İletim modeli, direncin sıcaklıkla değişimi ve elektrik gücü

Geçen hafta direnci makroskobik olarak tanımladın: $R = \rho L/A$. Bu hafta iki soruya cevap veriyorsun: metalde direnç neden oluşur ve akımın taşıdığı enerji nereye gider? Sınavda bu konudan üç tip soru çıkar: sürüklenme hızı hesabı, sıcaklıkla direnç değişimi ve güç (ampul parlaklığı, ısıtıcı süresi, elektrik faturası). Güç soruları en çok puan kaybettiren tiptir, çünkü üç formülden yanlış olanı seçmek kolaydır.

Altın kurallar:

1. Sürüklenme hızı çok küçüktür: $v_d \sim 10^{-4}$ m/s. Lamba anında yanar çünkü alan telde ışık hızına yakın yayılır; elektronlar değil.
2. Metalde ısınınca direnç artar: $R = R_0[1 + \alpha\,\Delta T]$, $\alpha > 0$.
3. Güç için üç formül aynı şeyi söyler: $P = I\Delta V = I^2R = \Delta V^2/R$. Hangi büyüklük sabitse onu içeren formülü seç.
4. Seride akım ortak, paralelde gerilim ortak. Parlaklık karşılaştırmasının anahtarı bu.

Sürüklenme hızı

Telin içinde bir alan yokken serbest elektronlar ısıl hareketle çok hızlı ($\sim 10^6$ m/s) ama rastgele yönlerde koşar; net yük akışı sıfırdır. Alan uygulanınca bu rastgele harekete küçük bir ortak hız eklenir: sürüklenme hızı (drift velocity) $v_d$.

Kesiti $A$ olan bir telde, birim hacimde $n$ tane yük taşıyıcı (charge carrier density) varsa, $\Delta t$ sürede $A\,v_d\,\Delta t$ hacmindeki yükler bir kesitten geçer:

$\Delta Q = n\,q\,(A\,v_d\,\Delta t) \quad\Rightarrow\quad I = n\,q\,v_d\,A, \qquad J = n\,q\,v_d$

Örnek. Kesiti 2.5 mm² olan bakır tel ($n = 8.5\times10^{28}$ m⁻³) 10 A taşıyor. Sürüklenme hızı nedir ve bir elektron 1.0 m’yi ne kadar sürede ilerler?

A  = 2.5 mm² = 2.5e-6 m²
vd = I/(n e A) = 10 / (8.5e28 × 1.60e-19 × 2.5e-6) = 2.9e-4 m/s
t  = 1.0 m / vd = 3.4e3 s ≈ 57 dakika

Bir elektronun bir metre ilerlemesi neredeyse bir saat sürer. Yine de anahtarı açınca lamba hemen yanar: teldeki bütün elektronlar aynı anda sürüklenmeye başlar, çünkü elektrik alanı tel boyunca çok hızlı kurulur.

TUZAK · $v_d$ ile ısıl hız. Akım hesabında $v_d$ kullanılır. Çarpışmalar arası mesafe (ortalama serbest yol) hesabında ise elektronun gerçek ortalama hızı, yani ısıl hız ($\sim 10^6$ m/s) kullanılır. İkisini karıştıran sonucu $10^{10}$ kat şaşırır.

İletimin mikroskobik modeli

Basit modelde elektron, alan içinde $a = eE/m_e$ ivmesiyle hızlanır, bir iyona çarpar, rastgele bir yöne saçılır ve yeniden hızlanır. Çarpışmalar arası ortalama süre $\tau$ (mean free time) ise elektronun kazandığı ortalama ekstra hız:

$v_d = \frac{eE}{m_e}\,\tau$

Bunu $J = n e v_d$‘ye koyunca:

$J = \frac{n e^2 \tau}{m_e}\,E \quad\Rightarrow\quad \sigma = \frac{n e^2 \tau}{m_e}, \qquad \rho = \frac{m_e}{n e^2 \tau}$

Model iki şey anlatır. Birincisi, $J \propto E$ çıkıyor: Ohm yasası buradan gelir. İkincisi, $\rho$ çarpışma süresine bağlı: sıcaklık artınca iyonlar daha çok titreşir, çarpışmalar sıklaşır, $\tau$ küçülür, $\rho$ büyür.

Ortalama serbest yol (mean free path): $\ell = v_{\text{avg}}\,\tau$. Bakır için $\tau \approx 2.5\times10^{-14}$ s ve $v_{\text{avg}} \approx 1.6\times10^6$ m/s ile $\ell \approx 40$ nm çıkar, atomlar arası mesafenin yaklaşık 150 katı.

Direnç ve sıcaklık

Sınırlı bir sıcaklık aralığında özdirenç sıcaklıkla yaklaşık doğrusal değişir:

$\rho = \rho_0[1 + \alpha(T - T_0)], \qquad R = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$

$\alpha$ özdirencin sıcaklık katsayısı (temperature coefficient of resistivity), birimi $(^\circ\text{C})^{-1}$. Metallerde pozitiftir (bakır $3.9\times10^{-3}$, platin $3.92\times10^{-3}$, tungsten $4.5\times10^{-3}$). Yarı iletkenlerde (silisyum, karbon) negatiftir: ısındıkça taşıyıcı sayısı artar, direnç düşer.

