PHY1002 · 7. hafta · Electric Potential: Electric Potential Due to Continuous Charge Distributions, Electric Potential Due to a Charged Conductor, The Millikan Oil-Drop Experiment, Applications of Electro Statics.

Sürekli yük dağılımlarının potansiyeli, yüklü iletkenler ve Millikan deneyi

Halka, disk ve çubuğun potansiyeli için V = k∫dq/r, yüklü iletkenin eşpotansiyel olması, sivri uç etkisi ve Millikan yağ damlası deneyi.

continuous charge distributionlinear charge densitysurface charge densitycharged ringcharged diskconductor in electrostatic equilibriumequipotentialcorona dischargeMillikan oil-drop experimentquantization of chargeVan de Graaff generatorelectrostatic precipitator

Şimdiye kadar potansiyeli nokta yükler için topladın. Gerçek cisimlerde yük bir çubuğa, halkaya ya da diske yayılmıştır. Yöntem aynı: cismi küçük $dq$ parçalarına böl, her birinin $k\,dq/r$ katkısını topla (yani integre et). Alan hesabına göre büyük avantaj: potansiyel skaler olduğu için bileşen ayırmak, simetriyle iptal aramak yok. Haftanın ikinci yarısı iletkenler: yüklü bir iletkenin bütün noktaları aynı potansiyeldedir ve bu basit gerçek sivri uç etkisini, paratoneri ve Faraday kafesini açıklar. Son olarak Millikan deneyi yükün kuantumlu olduğunu gösterir. Sınavda halka ve disk formülü, tel ile bağlı küreler ve Millikan denge sorusu çok sık çıkar.

Altın kurallar:

$V = k\int dq/r$ . Önce $dq$ ‘yu yaz ( $\lambda\,dx$ , $\sigma\,dA$ ), sonra $r$ ‘yi integrasyon değişkeni cinsinden yaz.
Halka ve disk ekseninde her şey hazır formül. Ezberle, türetmeyi de bir kez gör.
İletken = eşpotansiyel. İçinde $E = 0$ , $V$ yüzeydekine eşit (sıfır değil).
Tel ile bağlanan iletkenler aynı potansiyele gelir. Yük yarıçapla orantılı dağılır.
Millikan: $qE = mg$ . Yük her zaman $e$ ‘nin tam katı çıkar.

Sürekli dağılımlarda potansiyel

Her küçük parça bir nokta yük gibi:

$dV = k\frac{dq}{r} \quad\Rightarrow\quad V = k\int\frac{dq}{r}$

Yük yoğunlukları: çizgisel (linear charge density) $\lambda = Q/L$ , $dq = \lambda\,dx$ ; yüzeysel (surface charge density) $\sigma = Q/A$ , $dq = \sigma\,dA$ . Referans yine sonsuzda $V = 0$ .

İkinci yol da var: alan zaten biliniyorsa (Gauss yasasıyla bulduğun küre, kabuk gibi) $\Delta V = -\int\vec E\cdot d\vec s$ ile integre edersin. Simetrik cisimlerde ikinci yol daha hızlıdır.

Halka (ring), eksen üzerinde

$a$ yarıçaplı halkada $Q$ yükü düzgün dağılmış. Eksende merkezden $x$ uzaklıktaki noktaya halkanın her parçası aynı uzaklıkta: $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ . Bu sabit integralden çıkar:

$V = \frac{k}{\sqrt{x^2 + a^2}}\int dq = \frac{kQ}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

Merkezde ( $x = 0$ ) $V = kQ/a$ , uzakta ( $x \gg a$ ) $V \approx kQ/x$ , yani nokta yük. Eksen boyunca alan türevden çıkar:

$E_x = -\frac{dV}{dx} = \frac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$

Bu, alan haftasında uzun uzun bileşen ayırarak bulduğun sonucun aynısı. Potansiyel üzerinden iki satırda geldi.

Disk, eksen üzerinde

$R$ yarıçaplı diski $r$ yarıçaplı, $dr$ kalınlıklı halkalara böl. Her halkanın yükü $dq = \sigma\,2\pi r\,dr$ , eksendeki noktaya uzaklığı $\sqrt{x^2 + r^2}$ :

$V = \int_0^R \frac{k\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\sqrt{x^2 + r^2}} = 2\pi k\sigma\left(\sqrt{x^2 + R^2} - x\right)$

Merkezde $V = 2\pi k\sigma R$ .

