Sürtünme kuvveti ve Newton yasalarının uygulamaları

Geçen hafta Newton yasalarını sürtünmesiz dünyada kurduk. Gerçek sorularda neredeyse her zaman bir sürtünme (friction) vardır ve vizenin en çok hesap isteyen soruları bu haftadan gelir: eğik düzlem, açılı çekme, masa-makara, Atwood. Hepsinin çözüm yöntemi aynı. Serbest cisim diyagramı, eksen seçimi, her eksende $\sum F = ma$. Bu sayfadaki yeni tek parça, sürtünmenin büyüklüğünü ve yönünü doğru koymak.

Altın kurallar:

1. Sürtünme $\mu N$, $\mu mg$ değil. Önce $N$‘yi bul.
2. Önce statik mi kinetik mi, karar ver. Cisim kayıyor mu, kaymıyor mu?
3. Statik sürtünme ihtiyaç kadardır. $\mu_s N$ sadece bir üst sınır.
4. Sürtünme kaymaya zıttır. Hareket yönüne değil.
5. Bağlı cisimlerde her cisme ayrı diyagram. Aynı ip, aynı $T$, aynı $|a|$.

Statik ve kinetik sürtünme

İki yüzey birbirine göre kaymıyorsa aradaki kuvvet statik sürtünme (static friction), kayıyorsa kinetik sürtünme (kinetic friction) adını alır.

$f_s \le \mu_s N \qquad\qquad f_k = \mu_k N$

$\mu_s$ ve $\mu_k$ birimsiz sürtünme katsayılarıdır (coefficient of friction). Genelde $\mu_k < \mu_s$: bir kasayı harekete geçirmek, hareket halinde tutmaktan zordur.

Statik sürtünme bir eşitsizlik. Masadaki kitabı hafifçe itersen sürtünme tam itme kadardır ve kitap kımıldamaz. İtmeyi artırdıkça sürtünme de artar. $f_s$ en fazla $\mu_s N$ olabilir; bu değer aşıldığı anda cisim kaymaya başlar ve sürtünme $\mu_k N$‘ye düşer.

Örnek 1. 30 kg’lık kasa, $\mu_s = 0.40$, $\mu_k = 0.30$. (a) 100 N ve (b) 150 N yatay itme.

N = mg = 30 · 9.80 = 294 N
f_s,max = 0.40 · 294 = 117.6 N
(a) 100 N < 117.6 N → kımıldamaz, f_s = 100 N, a = 0
(b) 150 N > 117.6 N → kayar, f_k = 0.30 · 294 = 88.2 N
    a = (150 - 88.2) / 30 = 2.06 m/s²

TUZAK · duran cisme μs N yazmak. (a) şıkkında sürtünme 117.6 N değil, 100 N. Sürtünme itmeden büyük olsaydı kasa sana doğru hızlanırdı. Statik sürtünme sadece kaymanın eşiğinde $\mu_s N$‘ye eşittir.

Sürtünmenin yönü

Sürtünme, iki yüzeyin birbirine göre kayma ya da kayma eğilimine zıttır. Yürürken ayağın zemini geriye iter; zemin ayağa ileri yönde statik sürtünme uygular. Araba da aynı şekilde: tekerlek yolu geriye iter, yol arabayı ileri iter. Bu yüzden “sürtünme hep harekete zıt” cümlesi sınavda tuzaktır.

Normal kuvvet her zaman mg değil

Sürtünme $N$‘ye bağlı olduğu için $N$‘yi yanlış bulursan bütün soru kayar. Dik eksende ivme yoksa $\sum F_y = 0$ yaz ve $N$‘yi oradan çek:

Örnek 2: Açılı çekme. 15 kg’lık kızak, yatayın 25° üstünde 80 N kuvvetle çekiliyor, $\mu_k = 0.35$.

Dikey: N + 80 sin25° - 15 · 9.80 = 0
       N = 147 - 33.8 = 113.2 N
f_k = 0.35 · 113.2 = 39.6 N
Yatay: 80 cos25° - 39.6 = 15 a
       72.5 - 39.6 = 15 a  →  a = 2.19 m/s²

Yukarı açılı çekme cismi biraz kaldırır, normal kuvveti ve sürtünmeyi azaltır. Kar kızağını iple yukarı doğru çekmek bu yüzden daha kolaydır.

Eğik düzlemde sürtünme

Eksenler: $x$ eğim boyunca, $y$ yüzeye dik. $N = mg\cos\theta$, sürtünme $\mu_k mg\cos\theta$.

