Bit işlemleri, IEEE 754 kayan nokta ve ASCII

Geçen sayfada bitleri tam sayı olarak okudun. Bu sayfada üç yeni şey var: bitler üzerinde mantık işlemleri (maske), ondalıklı sayılar için IEEE 754 ve karakterler için ASCII. Üçü de tarifle çözülür. Tarifi bilen tam puan alır.

Mantık işlemleri (bitwise operations)

Bu işlemler iki sayının aynı konumdaki bitleri üzerinde ayrı ayrı yapılır. Carry yoktur, bitler birbirini etkilemez.

       1100 1001   (0xC9)
AND    1111 0000   (0xF0)
       ---------
       1100 0000   (0xC0)     alt 4 bit silindi

Bit maskesi (bit mask)

Bir sayının bazı bitlerini değiştirmek ya da okumak için seçilen ikinci sayıya maske denir. Hangi işlemi seçeceğin, ne yapmak istediğine bağlı:

Akılda tutma yolu: AND ile 0 öldürür, OR ile 1 yaratır, XOR ile 1 çevirir. AND’de maskenin 1 olduğu yerler, OR ve XOR’da 0 olduğu yerler sayıya dokunmaz.

İPUCU · Bit numaraları. Bitler sağdan, 0’dan numaralanır. Bit $k$‘nın maskesi $2^k$: bit 0 = 0x01, bit 3 = 0x08, bit 4 = 0x10, bit 5 = 0x20, bit 7 = 0x80.

LC-3’te sadece AND ve NOT vardır (7. hafta). OR’u DeMorgan ile kurarsın: $A \text{ OR } B = \text{NOT}(\text{NOT }A \text{ AND NOT }B)$.

Ondalıklı sayılar: IEEE 754

Tam sayı gösterimleri 3.75 ya da $6 \times 10^{23}$ yazamaz. Bunun için bilimsel gösterimin ikilik hali kullanılır: $\pm 1.xxx \times 2^{e}$. IEEE 754 single precision (C’deki float) 32 bitten oluşur:

$N = (-1)^S \times 1.\text{fraction} \times 2^{\,\text{exponent} - 127} \qquad (1 \le \text{exponent} \le 254)$

Baştaki 1 her normalize sayıda olduğu için yazılmaz (hidden bit). Bu sayede 24 bitlik hassasiyet 23 bite sığar. Exponent, negatif üsler de yazılabilsin diye 127 kaydırılmış (biased) saklanır.

Özel durumlar:

Kesir kısmını ikiliğe çevirme

Kesri 2 ile çarp, tam kısmı (0 ya da 1) yaz, kesirli kısımla devam et. Kesir 0 olunca dur. Yazdığın bitler yukarıdan aşağı okunur.

0.375 × 2 = 0.75   → 0
0.75  × 2 = 1.5    → 1
0.5   × 2 = 1.0    → 1   (dur)
0.375 = 0.011

Encode tarifi (sayı → bitler)

Çözümlü örnek: 6.125

1) işaret: pozitif → S = 0
2) 6 = 110
3) 0.125: ×2=0.25→0, ×2=0.5→0, ×2=1.0→1  → .001
   6.125 = 110.001
4) normalize: 110.001 = 1.10001 × 2^2   (virgül 2 sola)
5) exponent = 2 + 127 = 129 = 1000 0001
6) fraction = 10001 ve 18 sıfır
7) 0 10000001 10001000000000000000000
   0100 0000 1100 0100 0000 0000 0000 0000 = 0x40C40000

Çözümlü örnek: -2.5

2.5 = 10.1 = 1.01 × 2^1
S = 1, exponent = 128 = 1000 0000, fraction = 01000...
1 10000000 01000000000000000000000 = 1100 0000 0010 0000 ... = 0xC0200000

Decode tarifi (bitler → sayı)

Çözümlü örnek: 0x41F40000

1) 0100 0001 1111 0100 0000 0000 0000 0000
2) S = 0 | exponent = 1000 0011 | fraction = 1110100...
3) exponent = 131 → e = 131 - 127 = 4
4) significand = 1.11101
5) 1.11101 × 2^4 = 11110.1   (virgül 4 sağa)
6) 11110 = 30, .1 = 0.5 → 30.5

Çözümlü örnek: 0xC1100000

1100 0001 0001 0000 ... → S = 1 | exponent = 1000 0010 = 130 → e = 3 | fraction = 001...
1.001 × 2^3 = 1001 = 9 → -9

TUZAK · alan sınırları hex haneleriyle çakışmaz. 0x41’in ilk biti S, sonraki 7 bit exponent’in başı; exponent’in son biti bir sonraki hex hanenin ilk bitidir. Önce 32 biti tek satıra yaz, sonra 1 | 8 | 23 diye çiz.

TUZAK · IEEE’de puan kaybettiren dört hata. (1) 127’yi eklemeyi ya da çıkarmayı unutmak. (2) Gizli 1’i fraction’a yazmak. (3) Fraction’ı sağdan doldurmak: bitler virgülün hemen sağından başlar, kalan sağa 0 eklenir. (4) Hex’e çevirirken S’yi ayrı tutup 4’lü gruplamayı bozmak.

Her ondalık sayı tam yazılamaz

0.1’in ikilik açılımı sonsuza kadar tekrarlar (0.0001100110011…). 23 bite sığmadığı için yuvarlanır. C’de 0.1f + 0.2f == 0.3f gibi karşılaştırmalar bu yüzden tehlikelidir. Paydası 2’nin kuvveti olan kesirler (1/2, 3/8, 5/16) tam yazılır.

ASCII: karakterler

Klavyeden gelen ya da ekrana giden her karakter bir sayıdır. ASCII (American Standard Code for Information Interchange) her karakteri 8 bitlik bir koda eşler (aslında 7 bit yeterli, en üst bit 0).

Bilmen gereken iki özellik:

1. Rakamın değeri = kod - x30. ‘7’ = x37 → 7. Tersi: 3 + x30 = x33 = ‘3’.
2. Büyük ve küçük harf sadece bit 5’te farklıdır (x20 = 32). ‘M’ = x4D = 0100 1101, ‘m’ = x6D = 0110 1101.

“CAT” kelimesi bellekte x43 x41 x54 olarak durur. LC-3’te .STRINGZ ile yazılan bir string her karakteri bir kelimeye (16 bit) koyar ve sonuna x0000 ekler (10. hafta).

Sık yapılan hatalar