Eğik atış, düzgün dairesel hareket ve bağıl hız

Bu hafta iki boyutlu kinematiğin üç klasik uygulaması var: eğik atış (projectile motion), düzgün dairesel hareket (uniform circular motion) ve bağıl hız (relative velocity). Üçü de vizede bedava puanlık soru tipleri. Hepsinin temeli geçen haftanın kuralı: $x$ ve $y$ bağımsız, ortak olan tek şey zaman.

Altın kurallar:

1. Eğik atışta yatay ivme sıfır, dikey ivme $-g$. Yatay hız uçuş boyunca sabit.
2. Menzil formülü $R = v_0^2\sin2\theta/g$ sadece iniş seviyesi atış seviyesine eşitse geçerli.
3. Tepe noktasında sadece $v_y = 0$. Sürat $v_0\cos\theta$, ivme hâlâ $g$.
4. Sabit süratle dönen cismin ivmesi var, merkeze doğru ve $v^2/r$.
5. Bağıl hızda alt indisleri zincir gibi bağla: $\vec v_{PA} = \vec v_{PB} + \vec v_{BA}$.

Eğik atış

Hava direnci yok, $g$ sabit. Atış noktası orijin, yukarı $+$. Başlangıç hızı $v_0$, yataydan $\theta$ açısıyla:

$v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$

$x = v_{0x}\,t \qquad y = v_{0y}\,t - \tfrac12gt^2 \qquad v_x = v_{0x} \qquad v_y = v_{0y} - gt$

Yörünge (trajectory) bir parabol. Herhangi bir anda sürat $\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, yön $\tan^{-1}(v_y/v_x)$.

Aynı seviyeye inen atış için hazır sonuçlar

$t_{\text{tepe}} = \frac{v_0\sin\theta}{g} \qquad H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g} \qquad T_{\text{uçuş}} = \frac{2v_0\sin\theta}{g} \qquad R = \frac{v_0^2\sin2\theta}{g}$

$R$ en büyük değerini $\theta = 45^\circ$‘de alır. Tümler açılar ($30^\circ$ ve $60^\circ$ gibi) aynı menzili verir; yüksek açı daha uzun uçar.

Örnek 1. Futbol topu düz zeminden 22.0 m/s ile, yataydan $40.0^\circ$ yukarı vuruluyor.

v0x = 22.0 cos 40.0° = 16.9 m/s       v0y = 22.0 sin 40.0° = 14.1 m/s
t_tepe = 14.1 / 9.80 = 1.44 s
H      = 14.1² / (2 × 9.80) = 10.2 m
T      = 2 × 1.44 = 2.89 s
R      = 22.0² sin 80.0° / 9.80 = 48.6 m
kontrol: R = v0x × T = 16.9 × 2.89 = 48.6 m

Yatay atış (horizontal launch)

Cisim $h$ yükseklikten yatay $v_0$ ile çıkıyor: $v_{0y} = 0$. Düşme süresi yatay hızdan bağımsız, sanki bırakılmış gibi:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \qquad x = v_0\,t$

Örnek 2. 12.0 m yükseklikten yatay 8.0 m/s ile atılan taş.

t  = √(2 × 12.0 / 9.80) = 1.56 s
x  = 8.0 × 1.56 = 12.5 m
vy = 9.80 × 1.56 = 15.3 m/s (aşağı),  vx = 8.0 m/s
v  = √(8.0² + 15.3²) = 17.3 m/s,  yatayın tan⁻¹(15.3/8.0) = 62.4° altında

TUZAK · menzil formülünü yanlış yerde kullanmak. Uçurumdan, binadan ya da masadan yapılan atışta iniş noktası atış noktasından aşağıda. $R = v_0^2\sin2\theta/g$ burada yanlış sonuç verir ve şıklarda o yanlış sonuç mutlaka vardır. Bu durumda $y = -h$ yazıp ikinci derece denklemi çöz, pozitif kökü al, sonra $x = v_{0x}t$.

Düzgün dairesel hareket

Cisim $r$ yarıçaplı çemberde sabit süratle dönüyor. Hız teğet doğrultuda ve yönü sürekli değişiyor, bu yüzden ivme var. Bu ivme her an çemberin merkezine doğru: merkezcil ivme (centripetal acceleration).

$a_c = \frac{v^2}{r} \qquad v = \frac{2\pi r}{T} \qquad a_c = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

$T$ periyot (bir tur süresi, s), $f = 1/T$ frekans (tur/s, Hz).

Örnek 3. Yarıçapı 12 m olan dönme dolap bir turu 40 s’de atıyor. Kabindeki yolcunun sürati ve ivmesi?

v   = 2π(12) / 40 = 1.88 m/s
a_c = v² / r = 1.88² / 12 = 0.296 m/s²   (merkeze doğru)
kontrol: 4π²(12) / 40² = 0.296 m/s²

Teğetsel ve radyal ivme

Sürat de değişiyorsa ivmenin iki dik bileşeni olur:

$a_r = \frac{v^2}{r}\ \ (\text{merkeze doğru}) \qquad a_t = \frac{d|\vec v|}{dt}\ \ (\text{hıza paralel}) \qquad a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$

Hızlanırken $a_t$ hızla aynı yönde, yavaşlarken zıt yönde. Düzgün dairesel harekette $a_t = 0$.

Bağıl hız (relative velocity)

Hız, ölçen gözlemciye (reference frame) göre değişir. $P$ parçacığının $A$ gözlemcisine göre hızı, $B$‘ye göre hızı ile $B$‘nin $A$‘ya göre hızının vektör toplamı:

$\vec v_{PA} = \vec v_{PB} + \vec v_{BA} \qquad \vec v_{AB} = -\vec v_{BA}$

İç indisler (B) “sadeleşir” gibi düşün. Sabit hızla hareket eden gözlemciler aynı ivmeyi ölçer.

Örnek 4. 60 m genişliğindeki nehir 2.0 m/s akıyor. Tekne suya göre 4.0 m/s.

Durum A, tekne burnunu tam karşıya tutuyor:

karşıya geçiş süresi: sadece dik bileşen  →  t = 60 / 4.0 = 15 s
sürüklenme (downstream): 2.0 × 15 = 30 m
yere göre sürat: √(4.0² + 2.0²) = 4.47 m/s

Durum B, tekne tam karşıdaki noktaya varmak istiyor:

burun akıntıya karşı φ açısıyla:  4.0 sin φ = 2.0   →  φ = 30°
yere göre hız (dik): √(4.0² - 2.0²) = 3.46 m/s
t = 60 / 3.46 = 17.3 s   (A'dan daha uzun)

TUZAK · nehirde hangisi hipotenüs? Durum A’da teknenin suya göre hızı bir dik kenar, yere göre hız hipotenüs. Durum B’de teknenin suya göre hızı hipotenüs, yere göre hız dik kenar. Önce vektör üçgenini çiz, hangi vektörün tam karşıyı gösterdiğine bak.

Sık yapılan hatalar