Örnek 3. 30° eğimde $\mu_k = 0.20$, blok aşağı kayıyor.

a = 9.80 (sin30° - 0.20 cos30°)
  = 9.80 (0.500 - 0.173) = 3.20 m/s²

Yukarı fırlatılan cisimde hem ağırlığın bileşeni hem sürtünme aşağı yönlüdür, yavaşlama daha büyüktür. Tepede durduktan sonra $\mu_s < \tan\theta$ ise geri kaymaya başlar, bu sefer sürtünme yukarı döner.

Örnek 4: Kayıyor mu, kaymıyor mu? 5.0 kg’lık blok, $\mu_s = 0.50$ ve $\mu_k = 0.40$ olan bir rampaya konuyor. (a) Rampa 25° iken, (b) 30° iken ne olur?

Kayma şartı: mg sinθ > μs mg cosθ  ⇔  tanθ > μs
(a) tan25° = 0.466 < 0.50 → blok DURUR
    Statik sürtünme ihtiyaç kadar: f_s = mg sin25° = 5.0 · 9.80 · 0.423 = 20.7 N
    (Üst sınır μs mg cos25° = 22.2 N, aşılmadı.)
(b) tan30° = 0.577 > 0.50 → blok KAYAR, artık μk geçerli
    a = g (sin30° - 0.40 cos30°) = 9.80 (0.500 - 0.346) = 1.50 m/s²

(a) şıkkında sürtünme kuvveti olarak 22.2 N yazmak, Örnek 1’deki tuzağın eğik düzlem versiyonudur. Duran blokta sürtünme, ağırlığın eğim boyunca bileşenini tam dengeleyecek kadardır.

İPUCU · limit testi. $\mu_k = 0$ koy: $g\sin\theta$ çıkmalı. Sürtünmeli aşağı kaymada cevap $g\sin\theta$‘dan küçük, yukarı kaymada büyük olmalı. Şıkların yarısı bu kontrolle elenir.

Bağlı cisimler

Masa + asılı kütle

$m_1$ masada (sürtünme $\mu_k$), $m_2$ makaradan sarkıyor. Her cisim için ayrı denklem, ivme yönünü + al:

$m_2:\ m_2 g - T = m_2 a \qquad m_1:\ T - \mu_k m_1 g = m_1 a$

Topla, $T$ sadeleşir:

$a = \frac{m_2 g - \mu_k m_1 g}{m_1 + m_2}$

Örnek 5. $m_1 = 4.0$ kg, $\mu_k = 0.25$, $m_2 = 2.0$ kg.

f_k = 0.25 · 4.0 · 9.80 = 9.80 N
a = (19.6 - 9.80) / 6.0 = 1.63 m/s²
T = m2 (g - a) = 2.0 (9.80 - 1.63) = 16.3 N
Kontrol: T = m1 a + f_k = 6.53 + 9.80 = 16.3 N

$m_2 g < \mu_s m_1 g$ ise sistem hiç harekete geçmez; önce bunu kontrol et.

Atwood düzeneği

Sürtünmesiz makaradan iki kütle sarkıyor ($m_2 > m_1$):

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1+m_2},\qquad T = \frac{2m_1m_2 g}{m_1+m_2}$

Gerilme iki ağırlığın arasında kalır: $m_1 g < T < m_2 g$. İp, ağır cismi tam taşısaydı sistem ivmelenmezdi.

TUZAK · gerilme = asılı ağırlık. İvmeli sistemde $T \ne m_2 g$. Asılı cisim aşağı hızlanıyorsa ip onu ağırlığından daha az kuvvetle tutuyor demektir: $T = m_2(g - a)$.

Bağlı cisim sorularında yol haritası

1. Her cisim için ayrı serbest cisim diyagramı çiz. Makarayı hafif ve sürtünmesiz kabul et: ipin iki ucunda gerilme aynı.
2. Her cisim için “hareket yönü +” seç. Masadaki blokta sağ +, asılı blokta aşağı + gibi. Böylece iki cismin ivmesi aynı işaretli $a$ olur.
3. Denklemleri topla. İç kuvvet olan $T$ sadeleşir ve $a$ tek başına kalır. Paydada toplam kütle, payda sistemi hareket ettiren net dış kuvvet vardır.
4. $T$‘yi en basit denklemden çek, öbür denklemle kontrol et.

Bu kalıp her düzeneğe uyar: eğik düzlemdeki blok + asılı kütle için pay $m_2 g - m_1 g\sin\theta - \mu_k m_1 g\cos\theta$ olur, payda yine $m_1 + m_2$. Sonuç negatif çıkarsa varsaydığın yön yanlıştır; sistem ya diğer yöne gider ya da statik sürtünme yüzünden hiç kıpırdamaz.

Sık yapılan hatalar