PHY1001 · 3. hafta · Motion in one Dimension: Introduction, speed, position vector, displacement vector, average velocity, Instantaneous velocity, Acceleration, One-Dimensional Motion with constant acceleration, Freely Falling Objects.

Bir boyutta hareket ve serbest düşme

Konum, yer değiştirme, ortalama ve anlık hız, ivme, sabit ivmeli hareketin dört denklemi, grafik okuma ve serbest düşme. Vizede yaklaşık 4 soru.

positiondisplacementdistanceaverage velocityaverage speedinstantaneous velocityaccelerationconstant accelerationfree fallkinematic equations

Kinematik (kinematics) hareketi nedenine bakmadan tarif eder: cisim nerede, ne kadar hızlı, hızı nasıl değişiyor. Bu hafta tek boyuttayız: hareket bir doğru üzerinde, yön sadece $+$ veya $-$ işaretiyle gösteriliyor. Vizede tipik olarak 4 soru gelir: $x(t)$ ‘den türev, frenleme, serbest düşme, $v$ – $t$ grafiği.

Altın kurallar:

Önce eksen ve pozitif yön seç. Serbest düşmede genelde yukarı $+$ , o zaman $a = -g$ .
Dört sabit ivme denkleminden, eksik olan büyüklüğe göre seç. Süre sorulmuyorsa $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ .
Hız sıfır, ivme sıfır demek değil. Tepe noktasında $v = 0$ , $a = -g$ .
$v$ – $t$ grafiğinin altındaki alan yer değiştirmedir.
Birimi çevir: km/h ile formüle girilmez.

Konum, yer değiştirme, yol

Konum (position) $x$ , cismin seçtiğin orijine göre yeri. Yer değiştirme (displacement) $\Delta x = x_f - x_i$ , işaretli bir büyüklük. Yol (distance) ise gidilen toplam uzunluk, hep pozitif.

Örnek: 120 m doğuya, sonra 40 m batıya giden koşucu. $\Delta x = +80$ m, yol = 160 m.

Ortalama ve anlık hız

$\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad \text{ortalama sürat (average speed)} = \frac{\text{toplam yol}}{\Delta t}$

Anlık hız (instantaneous velocity), $\Delta t \to 0$ limitinde ortalama hız, yani konumun türevi:

$v = \frac{dx}{dt}$

Grafikte: $x$ – $t$ eğrisinin bir noktadaki teğetinin eğimi o andaki hız. Sürat (speed) hızın büyüklüğü $|v|$ .

İvme (acceleration)

$\bar a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \qquad [a] = \text{m/s}^2$

İvmenin işareti “hızlanıyor mu” sorusunun cevabı değil. $a$ ile $v$ aynı işaretliyse cisim hızlanır, zıt işaretliyse yavaşlar. Negatif yönde gidip negatif ivmeye sahip cisim hızlanıyordur.

Örnek 1. $x(t) = 2t^2 - 8t + 3$ (m, s). Ne zaman durur? 0 ile 4 s arasında yer değiştirme ve yol?

v = dx/dt = 4t - 8          v = 0  →  t = 2 s (dönüş noktası)
a = dv/dt = 4 m/s²          (sabit)
x(0) = 3 m,  x(2) = -5 m,  x(4) = 3 m
Δx (0→4) = 3 - 3 = 0
yol      = |(-5) - 3| + |3 - (-5)| = 8 + 8 = 16 m

Yön değiştiren harekette yolu bulmak için dönüş noktalarında böl. $x(4) - x(0)$ sana sadece yer değiştirmeyi verir.

Sabit ivmeli hareket

$a$ sabitken dört denklem var. Her birinde beş büyüklükten ( $\Delta x, v_0, v, a, t$ ) biri eksik:

Denklem	Eksik olan	Ne zaman
$v = v_0 + at$	$\Delta x$	konum sorulmuyor
$\Delta x = v_0t + \tfrac12at^2$	$v$	son hız bilinmiyor
$v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$	$t$	süre yok (frenleme mesafesi)
$\Delta x = \tfrac12(v_0 + v)\,t$	$a$	ivme bilinmiyor

Yöntem: bilinenleri ve isteneni listele, listede olmayan büyüklüğü içermeyen denklemi seç.

Örnek 2. 25 m/s giden araba $4.0\,\text{m/s}^2$ ile yavaşlıyor. Kaç saniyede ve kaç metrede durur?