Çubuk, uzantısı üzerinde

$L$ uzunluklu çubuk $x' = 0$ ile $x' = L$ arasında, nokta çubuğun ucundan $d$ kadar ötede ( $x = L + d$ ). Parçanın noktaya uzaklığı $L + d - x'$ :

$V = k\lambda\int_0^L \frac{dx'}{L + d - x'} = k\lambda\ln\frac{L + d}{d}$

TUZAK · Yükü tek noktaya toplamak. Çubuk ya da disk yakından bakıldığında nokta yük değildir. Bütün yükü merkeze koyup $kQ/r$ yazmak yanlış sonuç verir; integral şart. Bu yaklaşım sadece uzaklık cismin boyutundan çok büyükse geçerli.

Dolu küre ve kabuk

Gauss yasasından alanları biliyorsun. Sonsuzdan içeri integre edersen:

Cisim	Dışarıda ( $r \ge R$ )	İçeride ( $r < R$ )
İletken küre veya ince kabuk	$kQ/r$	$kQ/R$ (sabit)
Düzgün yüklü yalıtkan dolu küre	$kQ/r$	$\dfrac{kQ}{2R}\left(3 - \dfrac{r^2}{R^2}\right)$

Yalıtkan kürenin merkezinde $V = 1.5\,kQ/R$ . İçeride alan sıfır olmadığı için potansiyel yüzeyden merkeze doğru artmaya devam eder.

Yüklü iletkenin potansiyeli

Elektrostatik dengedeki iletkenin içinde $\vec E = 0$ , yüzeyde alan yüzeye dik. Yüzey üzerinde yürürken $\vec E\cdot d\vec s = 0$ , içeride ise $\vec E = 0$ . Sonuç: iletkenin tamamı (içi ve yüzeyi) tek bir potansiyeldedir.

TUZAK · İçeride alan sıfırsa potansiyel de sıfırdır. Hayır. $E = 0$ demek potansiyelin değişmediği demek. İçerideki değer yüzeydeki değere eşit: yüklü kürede $kQ/R$ .

Sivri uç etkisi

Yarıçapları $r_1$ ve $r_2$ olan, birbirinden uzak iki iletken küreyi ince tel ile bağla. Aynı potansiyele gelirler:

$\frac{kq_1}{r_1} = \frac{kq_2}{r_2} \;\Rightarrow\; \frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}, \qquad \frac{E_1}{E_2} = \frac{q_1/r_1^2}{q_2/r_2^2} = \frac{r_2}{r_1}$

Küçük küre daha az yük alır ama yüzeyindeki alan daha büyüktür. Bir iletkenin sivri ucu küçük yarıçaplı küre gibi davranır: yük yoğunluğu ve alan orada en büyüktür. Alan havanın dayanabileceği sınırı (yaklaşık $3\times10^{6}$ V/m) aşarsa hava iyonlaşır, korona boşalması (corona discharge) olur. Paratoner bu yüzden sivri yapılır.

İletken içindeki boşluk

Yüklü iletkenin içinde yük barındırmayan bir boşluk varsa boşlukta da $E = 0$ olur. Faraday kafesi ve araba içinde yıldırımdan korunma buna dayanır.

Millikan yağ damlası deneyi

Millikan, iki yatay plaka arasında yüklü küçük yağ damlalarını inceledi. Plakalar arasındaki potansiyel farkını ayarlayınca bir damla havada asılı kalır. O anda:

$qE = mg, \qquad E = \frac{\Delta V}{d} \quad\Rightarrow\quad q = \frac{mgd}{\Delta V}$

Binlerce ölçümde $q$ hep $1.60\times10^{-19}$ C’nin tam katı çıktı: $q = ne$ . Bu, yükün kuantumlu (quantization of charge) olduğunun deneysel kanıtıdır. Damlanın kütlesi gerçek deneyde alan kapalıyken limit hızından bulunur; sınavda genelde verilir.

