Newton'un hareket yasaları

Bu haftaya kadar hareketi sadece anlattık (kinematik). Newton yasaları ise hareketin nedenini verir: kuvvet (force). Sınavda bu konu iki şekilde çıkar. Ya bir kavram sorusu (“net kuvvet nedir, etki-tepki hangi cisimlere etki eder”) ya da serbest cisim diyagramı çizip $\sum \vec F = m\vec a$ yazdığın bir hesap sorusu. İkisi de az formülle çok puan getirir.

Altın kurallar:

1. Her soruda önce serbest cisim diyagramı (free-body diagram). Diyagramsız denklem yazma.
2. Kuvvetler vektördür. Bileşenlere ayır, her eksende ayrı $\sum F = ma$ yaz.
3. Sabit hız = sıfır net kuvvet. Hareket etmek kuvvet gerektirmez, hızın değişmesi gerektirir.
4. Etki-tepki çifti farklı cisimlerde. Aynı diyagramda asla birlikte görünmez.
5. Kütle (kg) ve ağırlık (N) farklı şeyler. $W = mg$.

Kuvvet ve net kuvvet

Kuvvet, bir cismin hareket durumunu değiştirebilen etkidir. Birimi newton: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$. Bir cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa önemli olan net kuvvet (net force), yani vektörel toplamdır:

$\vec F_{net} = \sum \vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \dots$

Aynı doğru üzerindeki kuvvetler işaretle toplanır. Dik ya da açılı kuvvetler bileşenlerle toplanır, büyüklükleri düz toplanmaz. 6 N ve 8 N dik kuvvetin toplamı 14 N değil, $\sqrt{36+64} = 10\ \text{N}$.

Birinci yasa ve eylemsiz referans sistemi

Birinci yasa (law of inertia): Net kuvvet sıfırsa cisim duruyorsa durmaya, hareket ediyorsa sabit hızla düz bir çizgide gitmeye devam eder. Cismin hız değişimine direnme eğilimine eylemsizlik (inertia) denir. Kütle, eylemsizliğin ölçüsüdür.

Birinci yasanın geçerli olduğu sistemlere eylemsiz referans sistemi (inertial frame) denir. Sabit hızla giden bir tren eylemsizdir. Fren yapan bir otobüs eylemsiz değildir: içindeki yolcu, hiçbir kuvvet itmediği halde öne doğru “fırlıyor” gibi görünür. Bu tür sistemleri 9. haftada fiktif kuvvetlerle inceleyeceğiz.

Denge (equilibrium) durumu: $\sum \vec F = 0$, yani $\vec a = 0$. Duran cisim ve sabit hızla giden cisim ikisi de dengededir.

TUZAK · hareket varsa kuvvet var yanılgısı. Buz üstünde sabit 4 m/s ile kayan disk için net kuvvet sıfırdır. “Hareket yönünde bir kuvvet olmalı” diyen şıkkı ele. Kuvvet hızı değil, ivmeyi belirler.

İkinci yasa

$\sum \vec F = m\vec a \qquad\Longleftrightarrow\qquad \sum F_x = m a_x,\quad \sum F_y = m a_y$

İvme net kuvvetle aynı yöndedir ve kütleyle ters orantılıdır. Aynı kuvvet küçük kütleye büyük ivme verir.

Örnek 1. 5.0 kg’lık kutuya sürtünmesiz zeminde 20 N doğuya, 8.0 N batıya kuvvet etki ediyor.

Doğu +:  ΣF = 20 - 8.0 = 12 N
a = ΣF / m = 12 / 5.0 = 2.4 m/s², doğuya

Ağırlık ve kütle

Ağırlık (weight), Dünya’nın cisme uyguladığı çekim kuvvetidir: $W = mg$, yönü aşağı. $g = 9.80\ \text{m/s}^2$ alırız. 70 kg’lık birinin ağırlığı $70 \cdot 9.80 = 686\ \text{N}$. Ay’da ($g = 1.62\ \text{m/s}^2$) kütlesi yine 70 kg, ağırlığı 113 N olur. Kütle cismin özelliğidir, ağırlık konuma bağlıdır.

Üçüncü yasa

A cismi B’ye $\vec F_{AB}$ kuvveti uygularsa B de A’ya aynı büyüklükte, zıt yönde bir kuvvet uygular:

$\vec F_{AB} = -\vec F_{BA}$

Bu ikiliye etki-tepki çifti (action-reaction pair) denir. Üç özelliği var: eşit büyüklük, zıt yön, farklı cisimler. Küçük araba büyük kamyonla çarpıştığında iki cismin birbirine uyguladığı kuvvetler eşittir. Arabanın daha çok hasar görmesi kütlesinin küçük olmasından, yani ivmesinin büyük olmasından gelir.

TUZAK · normal kuvvet ağırlığın tepkisi değil. Masadaki kitapta $N$ ve $mg$ eşit ve zıt ama ikisi de kitaba etki ediyor, bu yüzden etki-tepki çifti değiller. Ağırlığın tepkisi, kitabın Dünya’yı yukarı çekmesidir. Normal kuvvetin tepkisi, kitabın masayı aşağı itmesidir.