Bilinen: v0 = 25 m/s, v = 0, a = -4.0 m/s²
t:   0 = 25 + (-4.0) t        →  t = 6.25 s
Δx:  0 = 25² + 2(-4.0) Δx     →  Δx = 625 / 8.0 = 78.1 m
kontrol: Δx = ½ (25 + 0)(6.25) = 78.1 m

TUZAK · frenlemede ivmenin işareti. Hareket yönü $+$ ise yavaşlayan cismin $a$ ‘sı negatif. $a = +4.0$ koyarsan $v^2 = 625 + 8\Delta x$ olur ve $\Delta x$ negatif çıkar. Negatif mesafe gördüğün an işareti kontrol et.

İki cisim problemi

Yakalama sorularında her cisim için ayrı $x(t)$ yaz, aynı orijin ve aynı saat ile. Sonra $x_A(t) = x_B(t)$ çöz. Hızların eşit olduğu an, yakalama anı değil, aradaki mesafenin en büyük (ya da en küçük) olduğu an.

Grafik okuma

Grafik	Eğim	Alan
$x$ – $t$	hız $v$	anlamsız
$v$ – $t$	ivme $a$	yer değiştirme $\Delta x$
$a$ – $t$	anlamsız	hız değişimi $\Delta v$

$v$ – $t$ grafiğinde eksenin altındaki alan negatif yer değiştirme. Yol isteniyorsa alanların mutlak değerini topla.

Serbest düşme (free fall)

Hava direncini ihmal edince, Dünya yüzeyine yakın her cisim aynı ivmeyle düşer: $g = 9.80\,\text{m/s}^2$ , aşağı yönde. Kütleden bağımsız. Yukarı $+$ seçince sabit ivme denklemleri $a = -g$ ile kullanılır:

$v = v_0 - gt \qquad y = y_0 + v_0t - \tfrac12gt^2 \qquad v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$

Yukarı atılan cisim için hazır sonuçlar ( $v_0$ yukarı):

$t_{\text{tepe}} = \frac{v_0}{g} \qquad H = \frac{v_0^2}{2g} \qquad t_{\text{dönüş}} = \frac{2v_0}{g}$

Atış noktasına geri döndüğünde sürat yine $v_0$ , yön aşağı. Hareket simetrik.

Örnek 3. 20.0 m yüksek çatıdan top 15.0 m/s ile yukarı atılıyor, aşağıda yere düşüyor. Tepe yüksekliği, uçuş süresi ve yere çarpma hızı?

Yukarı +, çatı y = 0, yer y = -20.0 m, a = -9.80 m/s²
t_tepe = 15.0 / 9.80 = 1.53 s
H      = 15.0² / (2 × 9.80) = 11.5 m (çatının üstünde)
Yer:  -20.0 = 15.0 t - 4.90 t²   →   4.90 t² - 15.0 t - 20.0 = 0
t = [15.0 + √(225 + 392)] / 9.80 = 4.07 s   (negatif kök atılır)
v = 15.0 - 9.80 × 4.07 = -24.8 m/s   (aşağı)
kontrol: v² = 15.0² + 2(9.80)(20.0)  →  |v| = 24.8 m/s

TUZAK · “dropped” ile “thrown down”. “Dropped” demek $v_0 = 0$ . “Thrown downward at 8 m/s” ise yukarı $+$ ekseninde $v_0 = -8$ m/s. İşareti karıştırınca ikinci derece denklemin kökü bambaşka çıkar ve şıklarda o yanlış cevap hazır bekler.

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
Ortalama hız = süratlerin ortalaması	toplam yer değiştirme / toplam süre
Yol = $x(t_2) - x(t_1)$	yön değişiyorsa dönüş noktalarında böl, mutlak değerleri topla
$v = 0$ ise $a = 0$	tepe noktasında $a = -g$
Negatif ivme = yavaşlıyor	$a$ ve $v$ zıt işaretliyse yavaşlar
Frenlemede $a$ ‘yı pozitif koymak	hareket $+$ ise $a < 0$
72 km/h’i doğrudan koymak	20 m/s
Binadan atışta yeri $y = +h$ almak	yukarı $+$ ise yer $y = -h$
İkinci derece denklemin negatif kökü	fiziksel kök $t > 0$ olan
Yakalama anı = hızların eşit olduğu an	konumları eşitle
$v$ – $t$ grafiğinde eğim = yer değiştirme	eğim ivme, alan yer değiştirme

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1orta

A particle moves along the x axis according to $x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$ ( $x$ in m, $t$ in s). What is its acceleration the first time (t > 0) it is momentarily at rest?