Uygulamalar

Van de Graaff üreteci (Van de Graaff generator): Bir kayış yükü iletken bir kubbenin içine taşır. İçeriye verilen yük hemen dış yüzeye geçtiği için kubbenin potansiyeli çok yükseğe (milyonlarca volt) çıkabilir. Sınırı korona boşalması belirler, bu yüzden kubbe büyük ve pürüzsüz yapılır.
Elektrostatik çöktürücü (electrostatic precipitator): Baca gazındaki toz parçacıkları yüksek gerilimli bir telin çevresindeki korona bölgesinde yüklenir ve topraklı duvarlara çekilip tutulur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Halka. $a = 0.30$ m, $Q = +12$ nC. Eksende $x = 0.40$ m’de ve merkezde potansiyel?

r = kök(0.40² + 0.30²) = 0.50 m
V(0.40) = kQ/r = (8.99e9)(12e-9)/0.50 = 216 V
V(0)    = kQ/a = (8.99e9)(12e-9)/0.30 = 360 V

Örnek 2. Disk. $R = 0.10$ m, $\sigma = 2.0\ \mu\text{C/m}^2$ . Eksende $x = 0.050$ m’de potansiyel?

kök(x² + R²) = kök(0.0025 + 0.0100) = 0.1118 m
V = 2π(8.99e9)(2.0e-6)(0.1118 - 0.050) = 6.98e3 V
Merkez: V = 2πkσR = 1.13e4 V

Örnek 3. Çubuk. $L = 1.0$ m, $Q = +6.0$ nC, nokta uzantıda uçtan $d = 0.50$ m ötede.

λ = 6.0e-9 C/m
V = kλ ln((1.0 + 0.50)/0.50) = (8.99e9)(6.0e-9)(ln 3) = 59.3 V

Örnek 4. Millikan. Kütlesi $3.3\times10^{-15}$ kg, yükü $3e$ olan damla, aralığı 1.2 cm olan plakalar arasında asılı kalsın. Gereken gerilim?

ΔV = mgd/q = (3.3e-15)(9.80)(0.012)/(3 × 1.60e-19)
ΔV = 809 V

Alan yukarı mı aşağı mı? Damla negatif yüklü (fazla elektron) ise kuvvetin yukarı olması için alan aşağı bakmalı; yani üst plaka pozitif.

Örnek 5. Tel ile bağlı küreler. Yarıçaplar 2.0 cm ve 8.0 cm, toplam yük 50 nC.

q1/q2 = r1/r2 = 1/4  ->  q1 = 10 nC,  q2 = 40 nC
Ortak potansiyel: V = kq1/r1 = (8.99e9)(10e-9)/0.020 = 4.50e3 V
Yüzey alanları: E1 = kq1/r1² = 2.25e5 V/m,  E2 = kq2/r2² = 5.62e4 V/m
E1/E2 = 4 = r2/r1

Sık yapılan hatalar

Yanlış düşünce	Doğrusu
Halka ekseninde $V = kQ/x$	$V = kQ/\sqrt{x^2 + a^2}$
Çubuk/diski merkezde nokta yük almak	$\int k\,dq/r$ şart
İletkenin içinde $V = 0$	İçeride $V$ = yüzey değeri, $E = 0$
Kabuk içinde $V = kQ/r$	İçeride sabit $kQ/R$
Yalıtkan kürenin merkezinde $V = kQ/R$	$1.5\,kQ/R$
Bağlı kürelerde yük eşit bölünür	$q \propto r$
Büyük kürede alan daha büyük	$E \propto 1/r$ : küçük kürede büyük
Sivri uçta potansiyel daha yüksek	Potansiyel her yerde aynı, alan büyük
Millikan’da $E = V\cdot d$	$E = V/d$ , $d$ metre
Her yerde $E = V/r$ kısayolu	Sadece nokta yük için

Kendini test et

Sınavdaki gibi İngilizce sorular. Önce kâğıt kalemle çöz, sonra cevabı aç.

Soru 1kolay

A thin ring of radius 0.10 m carries a uniformly distributed charge of $+5.0$ nC. What is the electric potential on the ring's axis at a distance of 0.24 m from its center?

187 V
173 V
450 V
665 V
0 V

Cevabı göster

B) 173 V

Halkanın her $dq$ parçası eksendeki noktaya aynı uzaklıkta: $r = \sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{0.24^2 + 0.10^2} = 0.26$ m. $V = \dfrac{kQ}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(5.0\times10^{-9})}{0.26} = 173$ V.
187 V, uzaklık olarak sadece $x$ kullanmaktır; 450 V halkanın merkezindeki değerdir.

Soru 2orta

A disk of radius 0.20 m carries a uniform surface charge density $\sigma = 3.0\ \mu\text{C/m}^2$ . What is the potential on its axis at 0.15 m from the center?

