Lineer Cebir
Lineer sistemler, matrisler, determinant, vektör uzayları, dönüşümler ve özdeğerler.
Kaynak kitap: Elementary Linear Algebra, Howard Anton, Wiley Publishing Co. (2000)
- 1. hafta- Introduction to Systems of Linear Equations
- Lineer denklem sistemleri: Gauss ve Gauss-Jordan elemeBir lineer sistemi genişletilmiş matrise çevirip satır işlemleriyle REF ve RREF'e indirmeyi, tek çözüm, sonsuz çözüm ve tutarsızlığı ayırt etmeyi, parametreli sistemleri çözmeyi öğrenirsin. Vizenin en büyük bloğu.
- 2. hafta- Operations with Matrices
- Matris işlemleri ve özellikleriMatris toplama, skalerle çarpma, matris çarpımı, transpoz ve iz (trace) işlemlerini; çarpımın ne zaman tanımlı olduğunu ve AB ≠ BA gibi sayılardan farklı davranan kuralları öğrenirsin.
- 3. hafta- The Inverse of a Matrix
- Ters matris, [A | I] yöntemi ve elementer matrislerBir matrisin tersini 2×2 formülle ve [A | I] üzerinde Gauss-Jordan ile bulmayı, tekil matrisi tanımayı, AX = B ve XA = B'yi doğru taraftan çözmeyi ve elementer matrislerle satır işlemlerini çarpım olarak yazmayı öğrenirsin.
- 4. hafta- The Determinant of a Matrix
- Determinant: kofaktör açılımı ve satır işlemleriyle hesapMinör ve kofaktörü, herhangi bir satır ya da sütun boyunca kofaktör açılımını, üçgen matris kuralını ve satır işlemlerinin determinantı nasıl değiştirdiğini öğrenip 3×3 ve 4×4 determinantı hesap makinesiz hesaplarsın.
- 5. hafta- Properties of Determinants
- Determinant özellikleri, adjoint ve Cramer kuralıdet(AB), det(Aᵀ), det(cA), det(A⁻¹) kurallarını, tersinirlik ile determinant arasındaki bağı, adjoint (ek matris) ile ters bulmayı ve Cramer kuralıyla sistem çözmeyi öğrenirsin.
- 6. hafta- Vectors in R^n
- Rⁿ'de vektörler ve vektör uzaylarıRⁿ'de vektör işlemlerini, lineer kombinasyonu, uzunluk ve iç çarpımı, sonra vektör uzayının on aksiyomunu öğrenip bir kümenin (standart ya da standart olmayan işlemlerle) vektör uzayı olup olmadığını kontrol etmeyi öğrenirsin.
- 7. hafta- Subspaces of Vector Spaces
- Altuzaylar ve altuzay testiBir vektör uzayının içindeki bir kümenin altuzay olup olmadığını üç adımlı testle kontrol etmeyi; Rⁿ, M₂₂ ve P₂'deki tipik altuzayları ve tuzak kümeleri tanımayı; kesişim ve birleşimin davranışını öğrenirsin.
- Span (gerilen küme) ve lineer bağımsızlıkBir vektör kümesinin gerdiği altuzayı, kümenin bütün uzayı gerip germediğini ve vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını homojen sistem ya da determinantla test etmeyi; Rⁿ, P₂ ve M₂₂'de aynı yöntemi uygulamayı öğrenirsin.
- 8. hafta- Basis and Dimension
- Baz, boyut ve koordinat vektörüBir kümenin baz olup olmadığını test etmeyi, denklemlerle verilen bir altuzayın bazını ve boyutunu bulmayı, bir kümeden baz ayıklamayı ve bir vektörün bir baza göre koordinatlarını hesaplamayı öğrenirsin.
- 9. hafta- Rank of a Matrix and Systems of Linear Equations
- Rank, satır/sütun/null space ve lineer sistemlerBir matrisin satır uzayı, sütun uzayı ve null space'i için baz bulmayı, rank ve nullity'yi, rank-nullity teoremini ve bir sistemin tutarlılığını rank ile ve çözümünü 'özel çözüm + homojen çözüm' biçiminde yazmayı öğrenirsin.
- 10. hafta- Introduction to Linear Transformations
- Lineer dönüşümlere girişBir fonksiyonun lineer dönüşüm olup olmadığını iki koşulla test etmeyi, matris dönüşümlerini, düzlemdeki izdüşüm, yansıma ve dönmeyi, türev ve iz gibi soyut örnekleri ve bir lineer dönüşümü bir bazın görüntülerinden hesaplamayı öğrenirsin.
- 11. hafta- The Kernel and Range of a Linear Transformation
- Lineer dönüşümün çekirdeği (kernel) ve görüntüsü (range)Bir lineer dönüşümün çekirdeğini ve görüntüsünü bulmayı, bunların baz ve boyutlarını (nullity, rank) hesaplamayı, boyut teoremini ve dönüşümün birebir (one-to-one), örten (onto) ya da izomorfizm olup olmadığını test etmeyi öğrenirsin.
- 12. hafta- Matrices for Linear Transformations
- Dönüşüm matrisleri, geçiş matrisleri ve benzerlikBir lineer dönüşümün standart matrisini, bileşke ve ters dönüşümün matrisini, standart olmayan bazlara göre dönüşüm matrisini, iki baz arasındaki geçiş (transition) matrisini [B' | B] yöntemiyle bulmayı ve benzer matrisleri (A' = P⁻¹AP) öğrenirsin.
- 13. hafta- Eigenvalues and Eigenvectors
- Özdeğerler ve özvektörlerKarakteristik denklemi kurup özdeğerleri bulmayı, her özdeğer için özuzayın bazını hesaplamayı, cebirsel ve geometrik katlılığı ayırt etmeyi ve iz, determinant, kuvvet ve ters ile özdeğerler arasındaki kısayolları öğrenirsin.
- Köşegenleştirme ve matris kuvvetleriBir matrisin köşegenleştirilebilir olup olmadığını özvektör sayısıyla test etmeyi, P ve D'yi kurup A = PDP⁻¹ yazmayı ve bunu kullanarak A'nın yüksek kuvvetlerini kısa yoldan hesaplamayı öğrenirsin.
- 14. hafta- Symmetric Matrices and Orthogonal Diagonalization
- Simetrik matrisler ve ortogonal köşegenleştirmeOrtogonal matrisleri (Pᵀ = P⁻¹), simetrik matrislerin özel özelliklerini (reel özdeğerler, dik özuzaylar, her zaman köşegenleşme) ve bir simetrik matrisi PᵀAP = D olacak şekilde ortogonal bir P ile köşegenleştirmeyi, tekrarlı özdeğerde Gram-Schmidt kullanmayı öğrenirsin.