0
12 m/s²
−12 m/s²
−18 m/s²
6 m/s²

Cevabı göster

C) −12 m/s²

$v = dx/dt = 3t^2 - 18t + 15 = 3(t-1)(t-5)$ , yani $v = 0$ olduğu ilk an $t = 1$ s. $a = dv/dt = 6t - 18$ , $a(1) = -12\,\text{m/s}^2$ . (a) "durdu, ivme de sıfır" yanılgısı. (b) ikinci duruş anı $t = 5$ s. (d) $t = 0$ anındaki ivme.

Soru 2kolay

A runner jogs 120 m east in 20 s, then turns and jogs 40 m west in 10 s. What is her average velocity for the whole trip?

5.33 m/s east
5.00 m/s east
2.67 m/s east
4.00 m/s east
2.67 m/s west

Cevabı göster

C) 2.67 m/s east

Ortalama hız = yer değiştirme / toplam süre. $\Delta x = 120 - 40 = 80$ m doğu, $\Delta t = 30$ s, $\bar v = 2.67$ m/s doğu. (a) ortalama sürat (160 m / 30 s). (b) iki süratin aritmetik ortalaması. (d) toplam süre yerine ilk süre.

Soru 3kolay

A car moving at 72 km/h brakes uniformly and stops in 40 m. What is the magnitude of its acceleration?

64.8 m/s²
10.0 m/s²
0.50 m/s²
5.0 m/s²
2.5 m/s²

Cevabı göster

D) 5.0 m/s²

Süre verilmiyor: $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ . $v_0 = 72/3.6 = 20$ m/s, $0 = 400 + 2a(40) \Rightarrow a = -5.0\,\text{m/s}^2$ . (a) km/h çevrilmemiş ( $72^2/80$ ). (b) 2 çarpanı unutulmuş. (c) $v/\Delta x$ , birimi bile 1/s.

Soru 4kolay

A stone is dropped from rest from a height of 45.0 m. Ignoring air resistance, with what speed does it hit the ground?

21.0 m/s
29.7 m/s
882 m/s
14.8 m/s
3.03 m/s

Cevabı göster

B) 29.7 m/s

$v^2 = 0 + 2gh = 2(9.80)(45.0) = 882\,\text{m}^2/\text{s}^2$ , $v = 29.7$ m/s. (c) karekök alınmamış. (a) 2 unutulmuş ( $\sqrt{gh}$ ). (e) düşme süresi, hız değil. (d) $gt/2$ , ortalama hız.

Soru 5kolay

A ball is thrown straight up with an initial speed of 18.0 m/s. What maximum height does it reach above the launch point?

16.5 m
33.1 m
1.84 m
8.27 m
18.0 m

Cevabı göster

A) 16.5 m

Tepede $v = 0$ . $0 = v_0^2 - 2gH \Rightarrow H = \dfrac{18.0^2}{2(9.80)} = 16.5$ m. (b) 2 unutulmuş. (c) tepeye çıkış süresi (s), yükseklik değil. (d) bir kez daha 2'ye bölünmüş.

Soru 6orta

A ball is thrown upward at 8.00 m/s from a bridge 30.0 m above a river. It misses the bridge on the way down. How long after the throw does it hit the water?

2.47 s
1.79 s
0.816 s
3.42 s
1.63 s

Cevabı göster

D) 3.42 s

Yukarı +, köprü $y = 0$ , su $y = -30.0$ m. $-30.0 = 8.00t - 4.90t^2 \Rightarrow 4.90t^2 - 8.00t - 30.0 = 0$ . $t = \dfrac{8.00 + \sqrt{64.0 + 588}}{9.80} = 3.42$ s. (a) top bırakılsaydı ( $\sqrt{2h/g}$ ). (b) aşağı atılsaydı ( $v_0$ işareti ters). (c) tepeye çıkış. (e) köprü seviyesine dönüş.

Soru 7orta

An object starts from rest. Its velocity increases uniformly to 16 m/s in 5.0 s, stays constant until t = 11 s, then decreases uniformly to zero at t = 15 s. What is its displacement from t = 0 to t = 15 s?