1.7 × 10⁴ V
2.3 × 10⁴ V
3.4 × 10⁴ V
8.5 × 10³ V
1.7 × 10¹⁰ V

Cevabı göster

A) 1.7 × 10⁴ V

$V = 2\pi k\sigma\left(\sqrt{x^2 + R^2} - x\right) = 2\pi(8.99\times10^{9})(3.0\times10^{-6})(0.25 - 0.15)$ . $V = 1.69\times10^{4}$ V.
2.3 × 10⁴ V, diski merkezde bir nokta yük ( $Q = \sigma\pi R^2$ ) gibi almaktır. 3.4 × 10⁴ V, $2\pi$ yerine $4\pi$ kullanmaktır.

Soru 3orta

A thin rod of length 0.50 m lies along the $x$ axis from $x = 0$ to $x = 0.50$ m and carries $+4.0$ nC spread uniformly. What is the potential at $x = 0.75$ m?

72 V
144 V
79 V
48 V
58 V

Cevabı göster

C) 79 V

$\lambda = Q/L = 8.0\times10^{-9}$ C/m. Çubuktaki $x'$ noktasındaki $dq$ ile P arasındaki uzaklık $0.75 - x'$ . $V = k\lambda\int_0^{0.50}\dfrac{dx'}{0.75 - x'} = k\lambda\ln\dfrac{0.75}{0.25} = (8.99\times10^{9})(8.0\times10^{-9})\ln 3 = 79.0$ V.
72 V, bütün yükü çubuğun ortasına (0.50 m uzağa) koymaktır; 144 V ise en yakın uca koymaktır.

Soru 4kolay

An isolated conducting sphere of radius 0.15 m is at a potential of 3.0 kV relative to infinity. How much charge does it carry?

5.0 nC
50 nC
7.5 nC
0.50 μC
3.3 nC

Cevabı göster

B) 50 nC

İletken kürenin dışı nokta yük gibi davranır, yüzeyde $V = kQ/R$ . $Q = \dfrac{VR}{k} = \dfrac{(3000)(0.15)}{8.99\times10^{9}} = 5.0\times10^{-8}$ C $= 50$ nC.
7.5 nC, formülde $R^2$ kullanmaktır.

Soru 5orta

Two conducting spheres of radii 4.0 cm and 12 cm are far apart and connected by a thin conducting wire. A total charge of 32 nC is placed on the system. How much charge ends up on the smaller sphere?

16 nC
24 nC
8.0 nC
3.6 nC
2.0 nC

Cevabı göster

C) 8.0 nC

Tel ile bağlı iletkenler aynı potansiyelde: $\dfrac{kq_1}{r_1} = \dfrac{kq_2}{r_2} \Rightarrow \dfrac{q_1}{q_2} = \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{1}{3}$ . $q_1 = 32\cdot\dfrac{4.0}{4.0 + 12} = 8.0$ nC, $q_2 = 24$ nC.
Yük yarıçapla orantılı dağılır. Ama yüzey alanı daha küçük olduğu için küçük kürenin yüzeyindeki alan 3 kat büyüktür.

Soru 6orta

In a Millikan-type experiment, an oil drop of mass $2.4\times10^{-15}$ kg is held stationary between two horizontal plates 1.0 cm apart when the potential difference is 490 V. How many excess electrons does the drop carry?

Cevabı göster

C) 3

Damla dengede: $qE = mg$ , $E = V/d$ . $q = \dfrac{mgd}{V} = \dfrac{(2.4\times10^{-15})(9.80)(0.010)}{490} = 4.8\times10^{-19}$ C. $n = q/e = 4.8\times10^{-19}/1.60\times10^{-19} = 3$ .
300 çıkarsan cm'yi metreye çevirmemişsin.

Soru 7zor

A solid insulating sphere of radius 0.10 m has a total charge of $+6.0$ nC distributed uniformly through its volume. What is the potential at its center?

0 V
540 V
810 V
1080 V
270 V

Cevabı göster

C) 810 V

Yüzeyde $V(R) = kQ/R = 539$ V. İçeride alan sıfır değil ( $E = kQr/R^3$ ), merkeze girerken potansiyel artmaya devam eder. $V(r) = \dfrac{kQ}{2R}\left(3 - \dfrac{r^2}{R^2}\right) \Rightarrow V(0) = \dfrac{3}{2}\dfrac{kQ}{R} = 809$ V.
540 V, onu iletken küre gibi düşünmektir. 0 V, alanı potansiyelle karıştırmaktır.

Soru 8orta

A charged conductor has a flat region and a sharply pointed tip. Where on its surface is the electric field strongest, and why?

