac12 a t^2$: $[v_0 t] = \tfrac{\text{L}}{\text{T}}\cdot\text{T} = \text{L}$, $[at^2] = \tfrac{\text{L}}{\text{T}^2}\cdot\text{T}^2 = \text{L}$. Hepsi L, denklem boyutça tutarlı. $\tfrac12$ boyutsuz olduğundan bu analiz onu göremez.

TUZAK · boyutça doğru ≠ doğru. $x = v_0 t + 2at^2$ da boyutça doğrudur ama fiziksel olarak yanlıştır. Boyut analizi sayısal katsayıları (½, 2, π) bulamaz; sadece yanlış denklemleri eler.

Tip 3: Üsleri bulmak

Örnek 3. Sarkacın periyodu $T = k\,L^a g^b$ biçiminde olsun ($k$ boyutsuz). $a$ ve $b$?

Adım 1. Her şeyi temel boyutlara aç:

$\text{T}^1 = \text{L}^a\,(\text{L}\,\text{T}^{-2})^b = \text{L}^{a+b}\,\text{T}^{-2b}$

Adım 2. Her temel boyutun üssünü eşitle:

L:  0 = a + b
T:  1 = -2b      →  b = -1/2
                  →  a = +1/2

Sonuç: $T = k\sqrt{L/g}$. (Gerçek formülde $k = 2\pi$; boyut analizi bunu veremez.) M bu denklemde hiç yok; periyodun kütleye bağlı olmadığını da böylece görürsün.

Anlamlı rakamlar (significant figures)

Ölçüm sonucu, ölçüm aletinin hassasiyetinden fazlasını iddia edemez.

Sayma kuralları:

İşlem kuralları:

• Çarpma ve bölme: sonuç, en az anlamlı rakamı olan veri kadar anlamlı rakam taşır. $3.47 \times 2.1 = 7.287 \to 7.3$.
• Toplama ve çıkarma: sonuç, en az ondalık basamağı olan veri kadar ondalık taşır. $12.4 + 0.356 + 101 = 113.756 \to 114$.

İPUCU · ara adımda yuvarlama. Ara sonuçları hesap makinesinde tam bırak, sadece son cevabı yuvarla. Her adımda yuvarlarsan son basamak kayar ve şıklardan biriyle tutmayabilir.

Büyüklük mertebesi (order of magnitude)

Bir sayının 10’un en yakın kuvveti. $8.3\times10^4 \to 10^5$, $2.1\times10^{-3} \to 10^{-3}$. Fermi tipi tahminlerde ve şık elemede işe yarar: bir arabanın kütlesi $\sim10^3$ kg, bir insanın boyu $\sim10^0$ m.

Sık yapılan hatalar