240 m
136 m
208 m
168 m
96 m

Cevabı göster

D) 168 m

$v$ – $t$ grafiğinin altındaki alan: üçgen $\tfrac12(5)(16) = 40$ m, dikdörtgen $(6)(16) = 96$ m, üçgen $\tfrac12(4)(16) = 32$ m. Toplam 168 m. (a) tüm süre boyunca 16 m/s sanmak. (b) son üçgen unutulmuş. (c) ilk üçgen dikdörtgen sayılmış. (e) sadece sabit hız bölümü.

Soru 8orta

Car A starts from rest at a traffic light with acceleration 2.0 m/s² at the instant car B passes it moving at a constant 15 m/s. When does car A catch car B?

7.5 s
15 s
30 s
3.9 s
11 s

Cevabı göster

B) 15 s

Aynı konum: $\tfrac12(2.0)t^2 = 15t \Rightarrow t(t - 15) = 0 \Rightarrow t = 15$ s (o anda 225 m'de). (a) hızların eşit olduğu an; o anda A hâlâ geride ve aradaki mesafe en büyük. Aynı 7.5 s, ½ unutulup $2t^2 = 15t$ yazılınca da çıkar. (d) $\sqrt{15} = 3.9$ s, denklemi $t^2 = 15$ diye kurmaktan gelir.

Soru 9kolay

A ball is thrown straight up. At the highest point of its path, which statement is correct (ignore air resistance)?

Its velocity and acceleration are both zero.
Its velocity is zero and its acceleration is 9.80 m/s² downward.
Its velocity is zero and its acceleration is 9.80 m/s² upward.
Its velocity is 9.80 m/s downward and its acceleration is zero.
Its acceleration changes direction at that point.

Cevabı göster

B) Velocity zero, acceleration 9.80 m/s² downward

Tepede hız sıfırdan geçer ama ivme yerçekiminden gelir ve hareket boyunca sabittir: $9.80\,\text{m/s}^2$ aşağı. İvme sıfır olsaydı top tepede asılı kalırdı.

Soru 10zor

A model rocket is launched vertically from rest with a constant upward acceleration of 3.0 m/s² for 10 s, after which its engine stops. What maximum height above the ground does it reach?

Cevabı göster

196 m

1. aşama: $y_1 = \tfrac12(3.0)(10)^2 = 150$ m, $v_1 = (3.0)(10) = 30$ m/s. 2. aşama serbest hareket, motor kapalı ama roket hâlâ yukarı gidiyor: ek yükseklik $v_1^2/(2g) = 900/19.6 = 45.9$ m. Toplam $150 + 45.9 = 196$ m. Tuzak: motor kapandığı an tepe sanmak (150 m).

Soru 11kolay

An object's velocity changes from +12 m/s to −8.0 m/s in 4.0 s. What is its average acceleration?

Cevabı göster

−5.0 m/s²

$\bar a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{-8.0 - 12}{4.0} = -5.0\,\text{m/s}^2$ . İşaret önemli: hız vektör, $-8$ ile $8$ farklı. Büyüklükleri çıkarırsan ( $8 - 12$ ) yanlış olarak $-1.0$ bulursun.

Soru 12kolay

A stone dropped from rest into a deep well hits the water 2.50 s later. Neglecting the travel time of sound, how deep is the surface of the water below the release point?

Cevabı göster

30.6 m

$h = \tfrac12 g t^2 = \tfrac12(9.80)(2.50)^2 = 30.6$ m.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar ve çeldiriciler node ile hesaplandı (verify/PHY1001/03.mjs), g = 9.80 m/s²; türevler sayısal türevle, ikinci dereceden denklemler kök formülüyle kontrol edildi.

Deftere not kartı

Yer değiştirme Δx = x_son − x_ilk (işaretli) yol (distance) ≥ |Δx| Ortalama hız = Δx/Δt ortalama sürat = toplam yol/Δt v = dx/dt a = dv/dt "at rest / turns around" → v = 0 çöz SABİT a (eksik olana göre seç): v = v0 + at (Δx yok) Δx = v0 t + ½ a t² (v yok) v² = v0² + 2aΔx (t yok: frenleme!) Δx = ½ (v0 + v) t (a yok) Grafik: x–t eğimi = v; v–t eğimi = a; v–t ALANI = Δx Serbest düşme: a = −g = −9.80 m/s² (yukarı +) Tepede v = 0 ama a = −g; H = v0²/2g; t_tepe = v0/g Aynı seviyeye dönüş: 2 v0/g, hız aynı büyüklükte, ters yönde Binadan atış: y = −h koy, ikinci derece denklem, POZİTİF kök km/h → m/s: 3.6'ya böl; frenlemede a ile v zıt işaretli