Trigonometrik türevler, zincir kuralı ve kapalı türev

Geçen hafta polinom ve rasyonel fonksiyonların türevini aldın. Bu hafta araç kutusu tamamlanıyor: trigonometrik fonksiyonlar, iç içe geçmiş fonksiyonlar ve $y$‘nin açıkça yazılamadığı eğriler. Zincir kuralı (chain rule) dönemin geri kalanında her yerde: logaritmik türev, related rates, integralde yerine koyma hep onun üstüne kurulu. Bu hafta şu dördünü otomatikleştir:

1. Altı trigonometrik türevi ezberle. “c” ile başlayanların türevi eksi işaretli.
2. Zincir kuralı dıştan içe çalışır. Her katmanın türevini al, içini olduğu gibi bırak, hepsini çarp.
3. $\sin^3(2x)$ üç katmandır: küp, sinüs, $2x$.
4. Kapalı türevde $y$ içeren her terim $y'$ ile çarpılır, çünkü $y$ aslında $x$‘in fonksiyonu.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Her şey tek bir limitten çıkıyor. Toplam formülü $\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ tanıma konunca:

$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$

$h\to0$ iken $\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$ ve $\dfrac{\sin h}{h}\to1$. Sonuç $(\sin x)'=\cos x$. Kosinüs de aynı yolla, diğer dördü bölüm kuralıyla çıkar.

Örnek 1 ($\tan$ türevini kendin çıkar).

$(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$

Örnek 2. $y=x^3\cos x$: $y'=3x^2\cos x-x^3\sin x$.

Örnek 3. $y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$.

$y'=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}=\frac{\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}=\frac{1}{1+\cos x}$

$\sin^2x+\cos^2x=1$ özdeşliği trigonometrik türevlerde sadeleştirmenin anahtarı. Cevabı bırakmadan önce bir bak.

TUZAK · derece ile türev. Formüller radyan içindir. $x$ derece cinsinden olsaydı $\sin x^\circ=\sin\frac{\pi x}{180}$ ve türevi $\frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ olurdu. Calculus sınavında açılar radyandır.

Zincir kuralı (chain rule)

$y=f(g(x))$ ise

$\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$

Leibniz gösterimiyle, $u=g(x)$ dersen:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$

Sezgi: $u$, $x$‘ten 3 kat hızlı değişiyorsa ve $y$, $u$‘dan 2 kat hızlı değişiyorsa, $y$, $x$‘ten $2\cdot3=6$ kat hızlı değişir.

Katmanları ayırmak

Zincir kuralında asıl iş fonksiyonun katmanlarını görmek. Kendine “son yapılan işlem ne?” diye sor. O, dış fonksiyondur.

$\sin(x^2)$ ile $\sin^2 x$ farkına dikkat. İlkinde önce kare alınıp sonra sinüs uygulanıyor; ikincisinde önce sinüs, sonra kare.

Örnek 4 (üç katman). $y=\cos^3(4x^2-1)$.

katman 1:  u^3            türevi  3u^2         -> 3 cos^2(4x^2 - 1)
katman 2:  cos v          türevi  -sin v       -> -sin(4x^2 - 1)
katman 3:  4x^2 - 1       türevi  8x
çarp:      y' = 3 cos^2(4x^2 - 1) · (-sin(4x^2 - 1)) · 8x
              = -24x cos^2(4x^2 - 1) sin(4x^2 - 1)

Örnek 5 (zincir + çarpım). $y=x^2\sqrt{1-x}$.

$y'=2x\sqrt{1-x}+x^2\cdot\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}=\frac{4x(1-x)-x^2}{2\sqrt{1-x}}=\frac{4x-5x^2}{2\sqrt{1-x}}$

Önce çarpım kuralı, sonra her parçanın içinde gerekirse zincir. Sadeleştirmek için ortak payda $2\sqrt{1-x}$.

TUZAK · içi türevlemeyi unutmak. $(\sin 5x)'=\cos 5x$ yazmak sınavda en sık kaybedilen puan. Doğrusu $5\cos 5x$. Her zincir adımında “içinin türevi?” diye sor.

Tablo değerleriyle zincir

Formül yerine değer tablosu verilirse aynı kural: $h(x)=f(g(x))$ için $h'(a)=f'(g(a))\cdot g'(a)$. $f'$, $a$‘da değil $g(a)$‘da hesaplanır. Önce $g(a)$‘yı bul, sonra $f'$ tablosunda o değere bak.

Kapalı türev (implicit differentiation)

$x^2+y^2=25$ çemberinde $y$‘yi $x$ cinsinden tek bir formülle yazamazsın ($y=\pm\sqrt{25-x^2}$, iki parça). Kapalı türevde $y$‘yi çözmeden türev alırsın.

Yöntem:

1. Denklemin iki tarafının $x$‘e göre türevini al.
2. $y$ içeren her terimde zincir kuralı: $\dfrac{d}{dx}[y^n]=ny^{n-1}y'$.
3. $y'$ içeren terimleri bir tarafa topla, $y'$‘yi parantezine al, böl.

Örnek 6 (çember). $x^2+y^2=25$, $(3,-4)$ noktasında teğet.

$2x+2yy'=0 \Rightarrow y'=-\frac xy$

$(3,-4)$‘te $y'=-\dfrac{3}{-4}=\dfrac34$. Teğet: $y+4=\dfrac34(x-3)$. Geometri de bunu söylüyor: teğet, yarıçapa diktir; yarıçapın eğimi $-\tfrac43$, teğetin $\tfrac34$.

Örnek 7 (çarpım içeren). $x^2y+y^3=10$, $(3,1)$‘de $y'$.

d/dx[x^2 y] = 2x y + x^2 y'        (çarpım kuralı)
d/dx[y^3]   = 3y^2 y'              (zincir)
2xy + x^2 y' + 3y^2 y' = 0
y'(x^2 + 3y^2) = -2xy
y' = -2xy / (x^2 + 3y^2)
(3,1):  y' = -6 / 12 = -1/2

Kapalı türevle ikinci türev

$y''$ için $y'$ ifadesini tekrar türevle. Çıkan $y'$ yerine bulduğun formülü koy, sonra eğri denklemini kullanarak sadeleştir.

Örnek 8. $x^2+y^2=25$ için $y'=-\dfrac xy$.

$y''=-\frac{1\cdot y-x\cdot y'}{y^2}=-\frac{y-x\left(-\frac xy\right)}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3}$

Son adımda $x^2+y^2=25$ kullanıldı. $(3,4)$‘te $y''=-\dfrac{25}{64}<0$: üst yarı çember aşağı bükük, mantıklı.

Rasyonel kuvvet kuralı

Kapalı türev, $(x^{p/q})'=\frac pq x^{p/q-1}$ kuralının da kanıtıdır: $y=x^{p/q}$ ise $y^q=x^p$, türev al: $qy^{q-1}y'=px^{p-1}$, $y'$‘yi çöz. Örneğin $(x^{2/3})'=\frac23x^{-1/3}$.

TUZAK · $y$‘yi sabit gibi türevlemek. $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y$ yazmak yanlış; doğrusu $2yy'$. Aynı şekilde $\dfrac{d}{dx}[xy]=y$ değil, $y+xy'$. $y$ her göründüğünde bir $y'$ doğar.

Sık yapılan hatalar