Örnek: ampul flamanı. Bir tungsten flamanın direnci 20 °C’de 20 Ω. Çalışırken sıcaklığı 1500 °C ise direnci yaklaşık kaçtır?

ΔT = 1500 − 20 = 1480 °C
R  = 20 [1 + (4.5e-3)(1480)] = 20 × 7.66 = 1.5 × 10² Ω

Doğrusal formül bu kadar büyük $\Delta T$ için sadece kaba bir tahmindir ama önemli sonucu doğru verir: soğuk ampulün direnci sıcak ampulünkünün yaklaşık yedide biridir. Bu yüzden ampuller çoğunlukla açıldıkları anda bozulur: ilk anda akım çok büyüktür. Ampul ohmik bir eleman değildir.

TUZAK · ters soru. “Direnç 200 Ω’dan 253.3 Ω’a çıktı, sıcaklık kaç?” sorusunda bulduğun $\Delta T$, başlangıç sıcaklığına eklenir. Seçeneklerde $\Delta T$‘nin kendisi de vardır.

Süperiletkenler

Bazı malzemelerin direnci, kritik sıcaklık (critical temperature) $T_c$ denen bir sıcaklığın altında aniden ve tam olarak sıfıra düşer. Bu malzemelere süperiletken (superconductor) denir. Cıva için $T_c = 4.2$ K; bazı seramik bakır oksitlerde $T_c$ 100 K’in üstündedir, bu yüzden sıvı azotla soğutulabilir. Direnç sıfır olduğu için süperiletken bir halkada başlatılan akım pil olmadan sürer. MR cihazlarının güçlü mıknatısları bu ilkeyle çalışır. Sınavda genelde kavram sorusu olarak çıkar: “Sıfıra doğrusal azalır” ve “yalıtkan olur” yanlış seçeneklerdir.

Elektrik gücü

Bir $\Delta Q$ yükü $\Delta V$ potansiyel farkından geçerken $\Delta Q\,\Delta V$ kadar enerji bırakır. Birim zamana bölünce güç:

$P = I\,\Delta V$

Direnç için $\Delta V = IR$ kullanarak iki eşdeğer form daha çıkar:

$P = I^2 R = \frac{(\Delta V)^2}{R}$

Dirençte bu enerji ısıya dönüşür (Joule ısınması, joule heating). Birimi watt: $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s} = 1\ \text{V}\cdot\text{A}$. Elektrik şirketleri enerjiyi kilowatt-saat (kilowatt-hour) ile ölçer: $1\ \text{kWh} = (1000\ \text{W})(3600\ \text{s}) = 3.6\times10^{6}$ J.

Örnek: ısıtıcı. 220 V’luk prize bağlı 1500 W’lık bir ısıtıcının direnci ve çektiği akım nedir?

R = ΔV² / P = 220² / 1500 = 32 Ω
I = P / ΔV  = 1500 / 220  = 6.8 A
Kontrol: I² R = 6.82² × 32.3 ≈ 1500 W

Örnek: neden yüksek gerilimle iletim?

Bir santral 100 kW’ı toplam direnci 2.0 Ω olan bir hat üzerinden gönderiyor. İletim gerilimi 10 kV ve 1.0 kV iken hatta ısıya giden güç nedir?

10 kV:   I = P/ΔV = 100e3 / 10e3 = 10 A    kayıp = I² R = 100 × 2.0 = 200 W    (%0.2)
1.0 kV:  I = 100e3 / 1.0e3 = 100 A          kayıp = 1.0e4 × 2.0 = 2.0e4 W       (%20)

Gerilimi 10 kat artırmak kaybı 100 kat azalttı. Burada $\Delta V^2/R$ formülünü 10 kV ile kullanmak yanlış olurdu: 10 kV hattın uçları arasındaki düşüş değil, santralin çıkış gerilimidir. Hattın üzerindeki gerçek düşüş $IR = 20$ V’tur ve $(20)^2/2.0 = 200$ W aynı sonucu verir.

Ampul parlaklığı

Ampulün etiketi (“60 W, 120 V”) sana direncini verir: $R = \Delta V^2/P$. Etiketteki güç sadece etiketteki gerilimde geçerlidir. Başka bir devrede ampulün ne kadar parlak yanacağı, o devrede harcadığı $I^2R$ gücüne bağlıdır.

• Paralel bağlı, ikisi de 120 V’ta: 100 W’lık daha parlak (etiketteki değerler).
• Seri bağlı, toplam 120 V: akım ortak, $I^2R$ büyük dirençte büyük. 60 W’lık ampulün direnci daha büyük (240 Ω’a karşı 144 Ω), o daha parlak yanar. İkisi de etiketin çok altında güç harcar.

İPUCU · güç sorusunda ilk adım. Önce her elemanın direncini bul, sonra devredeki akımı veya gerilimi hesapla, en son $P$‘ye geç. Etiketteki gücü devreye doğrudan taşıma.

Sık yapılan hatalar