At the flat region, because more charge fits there.
At the sharp tip, because the surface charge density is largest where the radius of curvature is smallest.
Everywhere equal, because the conductor is an equipotential.
Inside the conductor, near the tip.
At the sharp tip, because the potential is highest there.

Cevabı göster

B) At the sharp tip, because the surface charge density is largest where the radius of curvature is smallest.

Bütün yüzey aynı potansiyelde. Bağlı küre modeli: $V \propto q/r$ eşitse $\sigma \propto 1/r$ olur, küçük yarıçaplı bölgede yük yoğunluğu büyük.
Yüzeyin hemen dışında $E = \sigma/\varepsilon_0$ , dolayısıyla alan sivri uçta en büyük. Paratoner ve korona boşalması bu yüzden.
E şıkkı yanlış: potansiyel her yerde aynı.

Soru 9orta

A ring of radius 0.10 m carries $+5.0$ nC. How much work must an external agent do to move a $-2.0$ nC point charge from the center of the ring to infinity?

Cevabı göster

9.0 × 10⁻⁷ J

Merkezde $V_0 = kQ/a = (8.99\times10^{9})(5.0\times10^{-9})/0.10 = 450$ V. Sonsuzda $V = 0$ . $W_{\text{dış}} = q(V_\infty - V_0) = (-2.0\times10^{-9})(0 - 450) = +9.0\times10^{-7}$ J.
Negatif yükü pozitif halkadan uzaklaştırmak için iş yapman gerekir; pozitif çıkması mantıklı.

Soru 10zor

For the ring of Question 1 (radius 0.10 m, $+5.0$ nC), the axial potential is $V(x) = kQ/\sqrt{x^2 + a^2}$ . Using $E_x = -dV/dx$ , find the field on the axis at $x = 0.24$ m.

173 V/m
614 V/m
665 V/m
−614 V/m
0 V/m

Cevabı göster

B) 614 V/m

$E_x = -\dfrac{dV}{dx} = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \dfrac{(8.99\times10^{9})(5.0\times10^{-9})(0.24)}{(0.26)^3} = 614$ V/m.
665 V/m, $V/r = 173/0.26$ kısayolunu kullanmaktır; o sadece nokta yük için geçerli. −614 V/m, türevdeki eksi işaretini kaybetmektir; pozitif halkanın alanı eksende merkezden dışa ( $+x$ ) bakar.

Soru 11kolay

A thin conducting spherical shell of radius 0.20 m carries $+8.0$ nC. What is the potential at a point 0.10 m from its center?

0 V
360 V
719 V
180 V
1.8 × 10³ V

Cevabı göster

B) 360 V

Kabuğun içinde alan sıfır, potansiyel sabit ve yüzeydeki değere eşit. $V = kQ/R = (8.99\times10^{9})(8.0\times10^{-9})/0.20 = 360$ V.
719 V, $kQ/r$ formülünü içeride kullanmaktır. 0 V, "alan sıfırsa potansiyel de sıfır" hatasıdır.

Doğrulama: Tüm sayısal cevaplar node ile hesaplandı (verify/PHY1002/07.mjs): halka, disk, çubuk ve dolu küre potansiyelleri 2×10⁵ parçalı orta nokta kuralıyla sayısal integralden bulunup kapalı formlarla karşılaştırıldı; halka ekseninde E, V'nin sayısal türeviyle; iletken küre ve Millikan soruları doğrudan formülden.

Deftere not kartı

Genel: V = k ∫ dq / r (skaler integral, bileşen yok) Halka eksen: V = kQ / kök(x² + a²) merkez: kQ/a Disk eksen: V = 2πkσ (kök(x² + R²) - x) merkez: 2πkσR Çubuk, uzantısında d uzakta: V = kλ ln((L + d)/d), λ = Q/L Dolu yalıtkan küre: dışarıda kQ/r, yüzeyde kQ/R, merkezde 1.5 kQ/R İletken: içi E = 0, tüm iletken TEK potansiyel, içerde V = yüzey değeri İletken küre/kabuk: r ≤ R için V = kQ/R Tel ile bağlı küreler: q1/r1 = q2/r2, E1/E2 = r2/r1 (küçük kürede alan büyük) Sivri uç: σ büyük, E = σ/ε0 büyük -> korona, paratoner Millikan: qE = mg, E = V/d -> q = mgd/V = n e V'den E: Ex = -dV/dx (halka eksen: kQx/(x²+a²)^1.5) Tuzak: E = V/r sadece nokta yük için