Sık kullanılan kuvvetler

Serbest cisim diyagramı yöntemi

Her Newton sorusunda aynı beş adım:

1. İncelediğin cismi seç ve tek başına bir nokta olarak çiz.
2. Ona etki eden bütün kuvvetleri ok olarak ekle. Cismin başka cisimlere uyguladığı kuvvetleri ekleme.
3. Eksen seç. Mümkünse bir eksen ivme yönünde olsun (eğik düzlemde eğim boyunca).
4. Her eksen için $\sum F = ma$ yaz. İvme olmayan eksende $\sum F = 0$.
5. Birden fazla cisim varsa her biri için ayrı diyagram çiz. Aynı ip, aynı $T$ ve aynı $|a|$ demektir.

Örnek 2: Asansör. 70 kg’lık biri, yukarı giderken 1.2 m/s² ile hızlanan asansörde tartıda duruyor. Tartı ne gösterir?

Kuvvetler: N yukarı, mg aşağı. İvme yukarı. Yukarı +.
N - mg = m a
N = m(g + a) = 70 (9.80 + 1.2) = 770 N

Tartı normal kuvveti okur. Sabit hızda $mg = 686\ \text{N}$, ivme aşağı 1.2 m/s² olsaydı $m(g-a) = 602\ \text{N}$ okurdu. İvmenin yönünü hızdan değil, hızın değişiminden bul: “aşağı gidip yavaşlıyor” ivmenin yukarı olduğu anlamına gelir.

Örnek 3: Yan yana itilen bloklar. 2.0 kg ve 6.0 kg’lık iki blok sürtünmesiz zeminde, 16 N kuvvet 2.0 kg’lığı itiyor. Bloklar arası temas kuvveti?

Sistem (iç kuvvetler sadeleşir): a = 16 / (2.0 + 6.0) = 2.0 m/s²
6.0 kg'lık blok tek başına: tek yatay kuvvet P
P = 6.0 · 2.0 = 12 N
Kontrol, 2.0 kg'lık blok: 16 - P = 2.0 · 2.0  →  P = 12 N

Örnek 4: Asılı lamba. 120 N’luk lamba, yatayla 35° yapan iki simetrik iple asılı. Gerilme?

Yatay: T cos35° - T cos35° = 0 (simetri, otomatik)
Dikey: 2 T sin35° - 120 = 0
T = 120 / (2 · 0.574) = 105 N

Açı küçüldükçe (ipler yataya yaklaştıkça) $\sin\theta$ küçülür ve gerilme büyür. Çamaşır ipini tam düz germek bu yüzden imkansızdır.

Örnek 5: Açılı iki kuvvet. 2.0 kg’lık bir cisme sürtünmesiz yatay düzlemde iki kuvvet etki ediyor: $F_1 = 10\ \text{N}$, $+x$ yönünde ($0^\circ$) ve $F_2 = 8.0\ \text{N}$, $+x$ ekseninden $120^\circ$. İvmenin büyüklüğü ve yönü?

x: F1x + F2x = 10 + 8.0 cos120° = 10 - 4.0 = 6.0 N
y: F1y + F2y = 0 + 8.0 sin120° = 6.93 N
|F_net| = √(6.0² + 6.93²) = 9.17 N
a = 9.17 / 2.0 = 4.58 m/s²
yön: tan⁻¹(6.93 / 6.0) = 49.1°  (+x'ten, I. bölge çünkü ikisi de pozitif)

Büyüklükleri düz toplasaydın $18/2.0 = 9.0\ \text{m/s}^2$ bulurdun; bu sadece iki kuvvet aynı yöndeyse doğrudur. Açılı kuvvet sorularında vektörler haftasındaki bileşen yöntemini aynen kullanırsın. $\cos 120^\circ$‘nin negatif olduğuna dikkat: ikinci kuvvetin $x$ bileşeni birinciye karşı çalışıyor.

Problem çözerken kontrol listesi

Sınavda bir Newton sorusunu bitirdiğinde cevabı işaretlemeden önce şu üç soruyu sor:

• Birim doğru mu? Kuvvet N, ivme m/s², kütle kg. “N” çıkması gereken yerde “kg” görüyorsan $g$ ile çarpmayı unutmuşsun.
• Büyüklük mantıklı mı? Yukarı ivmeli asansörde tartı $mg$‘den büyük, aşağı ivmelide küçük göstermeli. Arkadaki bloğa düşen kuvvet uygulanan kuvvetten küçük olmalı.
• Limit durumu tutuyor mu? $a = 0$ koy: denge formülüne dönmeli. Bir kütleyi sıfıra götür: sistem beklediğin gibi davranmalı.

Bu kontroller yanlış şıkların çoğunu hesap yapmadan eler. +5 / −1 puanlamada bir şıkkı bile eleyebilmek tahmini kârlı hale getirir.

Sürtünmesiz eğik düzlem

$\theta$ açılı eğimde eksenleri eğime paralel ($x$) ve dik ($y$) seç. Ağırlığın bileşenleri:

$mg\sin\theta \ (\text{eğim boyunca aşağı}),\qquad mg\cos\theta\ (\text{yüzeye dik})$

Dik eksende ivme yok: $N = mg\cos\theta$. Eğim boyunca: $a = g\sin\theta$. Cisim eğime paralel bir iple tutuluyorsa $T = mg\sin\theta$.

İPUCU · limit kontrolü. $\theta = 0$ koy: yatay zemin, $a = 0$ ve $N = mg$ çıkmalı. $\theta = 90^\circ$ koy: serbest düşme, $a = g$. Formülün bu iki kontrolden geçmiyorsa sin ile cos’u karıştırmışsındır.

Sık yapılan hatalar